(宜宾专版)2019年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第5章四边形第17讲矩形、菱形与正方形(精讲)练习.doc

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1、1第十七讲 矩形、菱形与正方形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.(2013宜宾中考)矩形具有而菱形不具有的性质是( B ) A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等2.(2016宜宾中考)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )A.4.8 B.5 C.6 D.7.2(第2题图) (第4题图)3.(2014宜宾中考)菱形的周长为20 cm,两个相邻的内角的度数之比为12,则较长的对角线长度是 5cm.34.(2015宜宾中考 )如图,在菱形ABCD中,点P是对

2、角线AC上的一点,PEAB于点E.若PE3,则点P到AD的距离为 3 .5.(2013宜宾中考)如图,在ABC中,ABC90,BD为AC的中线,过点C作CEBD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FGBD,连结BG、DF.若AG13,CF6,则四边形BDFG的周长为 20 .(第5题图) (第6题图)6.(2015宜宾中考)如图,在正方形ABCD中,BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:2ABEDCF; ;DP 2PHPB; .FPPH 35 S BPDS正 方 形 ABCD 3 14

3、其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)宜宾中考考点梳理矩形及其性质与判定定义 有一个角是 直角 的平行四边形是矩形性质(1)矩形的四个角都是 直角 ;(2)矩形的对角线互相平分且 相等 ;(3)矩形既是 中心 对称图形又是轴对称图形,有 2 条对称轴判定(1)有一个角是 直角 的平行四边形是矩形;(2)有 三个角 是直角的四边形是矩形;(3)对角线 相等 的平行四边形是矩形面积 S ab (a,b表示矩形的长和宽)菱形及其性质与判定定义 菱形是有一组邻边 相等 的平行四边形性质(1)菱形的四条边都 相等 ;(2)菱形的对角线 互相垂直平分 且每一条对角线都平分一组对角;(3)菱形既是中心对

4、称图形,又是 轴 对称图形,有 2 条对称轴判定(1)有一组邻边 相等 的平行四边形是菱形;(2)四条边都 相等 的四边形是菱形;(3)对角线 互相垂直 的平行四边 形是菱形面积 S底高 (l1,l 2表示菱形两条对角线的长)l1l22正方形及其性质与判定定义 四个角是直角,四条边相等的四边形是正方形性质(1)正方形的对边平行,四条边都 相等 ;(2)正方形的四个角都是 直角 ;(3)对角线相等且互相 垂直平分 ,每条对角线平分一组对角判定(1)有一组 邻边 相等,并且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形;(2)有一组邻边相等的 矩形 是正方形;(3)有一个角是直角的 菱形 是正方形;(4)

5、 对角线 相等且互相垂直的平行四边形是正方形面积S a 2 (a表示正方形的边长);S (l表示正方形对角线的长)l22平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系1.下列说法中正确的是( D )A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形3D.两条对角线相等的菱形是正方形2.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CEBD,DEAC.若AC6 cm,则四边形CODE的周长为( D )A.6 cm B.8 cmC.10 cm D.12 cm(第2题图) (第3题图)3.如图,将两条宽度都为3的纸条重叠在一起,使ABC60,则

6、四边形ABCD的面积为 6 .34.如图,在ABC中,AB3,AC4,BC5,P为BC上一动点,PEAB于点E,PFAC于点F,则EF的最小值为 2.4 .5.(2018遵义中考)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AEBE),且EOF90,O E、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N ,连结MN.(1)求证:OMON;(2)若正方形A BCD的边长为4,点E为OM的中点,求MN的长.(1)证明:四边形ABCD是正方形,OAOB,OADOBA45,OAM OBN135.EOF90,AOB90,AOMBON,OAMOBN( A.S.A.).OMON;(2

7、)解:过点O作OHAD于点H.正方形ABCD的边长为4,OHHA2.点E为OM的中点,EAOH,HM2HA4,OM 2 ,22 42 5MN OM2 .2 10中考典题精讲精练4矩形的性质和判定【典例1】如图,在矩形ABCD中,AB2,BC5,E、P分别在AD、BC上,且DEBP1.(1)判断BEC的形状,并说明理由?(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形,并证明你的判断;(3)求四边形EFPH的面积.【解析】(1)根据矩形的性质得出CD 2,根据勾股定理求出CE和BE,求出CE 2BE 2的值,求出BC 2,根据勾股定理的逆定理可得结论;(2)根据矩形的性质和平行四边形的判定,推出四边形D

8、EBP和AECP是平行四边形,推出EHFP,EFHP,推出四边形EFPH是平行四边形,再由矩形的判定可得结论;(3)根据三角形的面积公式求出CF,再求出EF,根据勾股定理求出PF,根据矩形面积公式可得答案.【解答】解:(1)BEC是直角三角形.理由如下:四边形ABCD是矩形,ADCABP90 ,ADBC5,ABCD2.由勾股定理,得CE .CD2 DE2 22 12 5同理,BE2 .5CE 2BE 252025.BC 25 225,BE 2CE 2BC 2,BEC90,BEC是直角三角形;(2)四边形EFPH是矩形.证明:四边形ABCD是矩形,ADBC,ADBC.DEBP,四边形DEBP是平

9、行四边形,BEDP.ADBC,ADBC,DEBP,AECP,四边形AECP是平行四边形,APCE,四边形EFPH是平行四边形.BEC90,四边形EFPH是矩形.(3)解:在 RtPCD中,FCPD.由三角形的面积公式,得PDCFPCCD,CF .4225 455EFCECF .5455 155PF ,PC2 CF2855S 矩形EFPH EFPF ,85即四边形EFPH的面积是 .855菱形的性质和判定【典例2】下列性质中,菱形具有而平行四边形不具有的性质是( C )A.对边平行且相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.对角互补【解析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断.

