1、1线段垂直平分线、角平分线、中位线一、选择题1. （2018 四川泸州，7 题，3 分） 如图 2， AABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AB中点，且 AE+EO=4，则 ABCD 的周长为（ ）A.20 B. 16 C. 12 D.8EODACB第 7 题图【答案】B【解析】 AABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，所以 O 为 AC 的中点，又因为 E 是 AB 中点，所以 EO 是ABC 的中位线，AE= 21AB，EO= BC，因为 AE+EO=4，所以 AB+BC=2(AE+EO)=8，ABCD 中 AD=BC，AB=CD，所以周长为 2(AB+BC)=1
2、6【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线2. （2018 四川省南充市，第 8 题，3 分）如图，在 RtABC中，90ACB， ， D， E， F分别为 ， ， D的中点，若 2BC，则 EF的长度为（ ）2A12B1 C32D 3【答案】B【思路分析】1.由 ACB=90， A=30， BC 的长度，可求得 AB 的长度，2.利用直角三角形斜边的中线等于斜边第一半，求得 CD 的长度；3.利用中位线定理，即可求得 EF 的长.【解题过程】解：在 Rt ABC 中， ACB=90， A=30，BC=2， ， AB=4， CD= 12AB， CD= 124=2， E， F 分别为 AC， A
3、D 的中点， EF= 12CD=122=1，故选 B.【知识点】30所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理3. （2018 四川省达州市，8，3 分） ABC 的周长为 19，点 D、 E 在边 BC 上， ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N， ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 M若 BC7，则 MN 的长为（ ） A 32 B2 C 5 D3MDNEBAC第 8 题图【答案】C，【解析】 ABC 的周长为 19， BC7， AB AC12 ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N， BA BE， N 是 AE 的中点 ACB 的平分线垂直于 AD，垂
4、足为 M， AC DC， M 是 AD 的中点3 DE AB AC BC5 MN 是 ADE 的中位线， MN 12DE 故选 C. 【知识点】三角形的中位线4. （2018 浙江杭州， 10，3 分）如图，在ABC 中，点 D 在 AB 边上，DE/BC，与边 AC 交于点 E，连接 BE，记ADE，BCE 的面积分别为 S1， S2,（ ）A. 若 2ADAB，则 3S12S2 B. 若 2ADAB，则 3S12S2 D. 若 2ADBD时 S1，S 2的变化情况。【解题过程】当 2AD=AB 即 AD=BD 时 2 S1= S2， 则 3S1AB 时，不确定。【知识点】中位线及面积大小比
5、较5. （2018 浙江湖州，8，3）如图，已知在 ABC 中， BAC90，点 D 为 BC 的中点，点E 在 AC 上，将 CDE 沿 DE 折叠，使得点 C 恰好落在 BA 的延长线上的点 F 处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）A AE EF B AB2 DE4C ADF 和 ADE 的面积相等 D ADE 和 FDE 的面积相等【答案】C【解析】选项 A， D 为 BC 的中点，所以BD CD FD CD， FD BD B BFD C DFE， B+ C BFD+ DFE FAE AFE AE FE 选项 A 正确选项 B， E 为 AC 的中点， D 为 BC 的中点， D
6、E 为 ABC 的中位线 AB2 DE选项 B 正确选项 C， BF DE， ADF 和 ADE 的高相等但不能证明 AF DE， ADF 和ADE 的面积不一定相等选项 C 错误选项 D， ADE 和 FDE 同底等高，面积相等，选项 D 正确故选 C.【知识点】等腰三角形，折叠，中位线，三角形的外角1. （2018 湖北黄冈，4 题，3 分）如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，且分别交BC，AC 于点 D 和 E，B=60，C=25，则BAD 为A.50 B.70 C.75 D.80第 4 题图【答案】B【解析】在ABC 中，B=60，C=25,所以BAC=95,因为 DE
7、是 AC 的垂直平分线，所以 DA=DC,所以DAC=C=25，所以BAD=BAC-DAC=70，故选 B【知识点】三角形内角和，垂直平分线的性质2. （2018 湖南郴州，7，3）如图，AOB=60，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB 于点 C，D 两点，分别以 C，D 为圆心，以大于 12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点5P，以 O 为端点作射线 OP，在射线 OP 上截取线段 OM=6，则 M 点到 OB 的距离为（ ）A.6 B.2 C.3 D.3【答案】D【思路分析】判断出 OP 是 AOB 的平分线，过点 M 作 ME OB 于 E，根据角平分线的性质可得MOB=3
