1、1考点 59 空间直角坐标系要点阐述1如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以 O 为原点，分别以射线 OA、 OC、 OD的方向为正方向，以线段 OA、 OC、 OD的长为单位长，建立三条数轴： x 轴、y 轴、 z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标原点， x 轴、 y 轴、 z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向2空间一点 M 的坐
2、标可用有序实数组（ x， y， z）来表示，有序实数组（ x， y， z）叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M（ x， y， z） ，其中 x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M的竖坐标典型例题【例】如图，在正方体 OABC O1A1B1C1中，棱长为 2， E 是 B1B 上的点，且| EB|2| EB1|，则点 E 的坐标为( )2A(2 ,2,1) B(2 ,2， )23C(2 ,2， ) D(2 ,2， )13 43【答案】D【解题技巧】对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方
3、法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键小试牛刀1 z轴上的点的坐标的特点是（ ）A竖坐标是 0 B横坐标、纵坐标都是 0C横坐标是 0 D横、纵、竖坐标不可能都是 0【答案】B【解析】 z轴上任一点的坐标为（0，0， c） 【规律总结】空间中确定点 M 坐标的三种方法：（1）过点 M 作 MM1垂直于平面 xOy，垂足为 M1，求出 M1的 x 坐标和 y 坐标，再由射线 M1M 的指向和线段 MM1的长度确定 z 的坐标（2）构造以 OM 为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点 M 的位置，可以确定点 M 的坐
4、标（3）若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 M 在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点 M 的坐标2点 A（1，2，1）在 x轴上的投影点和在 xOy平面上的投影点的坐标分别为（ ）A （1，0，1） ， （1，2，0） B （1，0，0） ， （1，2，0）C （1，0，0） ， （1，0，0） D （1，2，0） ， （1，2，0）【答案】B【解析】点 A（1，2，1）在 x轴上的投影点的横坐标是1，纵坐标和竖坐标都为 0，故为（1，0，0） ；点 A（1，2，1）在 Oy平面上的投影点的横、纵坐标不变且竖坐标是 0，故为（31，2，0） 3在空间直角坐标
5、系中，点 P（1， ， ），过点 P 作平面 xOy 的垂线 PQ，则垂足 Q 的坐标为（ ）2 3A（0， ，0） B（0， ， ）2 2 3C（1，0， ） D（1， ，0）3 2【答案】D【解析】 Q 在过 P（1， ， ）且垂直于面 xOy 的线上，故 Q 的横纵坐标与 P 相等， Q 在面 xOy 上，2 3故 Q 的竖坐标为 0，应选 D【解题技巧】求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者它到这个坐标平面的距离加上正负号） ，确定第三个坐标4设 xy、 为任意实数，相应的所有点 P（ x， y，3）的集合是（ ）A z轴上
6、的两个点B过 轴上的（0，0，3）点且与 z轴垂直的直线C过 z轴上的（0，0，3）点且与 轴垂直的平面D以上答案都有可能【答案】C【解析】由 于 点 P的 竖 坐 标 为 定 值 3， 当 xyR、 时 ， 点 P组 成 的 集 合 为 过 （ 0， 0， 3） 且 与 z轴 垂 直 的平 面 5点 P（1，2，1）在 xOz 平面内的射影为 B（ x， y， z），则 x y z 的值为（ ）A0 B2C3 D4【答案】A6 如图，在空间直角坐标系中， BC2，原点 O 是 BC 的中点，点 D 在平面 yOz 内，且 BDC90， DCB30，求点 D 的坐标4【解析】过点 D 作 DE
7、 BC，垂足为 E在 Rt BDC 中， BDC90， DCB30， BC2，得| BD|1，| CD| ，| DE| CD|sin 303 ，| OE| OB| BE| OB| BD|cos 601 ，32 12 12点 D 的坐标为 (0， 12， 32)考题速递1 点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )A y 轴上 B xOy 面上C xOz 面上 D第一象限内【答案】C【解析】因为该点的 y 坐标为 0，根据坐标平面上点的特点可知该点在 xOz 面上2设 yR，则点 P(1， y,2)构成的集合为( )A垂直于 xOz 平面的一条直线B平行于 xOz 平面的一条直线C垂直于 y 轴
8、的一个平面D平行于 y 轴的一个平面3 在空间直角坐标系中，已知点 P(1， ， )，过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ，则垂足 Q 的坐标为( 2 3)A(0， ，0) B(0， ， )2 2 35C(1,0， ) D(1,0,0)3【答案】B【解析】平面 yOz 内点的横坐标为 04如图，有一个棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1，以点 D 为坐标原点，分别以射线 DA， DC， DD1的方向为正方向，以线段 DA， DC， DD1的长度为单位长，建立三条数轴： x 轴， y 轴， z 轴，从而建立起一个空间直角坐标系 Oxyz一只小蚂蚁从点 D 出发，不返回地沿着棱爬行了
9、 2 个单位长请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置数学文化3D 电影的原理人的两眼之间大约有 6 厘米的距离，所以在观看除了正前方的物体外，两只眼睛必然有角度的不同，这个差别在大脑中就能自动形成上下、左右、前后、远近的区别，从而产生立体视觉所以如果能制作出同一场景、影像的不同侧面（仅有微小的视差）让双眼各看一边，那么在大脑中就能自动形成这一场景的立体影像而 3D 电影的拍摄、制作和放映，就是模拟人眼观察景物的过程它在拍摄时用两个电影摄影机，按人眼两瞳之间的距离（约 65mm）拍摄同一景物，从而得到的不同角度的画幅（左、右眼图像），放映时再将图像同时放映到银幕上，这时银幕上会出现重叠交错的两个影像观众在看 3D 电影时，只要戴上“立体眼镜”，就可以让左眼看到左图像，右眼看到右图像，此时在大脑中就会自动复现为触手可及立体影像这就是 3D 的原理
