1、18.2.3 正 方 形,【基础梳理】 一、正方形的定义 既是_,又是_的四边形. 二、正方形的性质 1.正方形的四个角都是_,四条边都_.,矩形,菱形,直角,相等,2.正方形的对角线相等,并且互相_,每条对角 线_一组对角. 三、正方形的判定 1.有一组邻边_的矩形是正方形. 2.有一个角为_的菱形是正方形. 3.对角线_的菱形是正方形. 4.对角线_的矩形是正方形.,垂直平分,平分,相等,直角,相等,互相垂直,【自我诊断】 (1)对角线互相垂直平分的四边形是正方形. ( ) (2)矩形,菱形,正方形都具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分一组对角 D.对角
2、线互相垂直,B,(3)正方形是轴对称图形,它的对称轴共有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 (4)正方形的一条对角线长为4,则这个正方形面积是_. (5)能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_ _(填上一个符合题目要求的条件即可).,D,8,AC=BD且,ACBD,知识点一 正方形的性质 【示范题1】已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQBE于点Q,DPAQ于点P. (1)求证:AP=BQ.,(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.,【思路点拨】(1)根据正方形的性质得出AD=BA,BAQ= ADP
3、,再根据已知条件得到AQB=DPA,判定DAP ABQ并得出结论.(2)根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析.,【自主解答】(1)四边形ABCD为正方形, AB=AD,DAB=90, BAQ+DAP=90. DPAQ,APD=90, ADP+DAP=90, ADP=BAQ,AQBE,AQB=90, APD=AQB,DAPABQ,AP=BQ. (2)AQ与AP,DP与AP,AQ与BQ,DP与BQ.,【备选例题】如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连接DF,AE,AE的延长线交DF于点M.求证:AMDF.,【证明】在正方
4、形ABCD中,AO=DO=OC,ACBD, AOE=DOF=90, OAE+AEO=90, 又DE=CF,OE=OF, AOEDOF, AEO=DFO,OAE+DFO=90, AMF=90, AMDF.,【微点拨】 正方形的“边、角、对角线” (1)边:四条边都相等且每组对边平行. (2)角:四个角都是直角. (3)对角线:两条对角线相等且互相垂直平分,把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;每条对角线平分一组对角,把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.,知识点二 正方形的判定 【示范题2】(2017上海中考)已知:如图,四边形ABCD 中,ADBC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC. (1)求证:四边形ABCD是菱形. (2)如果BE=BC,且CBEBCE=23, 求证:四边形ABCD是正方形.,【微点拨】 判定正方形的一般思路,【纠错园】 已知在正方形ABCD中,点E在边DC上,DE =2,EC =1(如图所示)把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F,C两点的距离为_.,【错因】本题由于考虑问题不全面,只考虑点F在点B 的左侧的情况,漏掉了点F在点B的右侧的情况而出现 错误.,
