1、第3讲 解直角三角形,1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，,cos A，tan A)知道 30，45，60角的三角函数值.,2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三,角函数值求它对应的锐角.,3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一,些实际问题.,1.在ABC中，C90，AC8，BC6，则cosA_.,3.(2017 年湖北宜昌)ABC 在网格中的位置如图 5-3-1(每个小正方形边长为 1)，ADBC 于 D，下列选项中，错误的是,(,),图 5-3-1,B.tan C2D.tan 1,A.sin cos C.sin cos 答案：C,4.(
2、2017 年山东烟台)如图5-3-2，数学实践活动小组要测量学校附近楼房 CD 的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45，向前走 20 米到达 A处，测得点 D 的仰角为 67.5，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房,),CD 的高度约为(结果精确到 0.1 米， 1.414)(图 5-3-2,A.34.14 米,B.34.1 米,C.35.7 米,D.35.74 米,答案：C,5.(2017 年广西南宁)如图 5-3-3，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45方向，距离灯塔 60 n mile 的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯
3、塔 P 的北偏东 30方向上的 B 处，这,时，B 处与灯塔 P 的距离为(,)图 5-3-3,答案：B,(续表),(续表),(续表),(续表),锐角三角函数的概念及求值例1：如图534，已知ABC的三个顶点均在格点上，则,cos A 的值为(,),图 5-3-4,答案：D易错陷阱根据三角函数的定义求三角函数值时，一定要在直角三角形内求解，可利用辅助线构造直角三角形，也可利用几何图形的性质将该角转移到直角三角形中.,【试题精选】1.(2016 年黑龙江绥化)如图 5-3-5，小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点 A 处)在距她家北偏东 60方向的 500 米
4、处，那么水塔所在的位置到公路,的距离 AB 是(,),图 5-3-5,答案：A,AC6 cm，则 BC 的长度为(,),A.6 cm,B.7 cm,C.8 cm,D.9 cm,答案：C名师点评求解锐角三角函数通常蕴含一定的图形背景(网格、平行线、三角形、圆等)，通过相关角、线段的转化或构建特殊的直角三角形进行求解.,特殊角的三角函数值的计算,3.cos 30的值等于(,),答案：C,答案：B,名师点评在锐角的条件下，特殊角的三角函数值可以正、反联用.关键是要理解三角函数的概念要领和熟记特殊角(30，45，60)的三角函数值.,解直角三角形及其应用例 2：(2017 年山东潍坊)如图 5-3-6
5、，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD 的高度.该楼底层为车库，高 2.5 m；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地 1.5 m，在 A 处测得五楼顶部点 D 的仰角为 60，在 B 处测得四楼顶点 E 的仰角为30，AB14 m.求居民楼的高度.(精确到 0.1 m，参考数据：,1.73),图 5-3-6,思路分析设每层楼高为 x m，由 MCCC求出 MC的长，进而表示出 DC与 EC的长，在直角三角形 DCA中，利用锐角三角函数定义表示出 CA，同理表示出 CB，由 CBCA求出 AB 的长即可.解：设每层楼高为 x m，由题意得：MCMCCC2.51.51(m)，DC5x1，
6、EC4x1.在RtDCA中，DAC60，,解得 x3.17，则居民楼高为 53.172.518.4(m).答：居民楼的高度为 18.4 m.名师点评本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题熟练掌握锐角三角函数定义是解决本题的关键.,【试题精选】6.(2016 年山东泰安)如图 5-3-7，轮船沿正南方向以 30 海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔 P 在西偏南68方向上，航行 2 小时后到达 N 处，观测灯塔 P 在西偏南 46方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin 680.9272，sin 460.7193，sin 220.37
7、46，,sin 440.6947)(,),图 5-3-7,A.22.48 海里,B.41.68 海里,C.43.16 海里,D.55.63 海里,答案：B,7.(2016 年湖南长沙)如图 5-3-8，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30，看这栋楼底部 C处的俯角为 60，热气球 A 处与楼的水平距离为 120 m，则这栋,楼的高度为(,),图 5-3-8,答案：A,8.(2017 年湖南邵阳)如图 5-3-9，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR的距离是 40 km，仰角是 30，n 秒后，火箭到达 B
8、 点，此时仰角是 45，则火箭在这 n 秒中上升的高度是_km.,图 5-3-9,图 5-3-10,解析：分别过 A，D 作 AFBC，DGBC，垂点分别为 F，G，如图 D82.图 D82在 RtABF 中，AB12 米，B60，,答案：8,名师点评在实际工程、测量等问题中，关键是将实际问题转化为数学模型，往往把计算角度、线段的长、图形的面积等问题转化为解直角三角形中边与角的问题，利用三角函数的知识解决问题.而在解直角三角形的情境应用中，需要发挥条件中的角度、平行、垂直等信息的作用，有时需要像上面这样构造新的直角三角形才能求出问题的解.,1.(2016 年广东)如图 5-3-11，在平面直角
9、坐标系中，点 A,坐标为(4,3)，那么 cos 的值是(,),图 5-3-11,答案：D,2.(2013 年广东)在 RtABC 中，ABC90，AB3，BC4，则 sin A_.,3.(2014 年广东)如图5-3-12，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30，然后沿AD 方向前行 10 m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角为60(A，B，D 三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这,图 5-3-12,解：CBDAACB，ACBCBDA603030.AACB.BCAB10 m.在 RtBCD 中，,答：这棵树 CD 的高度为
10、 8.7 m.,4.(2015 年广东)如图 5-3-13，已知锐角ABC.,(1)过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D(用尺规作图,法，保留作图痕迹，不要求写作法)；,图 5-3-13,解：(1)如图 D83，AD 为所作.图 D83,DCBCBD532.,5.(2016 年广东)如图5-3-14，在 RtABC 中，B30，ACB90，CDAB 交 AB 于点 D，以 CD 为较短的直角边向CDB 的同侧作 RtDEC，满足E30，DCE90，再用同样的方法作 RtFGC，FCG90，继续用同样的方法作 RtHCI，HCI90，若 ACa，求 CI 的长.,图 5-3-14,
