1、第16讲 等腰、等边与直角三角形,考点一,考点二,考点三,考点一等腰(边)三角形的性质与判定(高频) 1.等腰三角形,考点一,考点二,考点三,2.等边三角形,考点一,考点二,考点三,考点二直角三角形的性质与判定,考点一,考点二,考点三,考点三线段的垂直平分线,1.(2014安徽,8,4分)如图,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( C ),解析 设BN=x,则由折叠的性质可得DN=AN=9-x,根据中点的定义可得BD=3,在RtDBN中,根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可求解. 设BN=x,由折叠的性质可得DN
2、=AN=9-x, D是BC的中点,BD=3, 在RtDBN中,x2+32=(9-x)2, 解得x=4.故线段BN的长为4.,命题点1直角三角形的性质,命题点1,命题点2,2.(2010安徽,14,5分)如图,AD是ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出ABC是等腰三角形的是 .(把所有正确答案的序号都填写在横线上) BAD=ACD;BAD=CAD; AB+BD=AC+CD;AB-BD=AC-CD.,命题点1,命题点2,命题点2 等腰(边)三角形性质与判定,解析 当BAD=CAD时,AD是BAC的平分线,且AD是BC边上的高, BAC是等腰三角形;(等腰三角形三线合一) 延长DB至E
3、,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE,AF. AB+BD=CD+AC,DE=DF, 又ADBC,AEF是等腰三角形;E=F; AB=BE,ABC=2E; 同理,得ACB=2F;ABC=ACB, 即AB=AC,ABC是等腰三角形;,命题点1,命题点2,在ABC中,ADBC,根据勾股定理,得 AB2-BD2=AC2-CD2, 即(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD); AB-BD=AC-CD,AB+BD=AC+CD; 两式相加得,2AB=2AC,AB=AC, ABC是等腰三角形.,命题点1,命题点2,考法1,考法2,考法1等腰(边)三角形的性质与判定,例1(20
4、17天津)如图,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是( ) A.BC B.CE C.AD D.AC 答案:B 解析:由AB=AC,可得ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称,BP=CP,因此BP+CP的最小值为CE的长,故选B.,考法1,考法2,方法总结等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推导出两角相等,是证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形的“三线合一”性质是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据,作高(或者顶角平分
5、线、底边中线)是常用辅助线.,考法1,考法2,对应练1(2018浙江湖州)如图,AD、CE分别是ABC的中线和角平分线.若AB=AC,CAD=20,则ACE的度数是( B )A.20 B.35 C.40 D.70,解析:AB=AC,AD是ABC的中线, ADBC.CAD=20,ACD=70. CE是ACB的平分线,ACE=35.故选B.,考法1,考法2,对应练2(2018内蒙古包头)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D、E分别在BC、AC上,且DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为( D )A.17.5 B.12.5 C.12 D.10,解析:由C+BAC=1
6、45得B=35,由AB=AC得B=C=35,由等腰直角三角形的性质可得AED=45,AED=EDC+C,EDC=45-35=10.,考法1,考法2,对应练3(2018湖南娄底)如图,ABC中,AB=AC,ADBC于D点,DEAB于点E,BFAC于点F,DE=3 cm,则BF=6 cm.,解析:在RtADB和RtADC中,BF=6, 故答案为6.,考法1,考法2,考法2直角三角形的性质与判定 例2(2016湖北鄂州)如图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,1=120,P是直线l上一点.当APB为直角三角形时,AP= .,考法1,考法2,解析 当APB=90时,分两种情况讨论, 情况一:如
7、图1, AO=BO, PO=BO, 1=120,AOP=60, AOP为等边三角形, OAP=60, PBA=30,AP= AB=3;,考法1,考法2,情况二:如图2,AO=BO,APB=90, PO=BO, 1=120, BOP=60, BOP为等边三角形, OBP=60,当BAP=90时,如图3, 1=120, AOP=60,图2,图3,考法1,考法2,当ABP=90时,如图4, 1=120,BOP=60.,方法总结本题主要考查了勾股定理,含30角直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线,利用分类讨论、数形结合是解答此题的关键.,考法1,考法2,对应练4(2018四川泸州)“赵爽弦图”巧妙地
8、利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( D )A.9 B.6 C.4 D.3,解析:因为ab=8,所以每一个直角三角形的面积为 ab=4,则小正方形的面积为25-44=9,所求边长为3.,考法1,考法2,对应练5(2018湖北黄冈)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=( C ),考法1,考法2,解析: 在RtABC中,因为AC=8 cm,BC=6 cm,所以AB=10 cm.设CE=x cm,由折叠的性质得,BE=AE=(8-x)cm,在RtBCE中,根据勾股定理得62+x2=(8-x)2,解得x= .,对应练6(2017甘肃庆阳)如图,有一张三角形纸片ABC,C=90,AC=8 cm,BC=6 cm,现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕DE长等于 cm.,
