1、1榆林市 2019 届高考模拟第一次测试数学（理科）试题第卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数 ，则其虚部为（ ）A. B. C. -2 D. 2【答案】D【解析】【分析】先化简复数 z，即可得出虚部.【详解】 ,故选 D.【点睛】本道题考查了复数的四则运算，基础题.2.若集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法，得到集合 B，然后结合集合交集运算性质，即可。【详解】化简 B 集合，得到 ，因而 ，故选 A。B=x|21)A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】由题意
2、得 ，又由 可得函数图象选 B。4.已知向量 满足 ， ， ，则 （ ）a,b |a|=1 |b|=2 |a+b|= 6 |ab|=A. 2 B. C. D. 2 3 5【答案】A【解析】【分析】根据题意明确 ，进而求出 的值.a b |a-b|【详解】根据题意得， （ ） 2 2 22 a-b =a +b a b又（ ） 2 2+2 21+4+2 6a+b =a a b+b a b=2 1，a b=（ ） 21+414，a-b 2|a-b|=故选： A【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直
3、角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.5.若 都是锐角，且 ， ，则 （ ）, cos=55 sin(+)=35 cos=A. B. C. 或 D. 或2525 255 2525255 55 525【答案】A3【解析】【分析】先计算出 ，再利用余弦的和与差公式，即可.cos(+)【详解】因为 都是锐角，且 ，所以 又, cos=5512 22A. B. (0,12)(2,+) (2,+)C. D. (0,22)( 2,+) (0, 22)【答案】A【解析】因为偶函数 在
4、 上是减函数，所以 在 上是增函数，f(x) (,0 f(x) (0,+)7由题意知:不等式 等价于 ,即f(log4x)2 f(log4x)f(12) f(|log4x|)f(12),即 或 ,解得 或|log4x|12 log4x12 log4x211.函数 ，若对任意实数 ， ，则（ ）f(x)=x3+log2(x+ x2+1) a,b a+b0A. B. f(a)+f(b)0 f(a)+f(b)0C. D. f(a)f(b)0 f(a)f(b)0【答案】B【解析】易知函数 为奇函数，且在 上单调递增，因为 ，所以 ，则f(x) R a+b0 ab，即 .故选 B.f(a)f(b)=f(
5、b) f(a)+f(b)0【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用.解决本题的关键在于联想到要判定函数 的单调性和奇偶性，进而利用性质进行比较大小，这是一种常见题型，要多总结，多f(x)积累.12.已知 分别为双曲线 的左右焦点，过点 的直线与双曲线 的F1,F2 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) F1 C左右两支分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）A,B AB:BF2:AF2=3:4:5A. B. C. 2 D. 13 15 3【答案】A【解析】【分析】本道题目关键利用 ，建立等式，计算离心率，即可。AB2+BF22=AF22【详解】8设 ，结合 ，所以AB=3x,B
6、F2=4x,AF2=5x AF2AF1=2a AF1=5x2a所以 ，而 ，解得 ，结合 BF1=8x2a BF1BF2=2a x=a AB2+BF22=AF22,所以 ，所以 ，建立等式，得到ABF2=900 BF12+BF22=F1F22 4c2=52a2所以离心率 ，故选 A.e=ca= 13【点睛】本道题目考查了直线与双曲线位置关系问题，难度较大。第卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.我国南宋著名数学家秦久韶发现了由三角形三边长求三角形的面积“三斜求积”公式：设 的三个内角 所对的边分别为 ，则 的面积 ，若ABC A,B,C a,b,c ABC S=14c2a2(c2+a2b22
