1、1第十七讲 矩形、菱形与正方形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2013宜宾中考）矩形具有而菱形不具有的性质是（ B ） A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等2.（2016宜宾中考）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ A ）A.4.8 B.5 C.6 D.7.2（第2题图） （第4题图）3.（2014宜宾中考）菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为12，则较长的对角线长度是 5cm.34.（2015宜宾中考 ）如图，在菱形ABCD中，点P是对
2、角线AC上的一点，PEAB于点E.若PE3，则点P到AD的距离为 3 .5.（2013宜宾中考）如图，在ABC中，ABC90，BD为AC的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FGBD，连结BG、DF.若AG13，CF6，则四边形BDFG的周长为 20 .（第5题图） （第6题图）6.（2015宜宾中考）如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论：2ABEDCF； ；DP 2PHPB； .FPPH 35 S BPDS正 方 形 ABCD 3 14
3、其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号）宜宾中考考点梳理矩形及其性质与判定定义 有一个角是 直角 的平行四边形是矩形性质（1）矩形的四个角都是 直角 ；（2）矩形的对角线互相平分且 相等 ；（3）矩形既是 中心 对称图形又是轴对称图形，有 2 条对称轴判定（1）有一个角是 直角 的平行四边形是矩形；（2）有 三个角 是直角的四边形是矩形；（3）对角线 相等 的平行四边形是矩形面积 S ab （a，b表示矩形的长和宽）菱形及其性质与判定定义 菱形是有一组邻边 相等 的平行四边形性质（1）菱形的四条边都 相等 ；（2）菱形的对角线 互相垂直平分 且每一条对角线都平分一组对角；（3）菱形既是中心对
4、称图形，又是 轴 对称图形，有 2 条对称轴判定（1）有一组邻边 相等 的平行四边形是菱形；（2）四条边都 相等 的四边形是菱形；（3）对角线 互相垂直 的平行四边 形是菱形面积 S底高 （l1，l 2表示菱形两条对角线的长）l1l22正方形及其性质与判定定义 四个角是直角，四条边相等的四边形是正方形性质（1）正方形的对边平行，四条边都 相等 ；（2）正方形的四个角都是 直角 ；（3）对角线相等且互相 垂直平分 ，每条对角线平分一组对角判定（1）有一组 邻边 相等，并且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等的 矩形 是正方形；（3）有一个角是直角的 菱形 是正方形；（4）
5、 对角线 相等且互相垂直的平行四边形是正方形面积S a 2 （a表示正方形的边长）；S （l表示正方形对角线的长）l22平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系1.下列说法中正确的是（ D ）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形3D.两条对角线相等的菱形是正方形2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CEBD，DEAC.若AC6 cm，则四边形CODE的周长为（ D ）A.6 cm B.8 cmC.10 cm D.12 cm（第2题图） （第3题图）3.如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使ABC60，则
6、四边形ABCD的面积为 6 .34.如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，P为BC上一动点，PEAB于点E，PFAC于点F，则EF的最小值为 2.4 .5.（2018遵义中考）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AEBE），且EOF90，O E、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N ，连结MN.（1）求证：OMON；（2）若正方形A BCD的边长为4，点E为OM的中点，求MN的长.（1）证明：四边形ABCD是正方形，OAOB，OADOBA45，OAM OBN135.EOF90，AOB90，AOMBON，OAMOBN（ A.S.A.）.OMON；（2
7、）解：过点O作OHAD于点H.正方形ABCD的边长为4，OHHA2.点E为OM的中点，EAOH，HM2HA4，OM 2 ，22 42 5MN OM2 .2 10中考典题精讲精练4矩形的性质和判定【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB2，BC5，E、P分别在AD、BC上，且DEBP1.（1）判断BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积.【解析】（1）根据矩形的性质得出CD 2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE 2BE 2的值，求出BC 2，根据勾股定理的逆定理可得结论；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出四边形D
8、EBP和AECP是平行四边形，推出EHFP，EFHP，推出四边形EFPH是平行四边形，再由矩形的判定可得结论；（3）根据三角形的面积公式求出CF，再求出EF，根据勾股定理求出PF，根据矩形面积公式可得答案.【解答】解：（1）BEC是直角三角形.理由如下：四边形ABCD是矩形，ADCABP90 ，ADBC5，ABCD2.由勾股定理，得CE .CD2 DE2 22 12 5同理，BE2 .5CE 2BE 252025.BC 25 225，BE 2CE 2BC 2，BEC90，BEC是直角三角形；（2）四边形EFPH是矩形.证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC.DEBP，四边形DEBP是平
9、行四边形，BEDP.ADBC，ADBC，DEBP，AECP，四边形AECP是平行四边形，APCE，四边形EFPH是平行四边形.BEC90，四边形EFPH是矩形.（3）解：在 RtPCD中，FCPD.由三角形的面积公式，得PDCFPCCD，CF .4225 455EFCECF .5455 155PF ，PC2 CF2855S 矩形EFPH EFPF ，85即四边形EFPH的面积是 .855菱形的性质和判定【典例2】下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ C ）A.对边平行且相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.对角互补【解析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断.