10、【典例3】如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是AD、CD边上的中点,连结EF.若EF ,BD22,则菱形ABCD的面积为 2 .2【解析】由题意知EF是ACD的中位线,根据三角形中位线定理求出AC的长,然后根 据菱形的面积公式求解.正方形的性质和判定【典例4】某同学把两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起(如图1),固定ABC不动,将DEF沿线段AB向右平移.图1 图2(1)若A60,斜边AB4,设ADx(0x4),两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y,试求出y与x的函数关系式;1. 如图,在矩形COED中,点D的坐 标是(1,3),则CE的长是( C )A.3 B.2

11、 2C. D.4102.如图,四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,折痕为AF.且AB10 cm,AD8 cm,DE6 cm.(1)求证:平行四边形ABCD是矩形;(2)求BF的长;6(3)求折痕AF长.(1)证明:把纸片ABCD折叠,使点B恰好 落在CD边上,AEAB10,AE 210 2100,AD 2DE 2AE 2,ADE是直角三角形,且D90,又四边形ABCD为平行四边形,平行四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形);(2)解:设BFx cm,则EFBFx cm,ECCDDE1064 cm,FCBCBF8x cm.在 RtEFC中

12、,EC 2FC 2EF 2,即4 2(8x) 2x 2,解得x5,故BF5 cm;(3)解:在 RtABF中,AB 2BF 2AF 2,AB10 cm,BF5 cm,AF 5 cm.102 52 53.下列性质中菱形不一定具有的是( C )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形,又是中心对称图形4.下列命题中,真命题是( A )A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形5.已知一个菱形的周长为24 cm,有一个内角为60,则这个菱形较短的一条对角线的长为

13、6 cm .6.如图,在四边形ABCD中,ABDC,ABAD,对角线AC、BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连结OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB ,BD2,求OE的长.5(1)证明:ABCD,CABACD.AC平分BAD,CABCAD,CADACD,ADCD.又ADAB,ABCD.又ABCD,四边形ABCD是平行四边形.又ABAD,四边形ABCD是菱形;(2)解:四边形ABCD是菱形,7ACBD,OAOC AC,OBOD BD1.12 12在 RtAOB中,AOB90,OA 2.AB2 OB2CEAB,AEC90.在 RtAEC中,点O为A

14、C中点,OE ACOA2.127.如图,正方形ABCD中,扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E,AB2 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2 3.8.我们给出如下定义:顺次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形. (1)如图1,四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;(2)如图2,连结CD、CF、BF,得到四边形CDBF.在运动过程中,四边形CDBF能否为正方形?若能,请指出此时点D的位置,并说明理由;若不 能,请你添加一个条件,并说明四边形CDBF为正方形?【解析】(1)设CB与DF交于点G.根据平移的性质得到D

15、FAC,所以由平行线的性质、勾股定理求得GD4 x2,BG ,最后由三角形的面积公式列出函数关系式;(2)不能为正方形,添加条件:ACBD2 DG23( 4 x)2BC时,点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形.当点D移至AB的中点时,四边形CDBF是菱形.再由ACBC,D为AB的中点,可得CDB90,从而可知四边形CDBF为正方形.【解答】解:(1)如图,设CB与DF交于点G.DFAC,DGBC90,GDBA60,GBD30.BD4x,GD ,BG ,4 x2 3( 4 x)2yS BDG 12 4 x2 3( 4 x)2 (0x4);3( 4 x) 28(2)不能为正方形.添加条件

16、:ACBC.8ACBDFE90,D是AB的中点,CD AB,BF DE,12 12CDBDBFBE.CFBD,CDBDBFCF,四边形CDBF是菱形.ACBC,D是AB的中点,CDAB即CDB90,四边形CDBF是正方形.(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PAPB,PCPD,APBCPD,点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变(2)中的条件,使APBCPD90,其他条件不变,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想.图1 图2解:(1)连结BD.点E、H分别为边AB、A D的中点,EHBD,EH BD.

17、12点F、G分别为BC、DC的中点,FGBD,FG BD,EHFG,EHFG,12中点四边形EFGH是平行四边形;(2)中点四边形EFGH是菱形.证明:连结AC、BD.APBCPD,APBAPDCPDAPD,即APCBPD.在APC和BPD中,APBP,APCBPDPCPD,APCBPD( S.A.S.),ACBD.点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点,EF AC,FG BD,EFFG,12 12由(1)知中点四边形EFGH是平行四边形,中点四边形EFGH是菱形;(3)四边形EFGH是正方形.证明:设AC、BD交点为O,AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.APCBPD,ACPBDP.9DMOCMP,CODCPD90.EHBD,ACHG,EHGENOBOCDOC90.又由(2)知四边形EFGH是菱形,四边形EFGH是正方形.

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