1、1立体几何问题重在“建”建模、建系技法指导迁移搭桥 思 维 流 程 找 突 破 口 立体几何解答题建模、建系策略立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深解决这类题目的原则是建模、建系建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型建系依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.典例 (2018全国卷)如图，在三棱锥 PABC 中，AB BC2 ， PA PB PC AC4， O 为 AC 的中点2(1)证明： PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PA
2、M 所成角的正弦值快审题 求什么想什么证明线面垂直，想线面垂直成立的条件求线面角的正弦值，想平面的法向量及直线的方向向量给什么用什么给出边的长度，用勾股定理证线线垂直给出二面角的大小，可求出点 M 的位置差什么找什么差点 M 的坐标，利用垂直关系建立空间直角坐标系，找出平面 PAM，平面 PAC 的法向量.稳解题(1)证明：因为 PA PC AC4， O 为 AC 的中点，所以 PO AC，且 PO2 .3连接 OB，因为 AB BC AC，22所以 ABC 为等腰直角三角形，且 OB AC， OB AC2.12所以 PO2 OB2 PB2，所以 PO OB.2又因为 OB AC O，所以 P
3、O平面 ABC.(2)以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，OB 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.由已知得 O(0,0,0)， B(2,0,0)，A(0，2,0)， C(0,2,0)， P(0,0,2 )，3(0,2,2 )AP 3取平面 PAC 的一个法向量 (2,0,0)OB 设 M(a,2 a,0)(00)则 P(0， a， h) (0， a， h)， (0， a2， h)， (1,1,0)AP DP AC PA PD， a(a2) h20.AP DP AC 与 PD 所成角为 60，|cos ， | ，AC DP |a 2|2 a 2 2 h2 12( a2) 2 h2，
4、( a2)( a1)0，00， h1， P(0,1,1) (0,1,1)， (1,1,0)， (1,0，1)， (1，1,0)，AP AC PC DC 10设平面 APC 的法向量为 n( x1， y1， z1)，则 即Error!令 x11，得 y11， z11，平面 APC 的一个法向量为 n(1，1,1)，设平面 DPC 的法向量为 m( x2， y2， z2)则 即Error!令 x21，得 y21， z21，平面 DPC 的一个法向量为 m(1,1,1)cosm，n .mn|m|n| 13二面角 APCD 的平面角为钝角，二面角 APCD 的余弦值为 .133(2018西安质检)如图
5、，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，AC BD O， A1O底面 ABCD， AB2， AA13.(1)证明：平面 A1CO平面 BB1D1D；(2)若 BAD60 ，求二面角 BOB1C 的余弦值解：(1)证明： A1O平面 ABCD， BD平面 ABCD. A1O BD.四边形 ABCD 是菱形， CO BD. A1O CO O， BD平面 A1CO. BD平面 BB1D1D，平面 A1CO平面 BB1D1D.(2) A1O平面 ABCD， CO BD， OB， OC， OA1两两垂直，以 O 为坐标原点， ，OB ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建
6、立如图所示的空间直角坐标系OC OA1 11 AB2， AA13， BAD60 ， OB OD1， OA OC ，3OA1 .AA21 OA2 6则 O(0,0,0)， B(1,0,0)， C(0， ，0)， A(0， ，0)， A1(0,0， )，3 3 6 (1,0,0)， (0， ， )，OB BB1 AA1 3 6 (1， ， )， (0， ，0)OB1 OB BB1 3 6 OC 3设平面 OBB1的法向量为 n( x1， y1， z1)，则 即Error!令 y1 ，得 n(0， ，1)是平面 OBB1的一个法向量2 2设平面 OCB1的法向量 m( x2， y2， z2)，则 即
7、Error!令 z21，得 m( ，0，1)为平面 OCB1的一个法向量，6cosn，m ，nm|n|m| 137 2121由图可知二面角 BOB1C 是锐二面角，二面角 BOB1C 的余弦值为 .21214(2018潍坊统考)在平行四边形 PABC 中， PA4， PC2 ， P45 ， D 是 PA 的2中点(如图 1)将 PCD 沿 CD 折起到图 2 中 P1CD 的位置，得到四棱锥 P1ABCD.(1)将 PCD 沿 CD 折起的过程中， CD平面 P1DA 是否成立？请证明你的结论(2)若 P1D 与平面 ABCD 所成的角为 60，且 P1DA 为锐角三角形，求平面 P1AD 和
8、平面P1BC 所成角的余弦值解：(1)将 PCD 沿 CD 折起过程中， CD平面 P1DA 成立证明如下： D 是 PA 的中点， PA4， DP DA2，12在 PDC 中，由余弦定理得，CD2 PC2 PD22 PCPDcos 458422 2 4，222 CD2 PD， CD2 DP28 PC2， PDC 为等腰直角三角形且 CD PA， CD DA， CD P1D， P1D AD D， CD平面 P1DA.(2)由(1)知 CD平面 P1DA， CD平面 ABCD，平面 P1DA平面 ABCD， P1DA 为锐角三角形， P1在平面 ABCD 内的射影必在棱 AD 上，记为 O，连接
9、P1O， P1O平面 ABCD，则 P1DA 是 P1D 与平面 ABCD 所成的角， P1DA60 ， DP1 DA2， P1DA 为等边三角形， O 为 AD 的中点，故以 O 为坐标原点，过点 O 且与 CD 平行的直线为 x 轴， DA 所在直线为 y 轴， OP1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 x 轴与 BC 交于点 M， DA P1A2， OP1 ，3易知 OD OA CM1， BM3，则 P1(0,0， )， D(0，1,0)， C(2，1,0)， B(2,3,0)， (2,0,0)，3 DC (0，4,0)， (2，1， )，BC P 3 CD平面 P1DA，可取平面 P1DA 的一个法向量 n1(1,0,0)，设平面 P1BC 的法向量 n2( x2， y2， z2)，则 即Error!令 z21，则 n2 ，(32， 0， 1)设平面 P1AD 和平面 P1BC 所成的角为 ，由图易知 为锐角，13cos |cosn 1，n 2| .|n 1n 2| n 1| n 2|32172 217平面 P1AD 和平面 P1BC 所成角的余弦值为 .217
