1、11.3“反证法”1教材内容及地位本节课是北师大版数学 （选修 2-2）第一章“推理与证明”的第 3 节内容反证法的第一课时，学生主要学习间接证明的一种基本方法反证法，学生通过学习，了解反证法的思考过程、方法特点、及应用范围.它是在学完直接证明的两种方法综合法和分析法后，出现的一种间接证明的方法，这种方法的学习有助于培养学生逆向思考的思维能力，从而完善解题过程中正反面结合的思维习惯.2.教学目标1.知识与技能（1）学生通过具体的例子了解反证法的思考过程、特点.（2）学生通过已经学过的数学实例的证明体会反证法的证明过程，并能用反证法证明一些简单的数学命题.2.过程与方法（1）学生借助实例分析体会
2、反证法的证明原理.（2）学生通过实际演练体会在解决数学问题时，通过增加条件，增加了一种间接证明的方法反证法.3.情感、态度与价值观（1）学生通过反证法的运用，在解决问题时有了“正难则反”的思维方向，发展了自己的思维能力，渗透了运用辩证观点解决问题的意识.（2）学生认识到例题背后的数学文化，了解了数学发展的源远流长，激发了自己学习数学的兴趣.5、教学过程（一）创设情境，引入课题（以下内容部分通过课件展示）问题 1：将 9 个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有 5 个球是同色的.你能证明这个结论吗？假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过 4，则球的总数应该不超过 8 个，这与球的总
3、数是 9 矛盾.因此，不论怎样染，至少有 5 个球是同色的.设计意图：学生能够从具体的例子中，感受到反证法的存在。2问题 2：上面的证明方法和我们上节课学习的综合法和分析法相同吗？不同.设计意图：学生了解反证法是与直接证明不同的一种方法.问题 3：上面这种证明方法在数学中叫做什么呢？反证法.设计意图：学生知道在数学证明方法中，还有这样一种证明方法.（二）引导探索，生成概念问题 4：你能总结一下什么叫做反证法吗？一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.设计意图：学生试着总结反证法的定义.问题 5：有了反证法的定义，
4、你能总结出用反证法证明题目的步骤吗？反证法证明题的步骤：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立.从假设出发，经过推理，得出矛盾.由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确.设计意图：学生试着总结反证法证明题目的步骤.问题 6：反证法中到底蕴含着什么样的数学逻辑？反证法是将证明 qp转化为 tr，而 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，而 “t一般与 “不等价。因此反证法与证明逆否命题不是一回事.（三）学以致用，理解感悟例 1.已知 a是整数， 2能整除 2a.求证： 能整除 a.学生活动：引导学生从正面出发试着证明，不妨设 )(12Nn，那么 12na，2 能否整除 不容易确定.这样我们想到了反
5、证法.证明：假设命题的结论不成立，即“ 2不能整除 a”.因为 a是整数，故 是奇数， a可表示为 )(1为 整 数m，则141222m，3即 2a是奇数.所以， 不能整除 2a.这与已知 “ 2能整除 2a”相矛盾.于是， “ 不能整除 ”这个假设错误，故 能整除 .设计意图：学生体会从假设出发，如何推导出与已知矛盾.探究一：已知 a是整数， 3能整除 2a.求证： 3能整除 a.学生活动：仿照例 1 的证明过程，学生思考， 能整除 的否定有哪些情况，然后试着证明.证明：假设命题的结论不成立，即“ 3不能整除 a”.因为 a是整数， 可表示为 )(21为 整 数或 m，则当 13m时1369
6、222 ，当 a时 413222 m，综上所述， 不能整除 a，这与已知 “3能整除 2a”相矛盾，于是， “ 不能整除 ”这个假设错误，故 能整除 .设计意图：一方面进一步熟悉反证法的证明过程，另一方面对例 1 的结论进行推广，最后，为课后练习“求证： 3是无理数”做知识的铺垫.探究二：已知 a是整数， 5能整除 2a.求证： 5能整除 a.学生活动：这个问题可以让学生仿照“探究一”课后训练.设计意图：为课后作业“求证： 是无理数”做知识的铺垫.例 2.求证： 2是无理数.数学文化：关于“ 是无理数”的证明有其深厚的文化背景 .两千多年前，古希腊人用反证法证明了 不是有理数（因为当时还没有发
7、现无理数呢） ，这是用反证法证明命题的真实性的最经典的实例.对这些感兴趣的同学课后可以查阅相关资料进行学习.证明：假设 2不是无理数，即 2是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，4设0,2pq，且 q,互素，则 qp2.所以，2.故2q是偶数， 也必然为偶数.不妨设 k，带入式，则有24kp，即2p，所以， 也为偶数.和 q都是偶数，它们有公约数 2，这与 qp,互素相矛盾 .这样， 2不是有理数，而是无理数.设计意图：一方面，这个问题是例 1 知识的延续，另一方面，为课后的练习和习题做准备，学生通过此题的证明，能在课后的训练中举一反三，灵活运用.例 3.在同一平面内，两条直线 ba,都和
8、直线 c垂直.求证： a与 b平行.学生活动：引导学生从正面出发，根据两条平行线的定义能否直接证明，由于不容易确定两条直线没有公共点，进而退而求其次，考虑用反证法.证明：假设命题的结论不正确，即“直线 a与 b相交”.不妨设直线 ba,的交点为 M， c,的交点为 P， c,的交点为 Q，如右图所示，则0PQ.这样， 的内角和 M189.这与定理“三角形的内角和等于 0”相矛盾.这说明假设是错误的.所以，直线 a与 b不相交，即 a与 b平行.设计意图：一是正面很难入手几何问题可以用反证法证明，同时这个问题从假设出发推出与定理矛盾，学生体会原来矛盾得点很多.课堂练习：PQcMab5求证： 3是
9、无理数.求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于 60.学生活动：找两名同学板书演练，其他同学自己练习.设计意图：针对例 1 和例 2 进行训练.回顾反思，深化认识课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？（关键词：证明方法，数学思想，情感体验等 ）证明方法：反证法一般步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立.（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾.（3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确.矛盾情况：可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾.适用范围：（1）当已知条件与结论之间的关系不够明显，直接由条件推的结论的线索不够清晰；（2）如果从
10、正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而面进行，只要研究一种或很少的几种情形；（3）结论是否定形式的命题；（4）关于“存在性”和“唯一性”命题及其他直接证明有困的命题.数学思想：学会逆向思维.情感体验：渗透了运用辩证观点解决问题的意识.设计意图：给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高布置作业课本第 15 页习题 1-3：（3） ， （4）题.6设计意图：课堂与课后训练有机结合，学生通过作业的训练，能用反证法解决一些基本的数学问题.板书设计教后反思我觉得这节课的设计亮点有：一是通过增加探究问题的训练，学生能从例 1 很好的过度到例 2 的学习中去，二是将课堂和课后的训练有机的结合，真正让学生不再出现“课堂上一听就懂，课后一做就错”的数学学习怪圈.
