1、1圆锥曲线【2019 年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：| PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)(2)双曲线：| PF1| PF2|2 a(2a0， b0)的渐近线方程为 y x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系x2a2 y2b2 ba三、直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x， y 的方程组，消去 y(或 x)得
2、一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数【高考题型示例】题型一、圆锥曲线的定义与标准方程例 1、(1)2018天津卷已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线x2a2 y2b2与双曲线交于 A， B 两点设 A， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1 d26，则双曲线的方程为( )2A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. 1 D. 1x23 y29 x29 y23【解析】如图，不妨设 A 在 B 的上方，则 A ， B .其中的
3、一条渐近线为 bx ay0，则(c，b2a) (c， b2a)d1 d2 2 b6， b3.bc b2 bc b2a2 b2 2bcc又由 e 2，知 a2 b24 a2， a .ca 3 双曲线的方程为 1.x23 y29故选 C. 联立，解得 a3 且 b4，可得双曲线的方程为 1.x29 y216(2)如图，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A， B，交其准线于点 C，若|BC|2| BF|，且| AF|3，则此抛物线方程为( )A y29 x B y26 xC y23 x D y2 x33答案 C解析 如图分别过点 A， B 作准线的垂线，分别交准线于
4、点 E， D，设准线交 x 轴于点 G.设 a，则由已知得 2 a，|BF| |BC|由抛物线定义，得 a，故 BCD30，|BD|在 Rt ACE 中， | AF|3， 33 a，| AC|2| AE|，|AE| |AC|33 a6，从而得 a1， 3 a3.|FC| p ，|FG|12|FC| 32因此抛物线方程为 y23 x，故选 C.题型二 圆锥曲线的几何性质例 2、 (2018北京)已知椭圆 M： 1( ab0)，双曲线 N： 1.若双曲线 N 的两条渐近线与x2a2 y2b2 x2m2 y2n2椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为
5、_；双曲线N 的离心率为_答案 1 23解析 方法一 双曲线 N 的渐近线方程为 y x，则 tan 60 ，双曲线 N 的离心率 e1满足nm nm 3e 1 4， e12.21n2m2由Error!得 x2 .a2b23a2 b2如图，设 D 点的横坐标为 x，由正六边形的性质得| ED|2 x c，4 x2 c2. a2 b2，得 3a46 a2b2 b40，4a2b23a2 b23 20，解得 2 3.6b2a2 (b2a2) b2a2 3椭圆 M 的离心率 e2满足 e 1 42 .2b2a2 34 e2 1.3方法二 双曲线 N 的渐近线方程为 y x，nm则 tan 60 .nm
6、 3又 c1 2 m，双曲线 N 的离心率为 2.m2 n2c1m如图，连接 EC，由题意知， F， C 为椭圆 M 的两焦点，设正六边形的边长为 1，则| FC|2 c22，即 c21.又 E 为椭圆 M 上一点，则| EF| EC|2 a，即 1 2 a，3 a .1 32椭圆 M 的离心率为 1.c2a 21 3 3【变式探究】(2018全国)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直线与 C 交于23M， N 两点，则 等于( )FM FN A5 B6 C7 D8答案 D解析 由题意知直线 MN 的方程为 y (x2)，23联立直线与抛物线的方程，得Erro
7、r!解得Error!或Error!不妨设点 M 的坐标为(1,2)，点 N 的坐标为(4,4)又抛物线的焦点为 F(1,0)， (0,2)， (3,4)FM FN 03248.FM FN 故选 D.【变式探究】(2018全国)已知双曲线 C： y21， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与x235C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.若 OMN 为直角三角形，则| MN|等于( )A. B3 C2 D432 3答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y x.13设两渐近线的夹角为 2 ，则有 tan ，13 33所以 30.所以 MON2 60.又 OMN 为直角
8、三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MN ON，如图所示在 Rt ONF 中，| OF|2，则 |ON| .3则在 Rt OMN 中，| MN| ON|tan 2 tan 603.3故选 B.【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧1求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系 2解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a， b， c 的方程(组)或不等式(组)，再根据 a， b， c 的关系消掉 b 得到 a， c 的关系式，要充分
