1、1考点 56 圆中的最值问题要点阐述与圆有关的最值问题，往往知识面广、综合性强、应用性强，而且情境新颖，能很好的考查学生的创新能力和潜在的数学素养典型例题【例】已知两点 A（2，0） ， B（0，2） ，点 C 是圆 x2+y22x=0 上任意一点，则 ABC 的面积最小值是（ ）A 3 B 3 C3 2 D 2【答案】A小试牛刀1若实数 x， y 满足（ x5） 2（ y12） 214 2，则 x2 y2的最小值为（ ） A2 B1 C D3 2【答案】B【解析】由几何意义可知最小值为 14 152 12222由直线 y x1 上的点向圆 C： x2 y26 x80 引切线，则切线长的最小值
2、为_【答案】 7【解析】直线 y x1 上点 P（ x0， y0）到圆心 C 的距离| PC|与切线长 d 满足 d |PC|2-1 2(x0 1)2 7 7【易错易混】容易理解为圆上的点到直线的距离，本质是 d |PC|2-13已知点 A（8，6）与圆 C： x2 y225， P 是圆 C 上任意一点，则| AP|的最小值是_【答案】 5【解析】由 于 82 （ 6） 2 100 25， 故 点 A 在 圆 外 ， 从 而 |AP|的 最 小 值 为28(6) 10 5 5【解题策略】利用数形结合思想解题能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题4如果圆的方程为 x2 y
3、2 kx2 y k20，那么当圆面积最大时，圆心为_【答案】（0，1）5 已知点 P在圆 28410xy上，点 Q在圆 2410xy上，则 PQ的最小值是_【答案】 35【解析】两圆的圆心和半径分别为 C1（4，2） ， r1=3,C2（2,1）, r2=2，122min 35PQCr()()6如果实数 x、 y 满足方程（ x3） 2十（ y3） 2 =6求：（1） 的最大值与最小值；（2） x+y 的最大值与最小值【思路分析】需考虑代数式 yx及 x+y 的几何意义，运用数形结合法求解【解析】 （1）设 P（ x， y） ，且 P 点的轨迹是已知圆 C：（ x3） 2+（ y3） 2=63
4、而 yx的几何意义就是直线 OP 的斜率（ O 为坐标原点） 设 =k，则直线 OP 的方程为 y= kx由图可知，当直线 OP 与圆相切时，斜率取最值点 C 到直线 y=kx 的距离 d= 2|3|,1k 当 2|3|1k= 6，即 k=3时，直线 OP 与圆相切 yx上的最大值与最小值分别是 3 2和 3 2【解题技巧】有关圆的最值问题，常借助于图形性质，利用数形结合求解一般地，形如 ybkxa的最值问题可转化为求动直线斜率的最值问题；形如 t= ax+by 的最值问题常转化为动直线截距的最值问题考题速递1 圆 2410xy上的点到直线 140xy的最大距离与最小距离的差是（ ）A36 B
5、18 C 62 D 52【答案】C4【解析】圆 2410xy的圆心为（2，2） ，半径为 32，圆心到直线 140xy的距离为 153， 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 62r，故选 C2 过点 P（1，1）的直线，将圆形区域（ x， y）| x2 y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A x y20 B y10C x y0 D x3 y40【答案】A【解析】当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时，符合条件圆心 O 与 P 点连线的斜率 k1，直线 OP 垂直于 x y20，故选 A3 过点 A（1， 2）的直线 l 将圆（ x2） 2+y2=4
6、分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l的斜率 k=_【答案】 2【解析】由图形可知点 A（1， 2）在圆（ x2） 2+y2=4 的内部，圆心为 O（2，0） ，要使得劣孤所对的圆心角最小，只能是直线 lOA，所以 kl 1OA.4已知圆 M： x2 y210 和圆 N： x2 y22 x2 y140求过两圆交点且面积最小的圆的方程55已知圆 C过点 1432PQ（ ， ） ， （ ， ） ，且圆心 C在直线 30xy上（1）求圆 的方程；（2）若直线 0lkxy： 与圆 交于 AB， 两点，当 最小时，求直线 l的方程及 AB的最小值6数学文化滑轮组一个滑轮组中的滑轮之间是外离关系单个滑轮的内圆与外圆之间是内含关系
