1、1第十五讲 等腰三角形与直角三角形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2014宜宾中考）如图，在 RtABC中，B90，AB3，BC4，将ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB 1.5 .2.（宜宾中考）如图，在ABC中，ADBC于点D.请你再添加一个条件，就可以确定ABC是等腰三角形.你添加的条件是 答案不唯一，如BDCD .宜宾中考考点梳理等腰三角形及其性质和判定1.等腰三角形概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角性质（1）等腰三角形两腰相等（如ABAC）；（2）等腰三角形的
2、两底角相等（简写成“等边对等角”，如BC）；（3）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合 （简称“三线合一”）；（4）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；（5）面积： S ABC BCAD12判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（简写成“ 等角对等边 ”）2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）性质 （1）等边三角形三边相等（如ABBCAC）；（2）等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60（如A2BC60）；（3）等边三角形的内、外心重合；（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（5）面积：S ABC BCAD12 AB
3、234判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角 等于60的等腰三角形是等边三角形直角三角形及其性质和判定3.直角三角形4.等腰直角三角形定义 顶角为90的等腰三角形是等腰直角三角形性质 等腰直角三角形的顶角是直角，两底角都为45判定 （1）用定义判定；（2）有两个角为45的三角形线段的垂直平分线和角平分线5.线段的垂直平分线（1）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.如图，若OP垂直平分AB，则PAPB.（2）判定（性质定理的逆定理）：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.6.角平分线定义 有一个角是直角的三角形叫做
4、直角三角形性质（1）直角三角形的两个锐角 互余 ；（2）直角三角形斜边上的 中线 等于斜边的一半（如CD AB）；12（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半（如AC AB）；12（4）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如a 2b 2c 2）；（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30；（6）面积：S ABC ab ch（h为斜边c上的高）12 12判定（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；（4）
5、勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a、b、c有关系a 2b 2c 2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角3（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.如图，若12，PAOA，PBOB，则PAPB.（2）判定（性质定理的逆定理）：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ D ）A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点2.如图，在ABC中，ABAC，A30，AB的垂直平分线l交AC于点D，则CBD的度数为（ B ）A.30 B.45 C.50 D.75（第2题图） （第3题图）3
6、.如图，在ABC中，ABAC，D为BC上一点，且DADC，BDBA，则B的大小为（ B ）A.40 B.36 C.30 D.254.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则 该等腰三角形的周长是 10 .5.在ABC中，若C90，A30，AC5，则AB .10336.含30角的直角三角板与直线l 1、l 2的位置关系如图所示，已知l 1l 2，160，以下三个结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）.AC2BC；B CD为正三角形；ADBD.7.如图，在 RtABC中，ACB90，CD是AB边上的中线，EDAB于点D，交AC于点E.（1）若BC3，AC4，求CD的长；（2）求证：12.（1
7、）解：ACB90，BC3，4AC4，AB 5.AC2 BC2CD是AB边上的中线，CD AB2.5；12（2）证明：ACB90，AB90.EDAB，A190，B1.CD是AB边上的中线，BDCD，B2，12.8.如图，在ABC中，ABAC，CD是ACB的平分线，DEBC，交AC于点E.（1）求证：DECE；（2）若CDE35，求A的度数.（1）证明：CD是ACB的平分线，BCDECD.DEBC，EDCBCD，EDCECD，DECE；（2）解：ECDEDC35，ACB2ECD70.ABAC，ABCACB70，A180707040.中考典题精讲精练等腰三角形的性质和判定【典例1】如图，已知点D为A
8、BC内一点，CD平分ACB，BDCD，AABD，若AC6，BC4，求BD的长.【解析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BEAE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BCCE，AEBE2BD，根据AC6，BC4，即可求出BD的长.【解答】解：延长BD与AC交于点E.AABD，BEAE.BDCD，BECD.CD平分ACB，BCDECD，5EBCBEC，BCCE.BECD，2BDBE.AC6，BC4，CE4，AEACEC642，BE2，BD1.直角三角形的性质和判定【典例2】如图1，ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点.（1）求证：MNDE
9、；（2）连结DM、ME，猜想A与DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角ABC变为钝角ABC，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.图1 图2【解析】（1）连结DM、EM，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DM BC，EM BC，从而12 12得到DMME，再根据等腰 三角形的“三线合一”可得结论；（2）根据三角形的内角和定理可得ABCACB180A，再根据“等腰三角形两底角相等”表示出BMDCME，然后根据“平角等于180”表示出DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得ABCACB180BAC，
10、再根据“等腰三角形两底角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”表示出BMECMD，然后根据“平角等于180”表示出DME，整理即可得解.【解答】（1）证明：连结DM、EM.CD、BE分别是AB、AC边上的高，点M是BC的中点，DM BC，ME BC，12 12DM EM.又点N为DE的中点，MNDE；（2）解：在ABC中，ABCACB180A.DMEMBMCM，BMDCME（1802ABC）（1802ACB）3602（ABCACB）3602（180A）2A，DME1802A；（3）解：（1）中的结论成立，（2）中的结论不成立.理由：在ABC中，ABCACB180BAC.DMEMB
11、MCM，BMECMD2ACB2ABC2（180BAC）3602BAC，DME180（3602BAC）2BAC180.线段中垂线定理及其逆定理6【典例3】如图，在ABC中，AD平分BAC，DEAC，EFAD交BC的延长线于点F.求证：FACB.【解析】根据角的平分线的定义和平行线的性质，可得AEDE，则EF是AD的垂直平分线，又FADCADFAC，FDABBAD，即可得证.【解答】证明：AD平分BAC，BADCAD.DEAC，EDACAD.EDABAD，AEED.又EFAD，EF是AD的垂直平分线，AFDF，FADFDA.又FADCADFAC，FDABBAD，FACB.1.如图，在ABC中，AD
12、平分BAC，BEAD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EFAC.求证：点F是AB的中点.证明：AD平分BAC，BAECAE.EFAC，AEFCAE，AEFBAE，AFEF.又BEAD，BAEABE90 ，BEFAEF90，ABEBEF，BFEF，AFBF，点F为AB的中点.2.如图，AOPBOP15，PCOA，PDOA，垂足为D，若PC10，则PD等于（ C ）A.10 B.5 C.5 D.2.533.如图，ABCADC90，M、N 分别是AC、BD的中点.求证：MNBD.7证明：连结BM、DM.ABCADC90，M是AC的中点，BMDM AC.12N是BD的中点，MNBD.4.在A
13、BC中，MP、NO分别垂直平分AB、A C.（1）若BC10 cm，试求出PAO的周长；（2）若ABAC，BAC110，试求PAO的度数；（3）在（2）中，若无“ABAC”的条件，你能求出PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.解：（1）MP、NO分别垂直平分AB、AC，APBP，AOCO，PAO的周长APPOAOBPPOCOBC，BC10 cm，PAO的周长为10 cm；（2）ABAC，BAC110，BC （180110）35.12MP、NO分别垂直平分AB、AC，APBP，AOCO，BAPB 35，CAOC35，PAOBACBAPCAO110353540；（3）能.BAC110，BC18011070.MP、NO分别垂直平分AB、AC，APBP，AOCO，BAPB，CAOC，PAOBACBAPCAOBAC（BC）1107040.8
