1、第19讲 解直角三角形及其应用,考点一,考点二,考点三,考点一锐角三角函数 1.三角函数的概念,互余两角的三角函数关系:sin(90-A)=cos A ;cos(90-A)=sin A .,考点一,考点二,考点三,2.特殊角的三角函数值,考点一,考点二,考点三,考点二解直角三角形的一般类型,考点一,考点二,考点三,考点三解直角三角形的实际应用(高频) 1.常见概念,考点一,考点二,考点三,2.解直角三角形的实际应用题的方法 解直角三角形的实际应用问题时,要读懂题意,分析背景语言,弄清题中各个量的具体意义及各个已知量和未知量之间的关系,把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题,具体方法如下:
2、(1)紧扣三角函数的定义,寻找边角关系;,考点一,考点二,考点三,(2)添加辅助线,构造直角三角形.作高是常用的辅助线添加方法(如图所示).(3)逐个分析相关的直角三角形,利用直角三角形的边角关系求解.,命题点 解直角三角形的实际应用,1.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数
3、)(参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02),解法一过点F作AB的垂线交AB于点H,交AE于点G,FHDB, 1=45, 2=3=45,FEG=90.,AB=AH+BH=AH+FD18(米).答:旗杆AB的高度约为18米.,解法二由题意得:FED=45,AEB=FED=45,2.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A-B-D的路线可至山顶D处,假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600 m,=75,=45,求DE的长.(参考数据:sin 750.97,cos 750.26, 1.41),解: 在RtABC中,AB=600 m,ABC=75,
4、BC=ABcos 756000.26156(m). 2分 在RtBDF中, DBF=45,四边形BCEF是矩形, 4分 EF=BC=156(m). DE=DF+EF=423+156=579(m). 8分 答:DE的长为579 m.,3.(2016安徽,19,10分)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A,B是l1上的两点,C,D是l2上的两点.某人在点A处测得CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得DEB=60,求C,D两点间的距离.,4.(2015安徽,18,8分)如图,平台AB高为12米,在B处测得楼房CD的仰角为45,底部点C的俯角为30,求楼房
5、CD的高度.( 1.7),考法1,考法2,考法3,考法1锐角三角函数,例1(2017湖北宜昌)ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),ADBC于D,下列选项中,错误的是( ) A.sin =cos B.tan C=2 C.sin =cos D.tan =1 答案:C 解析:先构建直角三角形再根据三角函数的定义解答,方法总结求锐角的三角函数,首先要确定在哪个直角三角形中考察,其次要清楚所求的是哪两边之比.常通过“等角代换”,将所求的锐角的三角函数转化到另外的直角三角形中考查.,考法1,考法2,考法3,对应练1(2018贵州贵阳)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长
6、为1,则tanBAC的值为 ( B ),解析:连接BC,则BCAB.在RtABC中,考法1,考法2,考法3,对应练2(2017湖南怀化)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin 的值是 ( C ),考法1,考法2,考法3,对应练3.(2017内蒙古包头)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cos AEF的值是 .,解析: 在矩形ABCD中,B=C=90,AB=CD=2,AD=BC=3,FC=2BF,点E是CD的中点,可知CE=1,BF=1,CF=2,得RtABFRtFCE,则有2=3,1+3=9
7、01+2=90,AFE=90.,考法1,考法2,考法3,考法2直角三角形中的边角关系,例2(2012安徽)如图,在ABC中,A=30,B=45,AC=2 ,求AB的长.,解:如图,过点C作CDAB于点D,在RtACD中,考法1,考法2,考法3,对应练4(2018浙江金华)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得ABC=,ADC=,则竹竿AB与AD的长度之比为( B ),考法1,考法2,考法3,对应练5(2017山东临沂)在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=4,BD=10,sin BDC= ,则ABCD的面积是24 .,对应练6(2017上海)如图,一座钢结构桥梁的框架是ABC
8、,水平横梁BC长18米,中柱AD高6米,其中D是BC的中点,且ADBC.(1)求sin B的值; (2)现需要加装支架DE,EF,其中点E在AB上,BE=2AE,且EFBC,垂足为点F,求支架DE的长.,考法1,考法2,考法3,考法1,考法2,考法3,考法1,考法2,考法3,考法3解直角三角形的实际应用 例3(2014安徽)如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成30角,长为20 km;BC段与AB,CD段都垂直,长为10 km,CD段长为30 km,求两高速公路间的距离(结果保留根号).分析过B点作BEl1,交l1于E,CD于F,l2
9、于G.在RtABE中,根据三角函数求得BE,在RtBCF中,根据三角函数求得BF,在RtDFG中,根据三角函数求得FG,再根据EG=BE+BF+FG即可求解.,考法1,考法2,考法3,解 如图,过B点作BEl1,交l1于E,CD于F,l2于G. 在RtABE中,BE=ABsin 30=20 =10(km), 在RtBCF中,考法1,考法2,考法3,方法总结解这类实际应用问题,关键是要将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系,即把实际问题抽象成数学模型(构造直角三角形),然后根据直角三角形边、角以及边角关系求解.解题时应注意弄清仰角、俯角、水平距离、坡度(坡比)、坡角等概念的意义,认
10、真分析题意,观察图形(或画图)找出要解的直角三角形,选择合适的边角关系式计算,并按照题中要求的精确度确定答案,注明单位.在一些问题中,如斜三角形问题,要根据需要添加辅助线,构造出直角三角形,从而转化为解直角三角形的问题.解题时方法要灵活,选择关系时尽量考虑用原始数据,减小误差.,考法1,考法2,考法3,对应练7(2018四川绵阳)一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据:A.4.64海里 B.5.49海里 C.6.12海里 D.6.21海
11、里,考法1,考法2,考法3,解析:如图所示, 由题意知,BAC=30,ACB=15, 作BDAC于点D,以点B为顶点,BC为边, 在ABC内部作CBE=ACB=15, 则BED=30,BE=CE, 设BD=x,考法1,考法2,考法3,对应练8(2018重庆B卷)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物.某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=10.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 240.41,cos 240.91,tan 240.45)( A )A.21.7米 B.22.4米 C.27.4米 D.28.8米,考法1,考法2,考法3,解析:过点C作CNDE于点N,延长AB交ED的延长线于点M,则BMDE于点M,则MN=BC=20米.斜坡CD的坡比i=10.75,令CN=x,则DN=0.75x.在RtCDN中,由勾股定理,得x2+(0.75x)2=102,解得x=8,从而CN=8米,DN=6米. DE=40米,ME=MN+ND+DE=66米,AM=(AB+8)米.在RtAME中,
