1、1第 2 讲 等差数列及其前 n 项和考纲解读 1.理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点预测 2020 年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前 n 项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前 n 项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型.1等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从 第 2 项起，每一项与它
2、前一项的 差等于 同一01 02 03 个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，公差通常用字04 母 d 表示数学语言表示为 an1 an d(nN *)， d 为常数05 (2)等差中项：数列 a， A， b 成等差数列的充要条件是 A ，其中 A 叫做 a， b06 a b2的 等差中项07 2等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an a1( n1) d，可01 推广为 an am( n m)d.02 (2)等差数列的前 n 项和公式 Sn na1 d.n a1 an2 n n 123等差数列的相关
3、性质已知 an为等差数列， d 为公差， Sn为该数列的前 n 项和(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1 an a2 an1 a3 an2 ak an k1 .01 02 03 (2)等差数列 an中，当 m n p q 时， am an ap aq(m， n， p， qN *)04 特别地，若 m n2 p，则 2ap am an(m， n， pN *)05 (3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ak， ak m， ak2 m，仍是等差数列，公差为 md(k， mN *)06 (4)Sn， S2n Sn， S3n S2n，也成等差数列，公差为 n2d.07 2
4、(5) 也成等差数列，其首项与 an首项相同，公差是 an的公差的 .Snn 08 124等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系an a1( n1) d 可化为 an dn a1 d 的形式当 d0 时， an是关于 n 的一次函数；当 d0 时，数列为递增数列；当 d0， d0，则 Sn存在最 小01 02 值1概念辨析(1)已知数列 an的通项公式是 an pn q(其中 p， q 为常数)，则数列 an一定是等差数列( )(2)数列 an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( )(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( )(4)数列 an为等
5、差数列的充要条件是对任意 nN *，都有 2an1 an an2 .( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)(2018日照模拟)由公差为 d 的等差数列 a1， a2， a3，组成的新数列a1 a4， a2 a5， a3 a6，是( )A公差为 d 的等差数列B公差为 2d 的等差数列C公差为 3d 的等差数列D非等差数列答案 B解析 由题意得，新数列 an an3 是公差为 2d 的等差数列，理由：( an1 an4 )( an an3 )( an1 an)( an4 an3 ) d d2 d.(2)在等差数列 an中，已知 a22，前 7 项和 S756，则公差 d( )
6、A2 B3 C2 D3答案 B解析 由题意可得Error!即Error!解得Error!(3)(2018北京高考)设 an是等差数列，且 a13， a2 a536，则 an的通项公式为_答案 an6 n3( nN *)解析 由已知，设 an的公差为 d，则 a2 a5 a1 d a14 d2 a15 d36，3又 a13，所以 d6，所以 an的通项公式为an36( n1)6 n3( nN *)(4)在等差数列 an中，若 a3 a4 a5 a6 a7450，则 a2 a8_.答案 180解析 由等差数列的性质可得a3 a7 a4 a62 a5，又因为 a3 a4 a5 a6 a7450，所以
7、 5a5450， a590，所以 a2 a82 a5180.题型 等差数列基本量的运算一1(2018全国卷)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 3S3 S2 S4， a12，则a5( )A12 B10 C10 D12答案 B解析 设该等差数列的公差为 d，根据题中的条件可得3 22 d42 d，整理解得 d3，所以(32322 d) 432a5 a14 d21210，故选 B.2(2018碑林区期末)设 an是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为48，则它的首项 a1_.答案 2解析 由题可知 3a212，(a2 d)a2(a2 d)48，将代入得(4 d)(4 d)12，解
8、得 d2 或 d2(舍)， a1 a2 d422.3(2016全国卷) Sn为等差数列 an的前 n 项和，且 a11， S728.记 bnlg an，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求 b1， b11， b101；(2)求数列 bn的前 1000 项和解 (1)设 an的公差为 d，据题意有 721 d28，解得 d1.所以 an的通项公式为 an n.b1lg 10， b11lg 111， b101lg 1012.(2)因为 bnError!所以数列 bn的前 1000 项和为 1902900311893.41等差数列基本运算的解题策略(1)等差数列的通
9、项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法如举例说明 1.2等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为 a d， a， a d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为 a d， a d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为 2d)见举例说明 2. 1(2017全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和若 a4 a
10、524， S648，则an的公差为( )A1 B2 C4 D8答案 C解析 设 an的公差为 d，则由Error! 得Error!解得 d4.故选 C.2在公差为 d 的等差数列 an中，已知 a110，且 5a3a1(2 a22) 2.(1)求 d， an；(2)若 d0，则公差 d ，显然不成立，所以 m0，则其前n 项和取最小值时的 n 的值为( )A6 B7 C8 D9(2)在等差数列 an中， a129， S10 S20，则数列 an的前 n 项和 Sn的最大值为( )8A S15 B S16 C S15或 S16 D S17答案 (1)C (2)A解析 (1)解法一：因为 a6 a
11、110，所以 a15 d a110 d0，解得 a1 d，152所以 Sn na1 d n dn n 12 ( 152d) n n 12 (n216 n) (n8) 264d2 d2因为 d0，所以当 n8 时，其前 n 项和取最小值解法二：由等差数列的性质可得 a8 a9 a6 a110.由公差 d0 得等差数列 an是递增数列，所以 a80，故当 1 n8 时， an0，所以当 n8 时，其前 n 项和取最小值(2) a129， S10 S20，10 a1 d20 a1 d，解得 d2，1092 20192 Sn29 n (2) n230 n( n15) 2225.n n 12当 n15
12、时， Sn取得最大值1应用等差数列的性质解题的两个注意点(1)如果 an为等差数列， m n p q，则 am an ap aq(m， n， p， qN *)因此，若出现 am n， am， am n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 am(或其他项)有关的条件；若求 am项，可由 am (am n am n)转化为求 am n， am n或 am n am n的值12(2)要注意等差数列通项公式及前 n 项和公式的灵活应用，如 an am( n m)d， d， S2n1 (2 n1) an， Sn (n， mN *)等an amn m n a1 an2 n a2 an 12(3)当项数
13、为偶数 2n 时， S 偶 S 奇 nd；项数为奇数 2n1 时， S 奇 S 偶 a 中 ， S 奇 S 偶 n( n1)见巩固迁移 3.2求等差数列前 n 项和 Sn最值的两种方法(1)函数法：等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn an2 bn a 2 ，求“二次(nb2a) b24a函数”最值如举例说明 3(1)解法一(2)邻项变号法当 a10， d0 时，满足Error!的项数 m 使得 Sn取得最大值为 Sm；当 a10， d0 时，满足Error!的项数 m 使得 Sn取得最小值为 Sm.如举例说明 3(1)解法二 91设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a10， a3
14、a100， a6a70 的最大自然数 n 的值为( )A6 B7 C12 D13答案 C解析 因为 a10， a6a70， a70， a1 a132 a70， S130 的最大自然数 n 的值为 12.2设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知前 6 项和为 36，最后 6 项的和为180， Sn324( n6)，则数列 an的项数为_答案 18解析 由题意知 a1 a2 a636，an an1 an2 an5 180，得( a1 an)( a2 an1 )( a6 an5 )6( a1 an)216， a1 an36，又 Sn 324，18 n324， n18.n a1 an23(2018太原模拟)一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 3227，求该数列的公差 d.解 设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇 ，偶数项的和为 S 偶 ，等差数列的公差为 d.由已知条件，得Error!解得 Error!又 S 偶 S 奇 6 d，所以 d 5.192 162610