9、利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式探究】(2017全国)若双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线被圆( x2) 2 y24 所截得x2a2 y2b2的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为_6【变式探究】(1)设 F1， F2分别是椭圆 E： 1( ab0)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于x2a2 y2b2A， B 两点，若 AF1F2的面积是 BF1F2面积的三倍，cos AF2B ，则椭圆 E 的离心率为( )35A. B. C. D.12 23 32 22答案 D解析 设| F1B| k ，(k0)依题意可得| AF1|3 k，| AB|4 k，| A
10、F2|2 a3 k，| BF2|2 a k.cos AF2B ，35在 ABF2中，由余弦定理可得|AB|2| AF2|2| BF2|22| AF2|BF2|cos AF2B，(4 k)2(2 a3 k)2(2 a k)2 (2a3 k)(2a k)，65化简可得( a k)(a3 k)0，而 a k0，故 a3 k0， a3 k，| AF2| AF1|3 k，| BF2|5 k，| BF2|2| AF2|2| AB|2， AF1 AF2， AF1F2是等腰直角三角形 c a，椭圆的离心率 e .22 ca 22(2)已知双曲线 M： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， 2
11、 c.若双曲线 M 的右支上存x2a2 y2b2 |F1F2|在点 P，使 ，则双曲线 M 的离心率的取值范围为( )asin PF1F2 3csin PF2F1A. B.(1，2 73 ) (1， 2 73 7C(1,2) D.(1， 2答案 A解析 根据正弦定理可知 ，sin PF1F2sin PF2F1 |PF2|PF1|所以 ，即| PF2| |PF1|，|PF2|PF1| a3c a3c2 a，|PF1| |PF2|所以 2 a，解得 ，(1a3c)|PF1| |PF1| 6ac3c a而 a c，即 a c，|PF1|6ac3c a整理得 3e24 e11，所以 1b0)的左、右焦
12、点， A 是 C 的左顶点，x2a2 y2b2点 P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，则 C 的离心率为( )36A. B. C. D.23 12 13 14答案 D解析 如图，作 PB x 轴于点 B.由题意可设| F1F2| PF2|2，则 c1，由 F1F2P120，可得| PB| ，| BF2|1，3故| AB| a11 a2，8tan PAB ，|PB|AB| 3a 2 36解得 a4，所以 e .ca 14故选 D.(2)已 知双曲线 C： 1( a0， b0)的焦距为 2c，直线 l 过点 且与双曲线 C 的一条渐近线垂x2a2 y2b
13、2 (23a， 0)直，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线 l 交于 M， N 两点，若| MN| c，则双曲线4 23C 的渐近线方程为( )A y x B y x2 3C y2 x D y4 x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为 y x，ba则直线 l的斜率 kl ，ab直线 l 的方程为 y ，ab(x 23a)整理可得 ax by a20.23焦点( c,0)到直线 l 的距离 d ，|ac 23a2|a2 b2 |ac 23a2|c则弦长为 2 2 c，c2 d2c2 (ac23a2)2c2 4 23整理可得 c49 a2c212 a3c4 a40，即 e
14、49 e212 e40，分解因式得 0.(e 1)(e 2)(e2 3e 2)又双曲线的离心率 e1，则 e 2，ca所以 ，ba c2 a2a2 (ca)2 1 3所以双曲线 C 的渐近线方程为 y x.3方法二 圆心到直线 l 的距离为 ，c2 (2 23c)2 c39 ，|ac 23a2|c c3 c23 ac2 a20， c2 a， b a，3渐近线方程为 y x.3题型三 直线与圆锥曲线例 3、(2018全国)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与
15、C 的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得 F(1,0)， l 的方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题意知 8，解得 k1(舍去)或 k1.4k2 4k2因此 l 的方程为 x y10.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error! 解得Error!或Err
16、or!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.【变式探究】(2018天津)设椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ，x2a2 y2b2 53点 A 的坐标为( b,0)，且| FB|AB|6 .2(1)求椭圆的 方程；(2)设直线 l： y kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若 sin AOQ(O 为原点)，求 k 的值|AQ|PQ| 5 2410解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，c2a2 59又由 a2 b2 c2，可得 2a3 b.由已知可得| FB| a
17、，| AB| b， 2由| FB|AB|6 ，可得 ab6，从而 a3， b2.2所以椭圆的方程为 1.x29 y24(2)设点 P 的坐标为( x1， y1)，点 Q 的坐标为( x2， y2)由已知有 y1y20，故| PQ|sin AOQ y1 y2.又因为| AQ| ，而 OAB ，y2sin OAB 4所以| AQ| y2.2由 sin AOQ，可得 5y19 y2.|AQ|PQ| 5 24由方程组Error!消去 x，可得 y1 .6k9k2 4由题意求得直线 AB 的方程为 x y20，由方程组Error!消去 x，可得 y2 . 2kk 1由 5y19 y2，可得 5(k1)3