8、0，然后根据“直角三角形中 30所对的直角边等于斜边一半”列式计算即可得解【解析】解：由题意得 OP 是 AOB 的平分线，过点 M 作 ME OB 于 E，又AOB=60，MOB=30，在 RtMOE 中，OM=6，EM= 12OM=3，故选 C【知识点】角平分线的性质，尺规作图3. （ 2018 甘肃天水， T6，F4）如图所示，点 O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，OEAB 交AD 于点 E.若 OE=3，BC=8，则 OB 的长为（ ）A.4 B.5 C. D. 342 346【答案】B.【解析】四边形 ABCD 是矩形，ABC=90，ABCD，AB=CD，点 O 是 AC
9、的中点.OEAB，OECD，OE 是ACD 的中位线，CD=2OE=6，AB=6.在 RtABC 中，AB=6，BC=8，AC=10.OB 是 RtABC 斜边的中线，OB= AC=5.12【知识点】矩形的性质，中位线的性质4. （2018 河北省， 6，3）尺规作图要求：过直线外一点作这条直线的垂线；作线段的垂直平分线；过直线上一点作这条直线的垂线；作角的平分线如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（ ）A， B ，7C， D ，【答案】D【解析】根据不同的作图方法可以一一对应 的已知点在直线外，所以对应，的已知点在直线上，所以对应【知识点】尺规作图，角的平分线，垂线，线段的垂直
10、平分线5. （2018 河北省，8，3） 已知，如图，点 P 在线段 AB 外，且 PA PB求证：点 P 在线段AB 的垂直平分线上在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）A作 APB 的平分线 PC 交 AB 于点 CB过点 P 作 PC AB 于点 C 且 AC BCC取 AB 中点 C，连接 PCD过点 P 作 PC AB，垂足为 C【答案】B【解析】要证明 PA PB 需要作出 AB 上的中线（或垂线或APB 的角平分线） 选项 B 中作出的辅助线同时满足了两个条件，不正确故选 B【知识点】线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一6.（2018 贵州安顺，T8，F3）已知A
11、BC （ACBC），用尺规作图的方法在 BC 上确定一点P，使 PA+PC = BC, 则符合要求的作图痕迹是（ ）第 8 题图8【答案】D【解析】选项 A，该作图痕迹表示 AB=PB，不符合题意；选项 B，该作图痕迹表示作线段 AC的垂直平分线交 BC 于点 P，即 PA=PC，不符合题意；选项 C，该作图痕迹表示 AC=PC，不符合题意；选项 D，该作图痕迹表示作线段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 P，即 PA=PB，故PA+PC=BC,符合题意.故选 D.【知识点】尺规作图.7. （2018 湖北荆门，11，3 分）如图，等腰 RtABC中，斜边 的长为 2， O为 AB的中点， P
12、为 AC边上的动点， OQP交 BC于点 Q， M为 P的中点，当点 P从点 运动到点 C时，点 M所经过的路线长为（ ）A 24 B 2 C.1 D 2【答案】C.【解析】解：连接 OM，CM，OC.OQOP，且 M 是 PQ 的中点，OM= 21PQ.ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，CM= 21PQ，OM=CM，OCM 是等腰三角形，M 在 OC 的垂直平分线上.当 P 在 A 点时，点 M 为 AC 的中点，当 P 在 C 点时，点 M 为 BC 的中点，点 M 所经过的路线长为 21AB=1.故选 C.【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线，等腰三角形的判定与性
13、质8. （2018 湖北省襄阳市，7，3 分） 如图，在 ABC 中，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 24cm 长为半径画弧，两弧相交于点 M、 N，作直线 MN 分别交 BC、 AC 于点 D、 E.若 AE=3cm， ABD 的周长为 13cm，则 ABC 的周长为()A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm【答案】B【解析】解：由尺规作图可知， MN 是线段 AC 的垂直平分线， AD=CD， AC=2AE=6cm， AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C ABD=13cm， C ABC=AB+BC+AC=13+6=19cm.故选 B.【知识点】线段垂直平
14、分线9.（2018 陕西，8，3 分） 如图，在菱形 ABCD 中，点 E、 F、 G、 H 分别是边 AB、 BC、 CD 和 DA 的中点，连接EF、 FG、 GH 和 HE若 EH=2EF，则下列结论正确的是（ ）A AB= 2EF B AB=2EF C AB= 3EF D AB= 5EF【答案】D【思路分析】连接 AC、 BD 交于点 O利用中位线性质和菱形的性质证明 EF=AO， EH BO，结合菱形的对角线互相垂直，用勾股定理求线段 AB 与 AO 的关系，即得出 AB 与 EF 的关系【解题过程】连接 AC、 BD 交于点 O E， F 分别为 AB、 BC 的中点， EF= 1
