1、专题8 解析几何,第2讲 综合大题部分,考情考向分析 1直线与圆的问题，以相交或相切为主，求直线或圆的有关定点、定值、最值问题 2直线与圆锥曲线的问题，以直线与椭圆、抛物线相交为主，求有关定点、定值、最值、范围或存在性问题,考点一 直线与圆的位置关系已知mR且m0，直线l：(m21)x2my4m0，圆C：x2y28x4y160.(2)求l的倾斜角的取值范围；,解析：(1)因为圆C：x2y28x4y160， 所以(x4)2(y2)236， 则圆心C(4，2)，半径r6.所以直线与圆C相交,因为(m21)x2my4m0， 所以直线l恒过点(0，2) 设直线l的方程为ykx2，其中|k|1. 圆心C
2、(4，2)到直线l的距离,考点二 求方程问题(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解析：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,解得k1(舍去)，k1. 因此l的方程为yx1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)， 所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)， 即yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则,利用直线与圆锥曲线的关系求曲线方程或直线方程一般采用待定系数法：(1)定型：设出圆锥
3、曲线方程形式或直线方程形式(注意存在条件)(2)定量：利用位置关系条件建立方程组求解,考点三 求弦长问题(1)求椭圆C的标准方程；,解析：(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)，(2)假设存在斜率为1的直线l，设为yxm， 由(1)知F1，F2的坐标分别为(1,0)，(1,0)， 所以以线段F1F2为直径的圆为x2y21，,得7x28mx4m2120， 由题意得(8m)247(4m212)33648m248(7m2)0，解得m27， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，,1解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点为：(1)设直线与椭圆的交点为A(
4、x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解即可,2直线与圆锥曲线的相交弦的弦长,考点四 定点问题(1)求实数m的取值所组成的集合M；(2)是否存在定点P使得任意的mM，都有直线PA，PB的倾斜角互补若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由,(2)假设存在定点P(x0，y0)使得任意的mM，都有直线PA，PB的倾斜角互补，即 kPAkPB0.(两条直线的倾斜角互补，其斜率之和为0),本题是椭圆中相关定点的存在性问题，
5、求解的思路是：先假设存在定点满足条件，再结合条件求出定点坐标，并进行检验，若符合题意，则存在，若不符合题意或求不出定点坐标，则不存在 (1)直线过定点： 若直线方程为yy0k(xx0)，则直线过定点(x0，y0)； 若直线方程为ykxb(b为定值)，则直线过定点(0，b)； 若直线方程为A(xx0)B(yy0)0，则直线过定点(x0，y0),(2)证明圆过定点P： 若圆心为C，则需证明定点P到圆心C的距离等于半径；,考点五 定值问题(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C相切于点P(不为椭圆C的左、右顶点)，直线l与直线x2交于点A，直线l与直线x2交于点B，请问AFB是否为定值？若不是，请
6、说明理由；若是，请证明解析：(1)因为2a4，所以a2，,(2)当直线l的斜率为0时，切点P的坐标为(0,1)或(0，1)，易知此时|AF|2|BF|2 |AB|2，,求定值常用方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值,考点六 最值(范围)问题,证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则 (x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0) 由(1)及题设得x33(x1x2)1， y3(y1y2)2m0.,1解决这类问题的基本思路是建立目标函数和不等关系 2
7、建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理,1遗漏直线的斜率不存在的情况(1)求椭圆M的方程；(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值,解析 (1)因为F(1,0)为椭圆M的焦点， 所以c1，(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，此时ABD与ABC的面 积相等，即|S1S2|0.(由对称性可知ABD与ABC的面积相等) 当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 直线l的方程为yk(x1)(k0)， 与椭圆M的方程联立，消去y
8、，,法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 直线l的方程为xmy1，与椭圆M的方程联立，消去x， 得(3m24)y26my90，0恒成立，,易错防范 (1)当直线l的斜率不存在时，可设直线方程为x1；当直线l的斜率存在(显然k0)时，可设直线方程为yk(x1)(k0)求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的 (2)本题可将直线方程巧设为xmy1，用含m的式子表示出|S1S2|，并求其最大值显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择.,2求解圆锥曲线的综合问题时忽视“相交”的限制,(2)由题意知直线l的斜率存在，
9、设为k，则l：yk(x2),又|GA|GB|，所以GMAB.,易错防范 (1)求解本题的关键是将条件|GA|GB|转化为点G与线段AB中点的连线 垂直于AB，注意分k0与k0两种情况讨论； (2)求解本题时容易忽视“直线l与椭圆C交于不同的两点A，B”这一条件，若不能根据 0求出k的取值范围，则会导致多解,3求解圆锥曲线的综合问题时不能合理转化已知条件,(2)假设存在满足条件的直线l，结合已知条件易知直线l的斜率存在且不为零，(判断 斜率存在与否是必要的步骤) 可设直线l为yk(x2)，k0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4),得(12k2)x28k2x8k280，132k2320，,即81k4(1k2)2(12k2)2(18k2)， 整理得17k69k424k220， 即(k21)(17k426k22)0，解得k1.(注意复杂运算的正确性) 故存在直线l：yx2或yx2满足题意,