18、 ，两边平方，9k2 4整理得 56k250 k110，解得 k 或 k .12 1128所以 k 的值为 或 .12 1128【变式探究】2018全国卷设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直线与 C 交于23M， N 两点，则 ( )FM FN A5 B6C7 D8【解析】由题意知直线 MN 的方程为 y (x2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error!或Error!不妨设 M 为(1,2)， N 为(4,4)又抛物线 焦点为 F(1,0)， (0,2)， (3,4)FM FN 03248.FM FN 11故选 D.【答案】D【方法技巧】解
19、决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1通法：将直线 l 的方程 Ax By C0( A， B 不同时为 0)代入双曲线 E 的方程 F(x， y)0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元二次方程解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题2点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即 0.【变式探究】(2017天津)已知椭圆 1( ab0)的左焦点为 F( c,0)，右顶点为 A，点 E 的坐标为x2a2 y2b2(0，
20、 c)， EFA 的面积为 .b22(1)求椭圆的离心率；(2)设点 Q 在线段 AE 上，| FQ| ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M， N 在 x 轴上， PM QN，且直线 PM3c2与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c.求直线 FP 的斜率；求椭圆的方程(2)依题意，设直线 FP 的方程为 x my c(m0)，则直线 FP 的斜率为 .1m由(1)知 a2 c，可得直线 AE 的方程为 1，x2c yc即 x2 y2 c0，与直线 FP 的方程联立，12可得 x ， y ， 2m 2 cm 2 3cm 2即点 Q 的坐标为 .( 2m 2 cm 2
21、 ， 3cm 2)由已知| FQ| ，3c2有 2 2 2， 2m 2 cm 2 c (3cm 2) (3c2)整理得 3m24 m0，所以 m (m0 舍去)，43即直线 FP 的斜率为 .34进而可得| FP| ， c c 2 (3c2)2 5c2所以| PQ| FP| FQ| c.5c2 3c2由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP.因为 QN FP，所以| QN| FQ|tan QFN ，3c2 34 9c8所以 FQN 的面积为 |FQ|QN| .12 27c232同理 FPM 的面积等于 .75c232由四边
22、形 PQNM 的面积为 3c，得 3 c，75c232 27c232整理得 c22 c.又由 c0，得 c2. 所以椭圆的方程为 1.x216 y212【变式探究】已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1的直线交椭圆于 A， B 两点x2a2 y2b213(1)若直线 AB 与椭圆的长轴垂直，| AB| a，求椭圆的离心率；12(2)若直线 AB 的斜率为 1，| AB| ，求椭圆的短轴与长轴的比值2a3a2 b2解 (1)由题意可知，直线 AB 的方程为 x c，| AB| a，2b2a 12即 a24 b2，故 e .ca a2 b2a2 1 b2a2 32(2)
23、设 F1( c,0)，则直线 AB 的方程为 y x c，联立Error!消去 y，得( a2 b2)x22 a2cx a2c2 a2b20， 4 a4c24 a2(a2 b2)(c2 b2)8 a2b4.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，2a2ca2 b2 a2 c2 b2a2 b2| AB| |x1 x2|1 1 2 x1 x2 2 4x1x2 28a2b4a2 b2 ，4ab2a2 b2 2a3a2 b2 a22 b2， ，b2a2 12 ，即椭圆的短轴与长轴之比为 .2b2a 22 22【感悟提升】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用
24、根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解【变式探究】如图，过抛物线 M： y x2上一点 A(点 A 不与原点 O 重合)作抛物线 M 的切线 AB 交 y 轴于点B，点 C 是抛物线 M 上异于点 A 的点，设 G 为 ABC 的重心(三条中线的交点)，直线 CG 交 y 轴于点 D.设点A(x0， x )(x00)20(1)求直线 AB 的方程；14(2)求 的值|OB|OD|解 (1)因为 y2 x，所以直线 AB 的斜率 k y2 x0.所以直线 AB 的方程 y x 2 x0(x x0)，20即 y2 x0x x ，20即直线 AB 的方程为 2x0x y x 0.20(2)由题意得，点 B 的纵坐标 yB x ，20所以 AB 的中点坐标为 .(x02， 0)设 C(x1， y1)， G(x2， y2)，直线 CG 的方程为 x my x0.12由Error!联立得 m2y2( mx01) y x 0.1420 ( mx01) 24 m2 12 mx00，x204即 mx00.3所以点 D 的纵坐标 yD ，x02m x2064 3故 4 6.|OB|OD| |yB|yD| 315
