1、1第 2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲解读 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(重点)2.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容预测 2020年的考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数，同时能用线性规划解决实际问题试题以客观题形式呈现，属中档题型.1二元一次不等式(组)表示的平面区域2线性规划相关概念23重要结论(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，
2、则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于 Ax By C0或 Ax By C0时，区域为直线 Ax By C0 的上方；当 B(Ax By C)0表示的平面区域一定在直线 Ax By C0 的上方( )3(2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的( )(4)目标函数 z ax by(b0)中， z的几何意义是直线 ax by z0 在 y轴上的截距( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)不等式组Error!表示的平面区域是( )答案 B解析 x3 y
3、60 表示直线 x3 y60 及其下方部分， x y20 表示直线x y20 上方部分，故不等式表示的平面区域为选项 B.故选 B.(2)已知点(3，1)和(4，6)在直线 3x2 y a0 的两侧，则实数 a的取值范围为( )A(7,24)B(，7)(24，)C(24,7)D(，24)(7，)答案 A解析 由题意可知(92 a)(1212 a)0， x， y满足约束条件Error!若 z2 x y的最小值为 1，则 a( )A. B. C1 D212 13答案 A解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)当直线 z2 x y过交点 A时， z取最小值，由Error!得Error!
4、 zmin22 a1，解得 a .12角度 3 非线性目标函数的最值问题3已知Error!求：(1)z x2 y210 y25 的最小值；(2)z 的范围2y 1x 1解 作出可行域，如图阴影部分所示8通过联立方程，解得 A(1,3)， B(3,1)， C(7,9)(1)z x2( y5) 2表示可行域内点( x， y)到点 M(0,5)的距离的平方过点 M作 AC的垂线，垂足为点 N，故| MN| ，| MN|2 2 .|0 5 2|1 1 2 322 (322) 92故 z的最小值为 .92(2)z2 表示可行域内点( x， y)与定点 Q 连线斜率的 2倍y ( 12)x 1 ( 1，
5、12)因为 kQA ， kQB ，所以 z的范围是 .74 38 34， 72求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略(1)求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值(2)由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数(3)求非线性目标函数最值问题的解题策略解决此类问题时
6、需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有：对形如 z( x a)2( y b)2型的目标函数均可化为可行域内的点( x， y)与点( a， b)间距离的平方的最值问题如举例说明 3.对形如 z (ac0)型的目标函数，可先变形为 z 的形式，将问ay bcx d acy ( ba)x ( dc)题化为求可行域内的点( x， y)与点 连线的斜率的 倍的取值范围、最值等如举(dc， ba) ac例说明 3.对形如 z| Ax By C|型的目标，可先变形为 z 的形式，A2 B2|Ax By C|A2 B2将问题化为求可行域内的点( x， y)到直线 Ax By C0 的距离的 倍
7、的最值 A2 B21(2018北京高考)若 x， y满足 x1 y2 x，则 2y x的最小值是_答案 3解析 x1 y2 x，等价于不等式组Error!画出可行域如图，令 z2 y x，化为斜截9式得 y x z，直线斜率为 ，在 y轴上的截距为 z，直线越往下， z越小， z越小，由12 12 12 12 12Error!得最优解为(1,2)，所以 z2 y x的最小值为 3.2(2018安徽皖江最后一卷)已知 x， y满足条件Error!则点(0,0)到点( x， y)的距离的最小值是_答案 2解析 z ，如图所示，原点到点 P(1,1)的距离最小，且为 .y 0x 0 12 12 23
8、(2018福州五校二联)已知实数 x， y满足Error!若目标函数 z x ay取得最小值的最优解有无数多个，则 z x ay的最大值为_答案 72解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得 A(3,2)， B(1,4)，C .(95， 45)当 a0 时， y x z，作直线 l0： y x，平移 l0，易知当直线 y x z1a 1a 1a 1a 1a与 4x y80 重合时， z取得最小值的最优解有无数多个，此时 a ，当直线过点 A时，1410z取得最大值，且 zmax3 ；当 a0 时，数形结合知，目标函数 z x ay取得最小12 72值的最优解不可能有无数多个综
9、上所述 zmax .72题型 线性规划的实际应用三(2016全国卷)某高科技企业生产产品 A和产品 B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5个工时；生产一件产品 B需要甲材料0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3个工时生产一件产品 A的利润为 2100元，生产一件产品B的利润为 900元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600个工时的条件下，生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为_元答案 216000解析 设生产产品 A x件，产品 B y件，依题意，得Error!设生产产品 A，产品 B的利润之和为 E元
10、，则 E2100 x900 y.画出可行域(如图)，易知最优解为Error!则 Emax216000.线性规划解决实际问题的一般步骤(1)能建立线性规划模型的实际问题给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少(2)解决线性规划实际问题的一般步骤转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；求解：解决这个纯数学的线性规划问题；作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答 某旅行社租用 A， B两种型号的客车安排 900名客人旅行， A， B两种车辆的载
11、客量分11别为 36人和 60人，租金分别为 1600元/辆和 2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21辆，且 B型车不多于 A型车 7辆，则租金最少为( )A31200 元 B36000 元 C36800 元 D38400 元答案 C解析 设旅行社租用 A型客车 x辆， B型客车 y辆，租金为 z，则线性约束条件为Error!目标函数为 z1600 x2400 y.画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点 N时，取得最小值，由Error!解得Error! 故 N(5,12)，故 zmin1600524001236800(元)高频考点 线性规划问题考点分析 线性规划是高考重点考查的
12、一个知识点这类问题一般有三类：目标函数是线性的；目标函数是非线性的；已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题典例 1 (2018吉林省实验中学模拟)已知 x， y满足Error!若 z x2 y有最大值4，则实数 m的值为( )A4 B2 C1 D1答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线 x2 y4，如图所示，结合图形可知，当且仅当直线 2x y m过直线 x2 y4 与 x y2 的交点(0,2)时，才满足题意，于是有 202 m，即 m2，选 B.典例 2 (2018全国卷)若变量 x， y满足约束条件Error!则 z x y的最大值是1312_答案 3解析 作出可行域如图阴影部分由图可知目标函数在直线 x2 y40 与 x2 的交点(2,3)处取得最大值 3.
