1、微专题1 三角形中的范围与最值问题,微专题1 三角形中的范围与最值问题 题型一 三角形中角或角的三角函数值的最值,例1 在ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,则角B的最大值为 .,答案,解析 由角A,B,C的对边a,b,c成等差数列得a+c=2b.由余弦定理得cos B= = = .又B(0,),则B ,即角B 的最大值是 .,【方法归纳】 求三角形中角的最值,一般先求角的某一三角函数值,通常取 余弦、正切等,若已知边的关系,利用余弦定理建立目标函数.,1-1 在ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等比数列,则角B的最大值为 .,答案,解析 由角A,B,C的对边a,b,c成等
2、比数列得ac=b2.由余弦定理得cos B= = .又B(0,),则B ,即角B的最大值为 .,1-2 若ABC的内角满足sin A+ sin B=2sin C,则cos C的最小值是 .,答案,解析 sin A+ sin B=2sin C,由正弦定理得a+ b=2c.由余弦定理得cos C= = ,当且仅当a= b时 取等号,故cos C的最小值是 .,1-3 在ABC中,已知tan A=3tan B,则A-B的最大值为 .,答案,解析 tan(A-B)= = = = ,当且仅当tanB= ,B= 时取等号.又A,B都是锐角,则- A-B ,故A-B的最大值是 .,题型二 三角形中面积的最值
3、或取值范围,例2 在ABC中,AB=2,AC= BC,则ABC面积的最大值为 .,答案 2,解析 以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC= BC,得(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2,化简得(x-3)2+y 2=8,即为点C的轨迹方程,当C(3,2 )时,ABC的面积取得最大值为2 .,【方法归纳】 已知三角形的一条边长(即三角形有两个顶点固定)、与第 三个顶点有关的条件,求相关的最值问题时,通常利用轨迹思想可以简化运 算,即建立适当的直角坐标系,求出第三个顶点的轨迹方程,再结合轨迹的特 征直接求解最值或
4、建立目标函数,根据函数的特征选择基本不等式、导数等 方法求解最值.,2-1 在ABC中,已知AB=2,AC2-BC2=6,则tan C的最大值是 .,答案,解析 以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC2-BC2=6得(x+1)2+y2-(x-1)2-y2=6,化简得x= ,即点 C的轨迹方程是x= (y0).不妨设y0,直线与x轴的交点为D,ACD=, BCD=,则tan C=tan(-)= = = ,当且仅当y= 时 取等号,故tan C的最大值是 .,2-2 (2018江苏淮阴中学阶段检测)在ABC中,AC
5、=2,AB=mBC(m1),若恰好 当B= 时ABC面积最大,则m= .,答案 2+,解析,以AC所在的直线为x轴,AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-1, 0),C(1,0).设B(x,y),y0,由AB=mBC(m1)得(x+1)2+y2=m2(x-1)2+y2,化简得x2+y2- x+1=0,即 +y2= .设直线 x= 与x轴的交点为D,ABD=,CBD=,则ABC的面积最大时,B ,此时ABC= ,即 -= ,tan = =m,tan = = ,则tan(-)= = ,化简得m2-2 m-1=0,又m1,解得m=2+ .,例3 已知ABC中,角A,B,C的对边分别是a,
6、b,c,且a=2,A= ,求ABC面积的 取值范围.,解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,则4=b2+c2-bcbc,当且仅当b=c时 取等号,则ABC的面积S= bcsin A 4 = ,故ABC面积的取值范围 是(0, .,【方法归纳】 已知三角形的一边和它的对角,求三角形面积的最值或取值 范围一般有两种方法:一是利用余弦定理和基本不等式,结合三角形面积公式 求解,二是利用正弦定理和三角形面积公式建立三角形的面积关于某个角的 三角函数,再结合三角函数的图象求解最值或取值范围.若对三角形加上一点 限制条件,如“锐角三角形”,则选择方法二.,3-1,如图所示,已知半圆的直径
7、AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的 一个动点,以DC为边作等边PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边 形OPDC面积的最大值.,解析 设POB=,(0,),四边形OPDC的OPC中,由余弦定理得PC2=OP2 +OC2-2OPOCcos =5-4cos .,S=SOPC+SPCD= 12sin + (5-4cos ) =2sin + , 当- = ,即= 时,Smax=2+ .,3-2 (2018江苏如皋调研)在ABC中,| + |=| - |. (1) 求角C的大小; (2)若CDAB,垂足为D,且CD=4,求ABC面积的最小值.,解析 (1)由| + |=|
