1、11.4数学归纳法一、教学分析本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经学过归纳和推理相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段，它有利于发现问题，形成猜想，但是结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法；完全归纳，结论可靠，但一一核对困难。从而需要一种科学的方法解决与正整数相关的数学问题，即必须进一步学习严谨的科学的论证方法数学归纳法。数学归纳法安排在归纳和推理之后，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在
2、美的好素材。二、教学目标学生通过归纳和推理等相关知识的学习，已基本掌握了不完全归纳法，具有一定的观察、归纳、猜想能力。通过新课程教学方法的实施和新课程理念的渗透，学生已基本习惯于对已给问题进行探究，但主动提出问题和置疑的能力还有待进一步提高。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课在这方面作了一些尝试。根据教学内容特点和新课程高中数学标准以及学生现有的知识水平，按照学生终身发展需要而制订以下教学目标。1.知识和技能（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）初步理解数学归纳法原理。（3）理解并记住用数学归纳法证明数学命题
3、的两个步骤。（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。2.过程和方法（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生的观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。3.情感、态度和价值观2（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。（2）学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。（3）通过置疑与探究，培养学生独立的人格和敢于创新的精神。三、教学重难点根据新课程教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如
4、下教学重难点：1.重点：（1）初步理解数学归纳法的原理。（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学恒等式。2.难点：（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。（2）假设的利用，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确。四、教学过程第一阶段：输入阶段创造学习情境，提供学习内容创设问题情境，启动学生思维不完全归纳法和完全归纳法对比引例：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪
5、的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，主要用的就是归纳法这些归纳却不能用完全归纳法回顾数学旧知，追溯归纳意识（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到以前的学习中其实早已接触过归纳 ）(1)不完全归纳法实例：已知数列 na中, 20,1,6,2431 aa，试写出该数列的一个通项公式(2)完全归纳法实例：利用判别式总结直线和椭圆位置关系时分 ,和 三种情况进行讨论3借助数学
6、史料,促使学生思辨（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生全方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学家都可能如此那么，有没有更好的归纳法呢？）问题 1 已知 na22)5(（nN） ，(1)分别求 ， 2， 3， 4a；(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？经计算得 ,1a,2,13,4得出推断 1na.事实上，经计算可知 5.（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力概括能力是思维能力的核心鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的心理学认为“迁移就是概括” ，这里知识、技
7、能、思维方法、数学原理的迁移，找的突破口就是学生的概括过程 ）问题 2 41)(2nf,当 nN 时， )(nf是否都为质数？验证：f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151，f（39）1 601但是 f（40）1 681 241，是合数第二阶段：新旧知识作用，搭建新知结构搜索生活实例，激发学习兴趣（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理,揭示递推过程孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者 ”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验 ）实例：播
8、放多米诺骨牌录像关键：(1)第一张牌被推倒；(2)假如某一张牌倒下,则它的后一张牌必定倒下于是,我们可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下再举几则生活事例：车棚里整齐排放的自行车被推倒,烽火台传递信息，早操排队对齐等探究数学问题,领悟方法真谛4类比多米诺骨牌过程,探究下面问题：不等式 12n对于哪些正整数 n 都成立？证明你的结论。下面以对话、交流、探讨的形式给出本节课的关键环节：（1）结论的发现：通过验算，学生得出初步结论：当 3n时，原不等式成立。(2)尝试证明：（师）如何改进刚才无穷无尽的实验方法？比如 n=4 时的情况：已知 n=3 时，不等式成立，即 132，能否由此出发来证明不等式当 n
9、=4 时也成立，即 142。就是来考虑一个新问题：已知 132，求证： 142（不用直接计算）(生) 3)(34 （师）现在已知 n=4 时不等式成立，以此出发来证明当 n=5 时，不等时也成立。即已知124，求证： 152.（生）可以仿照刚才的证明那样，只要把 3 改成 4，把 4 改成 5 就可以了。（师）刚才的证明与试验的不同之处是：试验一次与另一次的均不同，要做无穷多次，永远做不完。而现在做的，虽然也要做无穷多次，但都是类似的，本质上是相同的。做一次可以顶很多次了。那么能否把刚才的问题一般化？已知 12,3kNk，求证： 1)(21kk（生） )(21 kk（师）大家好好领会一下刚才完
10、成的证明，一个可以顶无穷多个。因为 n=3 时，经直接检验，不等式成立。根据刚才的证明，n=4 时不等式能成立；再依据此理，n=5,n=6,直至对任意正整数 n，不等式 12n都能成立了。（师）能否把刚才的思维过程用关键性的几个步骤表示出来？思考交流后，学生给出以下步骤：验证当 n3 时原不等式成立；假设当 n=k )(k时不等式成立,即 12k.则当 nk1 时)(1221 kkk所以根据，不等式 n对任何 n *N， 3都成立5（布鲁纳的发现学习理论认为， “有指导的发现学习”强调知识发生发展过程这里通过类比多米诺骨牌游戏的过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习 ）引导
11、学生概括,形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1)证明当 n 取第一个值 0时结论正确；(2)假设当 nk(k *N，k n)时结论正确,证明当 nk1 时结论也正确完成这两个步骤后,就可以断定命题对从 0开始的所有正整数 n 都正确这种证明方法叫做数学归纳法第三阶段：操作阶段巩固认知结构，充实认知过程方法初步应用,培养反思意识（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力 ）例 1 证明：首相为 1a，公差为 d 的等差数列 na的前 n 项和公式为.2)1(1dnasn教师引导学生应用数学归纳法证明例
12、题之后，紧接着提出下面问题：思考与交流有同学第二步采用下面的证法：假设 n=k 时命题成立，即.2)1(1dkask则当 n=k+1 时,因为 121kk aas ，121akk ,所以 )(2)()()(2 11 kakdkasK即 n=k+1 时命题也成立.你认为这样证明正确吗？结论：实际上这个证明是不正确的。用数学归纳法证明时，第二步证明一定要建立一个命题：“假设 ),(0Nkn时命题成立，求证当 1kn时命题也成立” ，并对此命题进行证明。而上面的证法在第二步没有使用归纳假设，所以这个证明不是数学归纳法的证明。教师点评：证明第二步时，不是直接将 1kn代入命题完事，只在形式上摆出结论，
13、而应该是由“ kn时命题成立”推出“ 时命题也成立” ，得出递推关系，从而完成证明。6师生共同小结,完成概括提升(1)本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3)数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明不能忘；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想布置课后作业,巩固延伸铺垫课本第 19 页习题 14 第 1,3 题补充作业：已知数列 na中，).(1,1 Nnan计算 432,a的值，并猜想通项 n的公式；用数学归纳法证明你的结论。