10、【典例3】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AD、CD边上的中点，连结EF.若EF ，BD22，则菱形ABCD的面积为 2 .2【解析】由题意知EF是ACD的中位线，根据三角形中位线定理求出AC的长，然后根 据菱形的面积公式求解.正方形的性质和判定【典例4】某同学把两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起（如图1），固定ABC不动，将DEF沿线段AB向右平移.图1 图2（1）若A60，斜边AB4，设ADx（0x4），两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y，试求出y与x的函数关系式；1. 如图，在矩形COED中，点D的坐 标是（1，3），则CE的长是（ C ）A.3 B.2
11、 2C. D.4102.如图，四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF.且AB10 cm，AD8 cm，DE6 cm.（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；6（3）求折痕AF长.（1）证明：把纸片ABCD折叠，使点B恰好 落在CD边上，AEAB10，AE 210 2100，AD 2DE 2AE 2，ADE是直角三角形，且D90，又四边形ABCD为平行四边形，平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BFx cm，则EFBFx cm，ECCDDE1064 cm，FCBCBF8x cm.在 RtEFC中
12、，EC 2FC 2EF 2，即4 2（8x） 2x 2，解得x5，故BF5 cm；（3）解：在 RtABF中，AB 2BF 2AF 2，AB10 cm，BF5 cm，AF 5 cm.102 52 53.下列性质中菱形不一定具有的是（ C ）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形，又是中心对称图形4.下列命题中，真命题是（ A ）A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形5.已知一个菱形的周长为24 cm，有一个内角为60，则这个菱形较短的一条对角线的长为
13、6 cm .6.如图，在四边形ABCD中，ABDC，ABAD，对角线AC、BD交于点O，AC平分BAD，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连结OE.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB ，BD2，求OE的长.5（1）证明：ABCD，CABACD.AC平分BAD，CABCAD，CADACD，ADCD.又ADAB，ABCD.又ABCD，四边形ABCD是平行四边形.又ABAD，四边形ABCD是菱形；（2）解：四边形ABCD是菱形，7ACBD，OAOC AC，OBOD BD1.12 12在 RtAOB中，AOB90，OA 2.AB2 OB2CEAB，AEC90.在 RtAEC中，点O为A
14、C中点，OE ACOA2.127.如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB2 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2 3.8.我们给出如下定义：顺次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形. （1）如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，连结CD、CF、BF，得到四边形CDBF.在运动过程中，四边形CDBF能否为正方形？若能，请指出此时点D的位置，并说明理由；若不 能，请你添加一个条件，并说明四边形CDBF为正方形？【解析】（1）设CB与DF交于点G.根据平移的性质得到D
15、FAC，所以由平行线的性质、勾股定理求得GD4 x2，BG ，最后由三角形的面积公式列出函数关系式；（2）不能为正方形，添加条件：ACBD2 DG23（ 4 x）2BC时，点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形.当点D移至AB的中点时，四边形CDBF是菱形.再由ACBC，D为AB的中点，可得CDB90，从而可知四边形CDBF为正方形.【解答】解：（1）如图，设CB与DF交于点G.DFAC，DGBC90，GDBA60，GBD30.BD4x，GD ，BG ，4 x2 3（ 4 x）2yS BDG 12 4 x2 3（ 4 x）2 （0x4）；3（ 4 x） 28（2）不能为正方形.添加条件
16、：ACBC.8ACBDFE90，D是AB的中点，CD AB，BF DE，12 12CDBDBFBE.CFBD，CDBDBFCF，四边形CDBF是菱形.ACBC，D是AB的中点，CDAB即CDB90，四边形CDBF是正方形.（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PAPB，PCPD，APBCPD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使APBCPD90，其他条件不变，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想.图1 图2解：（1）连结BD.点E、H分别为边AB、A D的中点，EHBD，EH BD.
17、12点F、G分别为BC、DC的中点，FGBD，FG BD，EHFG，EHFG，12中点四边形EFGH是平行四边形；（2）中点四边形EFGH是菱形.证明：连结AC、BD.APBCPD，APBAPDCPDAPD，即APCBPD.在APC和BPD中，APBP，APCBPDPCPD，APCBPD（ S.A.S.），ACBD.点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，EF AC，FG BD，EFFG，12 12由（1）知中点四边形EFGH是平行四边形，中点四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是正方形.证明：设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N.APCBPD，ACPBDP.9DMOCMP，CODCPD90.EHBD，ACHG，EHGENOBOCDOC90.又由（2）知四边形EFGH是菱形，四边形EFGH是正方形.