7、 )， ，则用“三斜求积”公式求得 的面积为_a2sinC=4sinA (a+c)2=12+b2 ABC【答案】 3【解析】由正弦定理得，由 得 ，则由 得 ，则a2sinC=4sinA ac=4 (a+c)2=12+b2 a2+c2b2=4.SABC=14(154)= 314.若函数 在 上不单调，则的取值范围是 _f(x)=12x2+4x3lnx t,t+1【答案】0 0 n Sn an= Sn+ Sn1(nN+,n2)（1）求数列 的通项公式；an（2）若数列 的前 项和为 ，求证： .1anan+1 n Tn 120Tn0式式得： ，Sn- Sn-1=1(n2)数列 以 为首项，公差为
8、 1 的等差数列，Sn S1= a1= 4=2 Sn=2+(n-1)=n+1 Sn=(n+1)2当 时，n2 an=Sn-Sn-1=(n+1)2-n2=2n+1当 时， ，不满足上式，n=1 a1=4数列 的通项公式为anan= 4,n=12n+1,n2且 nN+ 11（2）由（1）知， ，则数列 的前 项和an= 4,n=12n+1,n2且 nN+ 1anan+1 n当 时， ，n=1 Tn=145=120当 时， ，满足n=1 Tn=120 120Tn-14n+6-110 .120320- 14n+6b0) e=32 M xa+yb=1 d=455为坐标原点.O（1）求椭圆 的方程；C（2
9、）设直线 与椭圆 相交于 两点，若以 为直径的圆经过坐标原点，证明： 到直线L C A,B AB O的距离为定值.AB【答案】 （1） .（2）见解析x24+y2=1【解析】【分析】（1）结合离心率 ，计算出 a,b,c 之间的关系，利用点到直线距离，计算e=ca,与 a2=b2+c2a,b 值，即可。 （2）分直线 AB 斜率存在与不存在讨论，结合直线方程和椭圆方程,并利用,计算 O 到直线距离,即可.OAOB=x1x2+y1y2=0【详解】 （1）椭圆 的离心率 ，C:x2a2+y2b2=1(ab0) e=32 ，e=ca=32 ，c=32a ，b2=a2-c2=a2-34a2=14a2
10、，即 ，b=12a a=2b椭圆 的左顶点 到直线 ，即到 的距离 ，C M(-a,0)xa+yb=1 bx+ay-ab=0 d=45514 ，b(-a)-aba2+b2= 2aba2+b2=455把 代入得： ，解得： ，a=2b45b5 =455 b=1 ， ，a=2b=2 c= 3椭圆 的方程为 .Cx24+y2=1（2）设 ，A(x1,y1),B(x2,y2)当直线 的斜率不存在时，由椭圆的性质可得： ， ，AB x1=x2 y1=-y2当直线 的斜率不存在时，以 为直径的圆经过坐标原点，AB AB ，即 ，也就是 ，OAOB=0 x1x2+y1y2=0 x21-y21=0又点 在椭圆
11、 上， ，A Cx214+y21=1以 为直径的圆经过坐标原点，且 平行于 轴，AB AB y ， ，解得：x1=y1x214+x21=1 x1=255此时点 到直线 的距离O AB d1=x1=255当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，AB AB y=kx+m与椭圆方程联立有 ，消去 ，得y=kx+mx24+y2=1 y (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0 ， ，x1+x2=-8km1+4k2 x1x2=4m2-41+4k2同理： ，消去 ，得 ，y=kx+mx24+y2=1 x y2-2my+m2+4k2y2-4k2=0即 ，(4k2+1)y2-2my+m2-4k2=0 y
12、1y2=m2-4k24k2+1 为直径的圆过坐标原点 ，所以 ，AB O OAOB OAOB=x1x2+y1y2=04m2-41+4k2+m2-4k24k2+1=0 4m2-4=-(m2-4k2) 4k2+4=5m2点 到直线 的距离O AB:y=kx+m d2=mk2+1= 2m4k2+4=2m5m2=25515综上所述，点 到直线 的距离为定值 .O AB255【点睛】本道题考查了椭圆性质和直线与椭圆位置关系,难度较大.20.如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，连接 ，其中 ， .PABCD ABCD BD DA=DP BA=BP（1）求证： ；PABD（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦
