1、1考点 58 直线系方程与圆系方程要点阐述1与直线 l:Ax+By+C=0 平行的直线系方程为 Ax+By+m=0；2与直线 l:Ax+By+C=0 平行的直线系方程为 BxAy+m=0；3过定点（ 0， ）的直线系方程： 00()()（A,B 不同时为 0） ；4过直线 n： 110AxByC（ 1,不同时为 0）与 ： 22xByC（ 2,AB不同时为 0）交点的直线系方程为： 2()xyAxy（ R， 为参数） ；5过直线 Ax+By+C=0 与圆 x 2 + y 2 +Dx + Ey +F= 0 的交点的圆系方程 x 2 + y 2 +Dx + Ey +F+（A x+By+C）=0；6
2、过 和 交点的圆系方程为典型例题【例】求过两圆 x 2 + y 2 4 x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 2 y 4 = 0 的交点，且圆心在直线 2 x + 4y = 1 上的圆方程_，此时圆心到 x 轴的距离_【答案】 x 2 + y 2 3 x + y 1 = 0，2【解题技巧】在遇到过圆与圆交点的圆有关问题时，灵活应用圆系方程，可简化繁杂的解题过程小试牛刀1已知点 0,yxP是直线 0:CByAxl外一点，则方程 00CByAxByx表示（ ）A过点 且与 l垂直的直线 B过点 P且与 l平行的直线C不过点 且与 垂直的直线 D不过点 且与 平行的直线【答案】D【解析】2求
3、经过点 )03(，B，且与直线 052yx垂直的直线的方程_ 【答案】 2yx【解析】设与直线 垂直的直线系方程为 02nyx，因为经过点 )03(，B，所以3n，故所求直线方程为 032yx【解题技巧】对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算3不论 k 为何实数，直线（2 k1） x（ k+3） y（ k11）=0 恒通过一个定点，这个定点的坐标是_【答案】 )3,(【解析】34设直线 l 经过 2x3y+2=0 和 3x4y2=0 的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线 l 的方程_【答案】 xy4=0,或 x+y24=0【解析】设所求的
4、直线方程为(2 x3y+2)+(3 x4y2)=0,整理得(2+3) x(4+3) y2+2=0,由题意,得 23=1,解得 =1,或 = 57所以所求的直线方程为 xy4=0,或 x+y24=0【易错易混】对求过定点（ 0， ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()AxBy，注意的此方程表示的是过点 0()Pxy，的所有直线（即直线系） ，应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象5 求 经 过 两 直 线 1240lxy： 和 20lxy： 的 交 点 P， 且 与 直 线 3450l
5、xy： 垂 直 的 直 线 l的 方程 _【答案】 436xy考题速递1 已知直线 53)2(:1yxal与直线 62)1(:2yxal平行，则直线 1l在 x轴上的截距为（ ）A B 95 C D【答案】B【解析】由已知得 2()3(1)a，得 7a，则直线 1l在 x轴上的截距为 59,故选 B42 平行于直线 012yx且与圆 52yx相切的直线的方程是（ ）A 5或 B yx或 yx C 02或 052D 5yx或 yx【答案】D【解析】依题可设所求切线方程为 20xyc，则有 251c，解得 5c，所以所求切线的直线方程为 250xy或 5，故选 D3 过直线 2x + y + 4
6、= 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x 4 y + 1 = 0 的交点，面积最小的圆方程_，圆的面积为_【答案】5 x 2 + 5y 2 + 26x 12 y + 37 = 04已知平行四边形两边所在直线的方程为 x+y+2=0 和 3xy+3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程【解析】由 203xy得一顶点为 5(,)4因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为 293,)设与 x+y+2=0 平行的对边所在直线方程为 x+y+m=0,因为该直线过 2935(,)4,5所以 m=16设与 3xy+3=0 平行的对边所在直线方程为3xy+n=0,同理可知过点 2935(,)4,得 n=13故所求直线的方程为 x+y16=0 和 3xy13=0数学文化平行直线系两条平行的直线永远不会有交集