8、- |,两边平方| + |2=| - |2,即( + )2=( -)2,得 =0,即 ,所以C= . (2)在RtADC中,AC= = , 在RtBDC中,BC= = ,又A , 所以sin B=sin =cos A, 所以SABC= ACBC= = = . 由A 得2A(0,),故sin 2A(0,1,当且仅当A= 时,(sin 2A)max=1,从而(SABC)min=16.,题型三 三角形中代数式的取值范围或最值,例4 在ABC中,若A=2C,则 的取值范围是 .,答案 (1,2),解析 由A=2C得sin A=sin 2C=2sin Ccos C,且C ,则 = =2cos C (1,
9、2).,4-1 在锐角ABC中,若A=2C,则 的取值范围是 .,答案 ( , ),解析 由A=2C得sin A=sin 2C=2sin Ccos C.由锐角ABC得 解得C , ,则 = =2cos C( , ).,4-2 (2018江苏海安高级中学月考)在ABC中,角A,B,C的对边依次为a,b,c, 若ABC为锐角三角形,且满足c2-b2=ab,则 - +2sin C的取值范围是.,答案 ,3,解析 c2=b2+ab=a2+b2-2abcos C,化简得b=a-2bcos C,则sin B=sin A-2sin Bcos C,sin B=sin(B+C)-2sin Bcos C,化简得s
10、in B=sin(C-B),即在锐角三角形中,C=2B, 则 解得 B ,则 C ,则 sin C1,则 - +2sin C= +2sin C= +2sin C,则所求取值范围是 ,3 .,1.已知ABC的周长为16,且BC=6,则 的取值范围是 .,答案 7,16),解析 以BC所在的直线为x轴,BC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系, 则B(-3,0),C(3,0).设A(x,y),y0,由AB+AC=10结合椭圆定义得点A的轨迹是椭 圆,轨迹方程为 + =1,y0,则x(-5,5), =(-3-x,-y)(3-x,-y)=x2-9+y2= x2+77,16).,2.在锐角三角形ABC中
11、, c=asin B,则sin C的最大值是 .,答案,解析 由c=asin B得tan A+tan B=tan Atan B.因为tan C=-tan(A+B)= = =1+ ,又tan A+tan B=tan Atan B2,所以tan Atan B4,所以tan C ,所以sin C的最大值是 .,3.(2018江苏南京、盐城模拟)若不等式ksin2B+sin Asin C19sin Bsin C对任意 ABC都成立,则实数k的最小值为 .,答案 100,解析 结合原不等式,由正弦定理可得kb2+ac19bc,则k max.因为 a+bc,所以 =- 2+ +19=- -9 2+1001
12、00,当=9时取等号,则k100,即k的最小值为100.,4.(2018江苏苏州期中)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin B+ sin C=msin A(mR),且a2-4bc=0. (1)当a=2,m= 时,求b,c的值; (2)若角A为锐角,求实数m的取值范围.,解析 (1)由题意得b+c=ma,a2-4bc=0. 当a=2, m= 时,b+c= ,bc=1,解得 或,(2)cos A= = = =2m2-3.因为角A为锐角, 所以cos A=2m2-3(0,1),所以 0,所以 m .,5.(2018江苏高考预测)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,
13、c,且(2b-c) cos A=acos C. (1)求角A的大小; (2)若y=cos2 +cos2 -1,求y的取值范围.,解析 (1) = = ,(2b-c)cos A=acos C, (2sin B-sin C)cos A=sin Acos C, 2sin Bcos A-sin Ccos A=sin Acos C. 即2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C). 又A+C=-B,sin(A+C)=sin B,2sin Bcos A=sin B. B ,sin B0,cos A= . 又A ,A= .,(2)B+C= ,C= -B. y=cos2 +cos2 -1= + -1= = = sin . 又ABC是锐角三角形,得 -B ,B , , B+ , , sin 1, y的取值范围是 .,