13、值.DADP ABP=600 BA=BP=BD=2 DPCB【答案】(1)见解析；(2) sin=437【解析】试题分析：.（1）取 中点 ，易证 面 ，所以 ， （2）以 所AP M PA DMB PABD MP,MB,MD在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，平面 的法向量 ，设平面x,y,z DPC n1=(- 3,1,- 3)的法向量 = ， ，即 .PCB n2( 3,1,- 3)cosn1,n2=n1n2|n1|n2|=17 sin=437试题解析：（1）证明：取 中点 ，连 ，AP M DM,BM ，DA=DP BA=BP ， ，PADMPABM DMBM=M 面 ，又 面 ，PA
14、 DMB BD DMB PABD（2） ， ， ，DA=DP BA=BP DADP ABP=60016 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， .DAP ABP AB=PB=BD=2 DM=1 BM= 3 ，BD2=MB2+MD2 MDMB以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，MP,MB,MD x,y,z则 ， ， ，A(-1,0,0) B(0, 3,0) P(1,0,0) D(0,0,1)从而得 ， ， ，DP=(1,0,-1) DC=AB=(1, 3,0) BP=(1,- 3,0) BC=AD=(1,0,1)设平面 的法向量DPC n1=(x1,y1,z1)则 ，即 ， ，n1DP=0
15、n1DC=0 x1-z1=0x1+ 3y1=0 n1=(- 3,1,- 3)设平面 的法向量 ，PCB n2=(x2,y1,z2)由 ，得 ，n2BC=0n2BP=0 x2+z2=0x2- 3y2=0 n2=( 3,1,- 3)cosn1,n2=n1n2|n1|n2|=17设二面角 为 ，D-PC-B sin= 1-cos2n1,n2=437点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21.已知 f(x)=x22（1）若函数 在区
16、间 上单调递减，求实数的取值范围；g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx (0,1)（2）函数 有几个零点？h(x)=ln(1+x2)-12f(x)-k【答案】 （1） (2)见解析a4【解析】【分析】（1）将 解析式代入 中，结合导数，将问题转化成 在 上恒成立问f(x) g(x) a-(2x2+2x) (0,1)题， ，计算 a 的范围，即可。 （2）将 解析式代入 中，计算导数，判定原函数单调性，f(x) h(x)计算 极值，即可得出答案。h(x)【详解】 （1） ，f(x)=x2-217 g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx=x2-2+2(x+1)+alnx=x2+2x+al
17、nx g(x)=2x+2+ax 在区间 上单调递减，g(x) (0,1) 在 上恒成立，g(x)=2x+2+ax=2x2+2x+ax 0 (0,1) 在 上恒成立，即 在 上恒成立，2x2+2x+a0 (0,1) a-(2x2+2x) (0,1) 在 上单调递减，-(2x2+2x) (0,1) -40当 时， ，-10当 时， ，x1 h(x)ln2+12 h(x)当 时，函数 有四个零点，10（1）画出函数 的图像；f(x)（2）若不等式 的解集为 ，求的值.f(x)5 (,23,+)【答案】(1)见解析；(2)2【解析】【分析】（1）针对 x 取不同范围，去掉绝对值，得到 的解析式，绘制图像，即可。 （2）结合图f(x)像，得到 的值，代入，即可。f(2),f(3)【详解】 （1） f(x)=|x+1|+|x-a|(a0)当 时，xa f(x)=x+1+x-a=2x+1-af(x)=-2x-1+a,x-1a+1,-1a 画出函数 的图像如图：f(x)（2） 的解集为 ，且由（1）中解图知：在 中单调递减，在 中单调递增， ， ， ，当 时， ， ，20 ，若不等式 的解集为 ，则的值为 2.【点睛】本道题考查了含绝对值函数的图像绘制和图像性质，难度中等。
