1、微专题5 立体几何中体积的求解策略,微专题5 立体几何中体积的求解策略 题型一 等积转换法求体积,例1 (2017江苏楚州中学月考) 如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.求三棱锥 的体积.,解析 由题意得EF= BD1= ,B1F= = = ,B1E= =3. EF2+B1F2=B1E2,EFB1=90. 又易知CF平面EFB1, = = CF = EFB1FCF= =1.,【方法归纳】 所谓等积法就是利用转化思想,把要求的几何体体积转化 为另一个同体积几何体来求. 变化观察角度是计算体积常用的转化策略之一.变换的基本依据是变化前 后等体积
2、,变换的标准是看相应的底面和高是否容易求解.,1-1 (2018南京师大附中高三模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均 为2,D为棱B1C1上任意一点,则三棱锥D-A1BC的体积是 .,答案,解析 三棱锥D-A1BC的体积 = = 22 = .,1-2 如图,已知多面体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别是棱AA1 和CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.,解析 EB=BF=FD1=D1E= = a, 四棱锥A1-EBFD1的底面EBFD1是菱形. 连接EF,则EFBEFD1,三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高, 它们的体积相等. CC1
3、平面ABB1A1,三棱锥F-EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离,即,为棱长a. 又EBA1的边A1E上的高是BA=a, 三棱锥A1-EFB的体积等于三棱锥F-EBA1的体积= aa= a3. 四棱锥A1-EBFD1的体积=2 a3= a3.,题型二 割补法求体积,例2 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,且长度分别为 3、4、5,求该三棱锥外接球的表面积和体积.,解析 将三条侧棱PA、PB、PC两两垂直的三棱锥P-ABC补成一个长方体, 两两垂直的三侧棱就是长方体的长、宽、高,则该长方体的体对角线就是三 棱锥P-ABC的外接球的直径,设其长为2R,则2R= =5
4、 ,所以三棱锥 P-ABC的外接球的表面积为4R2=(2R)2=(5 )2=50,体积为 R3= = .,【方法归纳】 割补法是求体积、表面积、距离的基本方法,常常将一个 不太容易求体积的几何体转化为易求的规则几何体求解,是一种常用的技巧. 在解题中遇到三侧棱两两垂直的三棱锥,通常将它补成长方体,便于解决问 题.特别地,若三棱锥的三侧棱两两垂直且相等,则可将它补成正方体.,2-1 在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE, BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为 .,答案,解析 如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH
5、,容易求得 EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= ,且EG平面ADG,FH平面BHC, SADG=SBHC= 1= , VABCDEF=VE-ADG+VF-BHC+VADG-BCH=2VE-ADG+VADG-BCH = 2+ 1= .,2-2 如图,已知三棱锥P-ABC中,棱AC的长为6,其余各棱长均为5,求该三棱锥 的体积.,解析 取AC的中点D,连接PD,BD,易证得直线AC与平面PBD垂直,则 VP-ABC=VA-PBD+VC-PBD= ADSPBD+ CDSPBD = (AD+CD)SPBD= 6SPBD=2SPBD. PB=5,且易知BD=PD=4, SPBD= 5 = , VP
6、-ABC= .,题型三 置入法求体积,例3 已知一四面体各面都是边长为13、14、15的全等三角形,求此四面体 的体积.,解析 如图甲,不妨设BC=13,AB=14,AC=15,将图甲中的四面体置入图乙所示 的长方体中.由此,该四面体的体积就转化成长方体的体积与四个全等的四面体的体积之,差.设长方体的棱BE=x,CE=y,AE=z, 则 解之得 V长方体=xyz= =126 , VC-ABE= =21 , VD-ABC=V长方体-4VC-ABE=42 .,【方法归纳】 所谓置入法就是依据各种几何体形状之间的联系,把几何 体放入一个比较规则的几何体中来求体积的方法. 将不太容易求体积的几何体置入
7、熟悉的几何体中,使图形结构更完整、更 充实,便于体积的计算.,3-1 如图,在多面体ABCDE中,AE平面ABC,BDAE,且AC=AB=BC=BD=2, AE=1,求多面体ABCDE的体积.,解析 将多面体ABCDE置入如图所示的直三棱柱ABC-ADC中,由已知条件 不难得出多面体的体积为直三棱柱体积的一半,则VABCDE= VABC-ADC= 22 2= .,1.(2017江苏泰州中学调研)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为 线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为 .,答案,解析 三棱锥D1-EDF的体积即为三棱锥F-DD1E的体积.因为E,F分
8、别为AA1,B 1C上的点,所以EDD1的面积为定值 ,F到平面AA1D1D的距离为定值1,所以= = 1= .,2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2,侧面BCC1B1的面 积为4,此三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 .,答案 4,解析 如图,将三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,记A1到平面 BCC1B1的距离为d,则d=2,则 = = d= 42=4.,3.(2018苏州学业阳光指标调研)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国 古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左 右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90榫卯起来.若正四 棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则 该球形容器的表面积至少为 .(容器壁的厚度忽略不计,结果保留),答案 30,解析 该球即为长、宽、高分别是1、2、5的长方体的外接球,其直径2R= = ,则该球的表面积为4R2=(2R)2=30.,