15、2AC四边形 ABCD 为菱形， AO= 12AC， AC BD EF=AO同理： EH=BO EH=2EF BO=2AO在 Rt ABO 中，设 AO=x，则 BO=2x AB= 2()5xAO AB= 5EF，故选择 D【知识点】菱形的性质，中位线的性质，勾股定理二、填空题1. （2018 四川泸州，题，3 分） 如图 5，等腰ABC 的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC 上，且BF=3FC，EG 是腰 AC 的垂直平分线，若点 D 在 EG 上运动，则CDF 周长的最小值为 .GFEDCBA第 16 题图【答案】18【解析】做ABC 的高 AH，因为 S=120，BC=
16、20，所以 AH=12，CDF 的周长=CF+CD+DF，CF=5，因为 EG 是腰 AC的垂直平分线，连接 AD，AF，可得 DA=DC，所以 AD+DF 的最小值为 AF 的长度，在 RtAHF 中，HF=5，AH=12，由勾股定理可得 AF=13，因此CDF 周长的最小值为 18【知识点】三角形面积，垂直平分线，勾股定理2. （2018 四川内江，23，6） 如图，以 AB 为直径的 O 的圆心 O 到直线 l 的距离 OE3， O 的半径 r2，直线 AB 不垂直于直线 l，过点 A、 B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 D、 C，则四边形 ABCD 的面积的最大值为 【答案】1
17、2【思路分析】由于四边形 ABCD 为梯形，所以面积为两底之和的一半再乘以高，由已知条件可以通过构造三角形的中位线，证得两底之和与线段 OE 的长度有关，是一个定值，所以四边形面积的大小取决于高，当直径 AB 为梯形的高时，面积最大【解题过程】解：连接 DO 并延长交 CB 的延长线于F， AD l， BC l， AD BC， DAO FBO， ADO F， OA OB， AODBOF， AD BF， OD OF， OE l， AD BC OE， OD EC， DE CE， OE 12CF (BF BC)12(AD BC)， AD BC2 OE6，四边形 ABCD 的面积 12(AD BC)C
18、D，当 AB l 时，即 AB 为梯形的高时四边形 ABCD 的面积最大，最大值为 126412 FlAEBOD C【知识点】三角形中位线，梯形的面积公式；全等三角形；3. （2018 四川广安，题号 14，分值：3） 如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB 于 C，若 EC=1，则OF=_.第 14 题图【答案】2.【解析】过点 E 作 EDOA，于点 D.EFCO，EFA=AOC=AOE+BOE=30.AFE 是OEF 的外角，OEF=AEF-AOE=15=AOE，OF=EF.OE 是AOC 的平分线，CEOB，EGOA，EG=CE=1.在 RtEFG 中，EFA=30EG=1，E
19、F=2EG=2，即 OF=2.【知识点】角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质4. （2018 四川省南充市，第 13 题，3 分）如图，在 ABC 中， AF平分 BC， A的垂直平分线交 BC于点 E， 70B， 19FAE，则 C 度【答案】24【解析】解：设 C 的度数为 x DE 垂直平分 AC， EA=EC， EAC= C=x， FAE=19， AFB= FAC+ C=( x+19)+x=2x+19， AF 平分 ABC， BAF= FAC= x+19， BAF+ AFB+ B=180，即 70+（2 x+19）+( x+19)=180 ，解得： x=24.故答案为：24.
20、【知识点】角平分线的定义；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余5. （2018 湖南衡阳，17，3 分）如图，ABCD 的对角线相交于点 O，且 ADCD ，过点 O 作 OMAC ，交 AD 于点M.如果 CDM 的周长为 8，那么 ABCD的周长是 【答案】16【解析】解：在ABCD 中，AD=BC，AB=CD，点 O 为 AC 的中点，OMAC，MO 为 AC 的垂直平分线，MC=MA， CDM 的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8，平行四边形 ABCD 的周长=2（AD+CD）=16【知识点】6. （2018 江苏泰州，14，3 分）如图，四边
21、形 ABCD 中， AC 平分 BAD， ACD= ABC=90， E、 F 分别为AC、 BD 的中点， D= ，则 BEF 的度数为 .（用含 的式子表示）【答案】 2703【解析】 ACD=90， CAD=90 D=90 ， E、 F 分别为 AC、 BD 的中点， EF AD， CEF= CAD=90 ， AC 平分 BAD， BAC= CAD=90 ， ABC=90， E 为 AC 的中点， AE=BE， EBA= BAC=90 ， BEC=1802 ， BEF=2703 .【知识点】三角形中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质7. （2018 山东省济宁市，13，3）在ABC
22、中，点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在 BC 边上，连接DE，DF，EF.请你添加一个条件_，使BED 与FDE 全等.DEFAB C【答案】答案不唯一，如：点 D 是 BC 的中点或者 DFAB.【解析】当 D 是 BC 的中点时，BEDFDE.E，F 分别是边 AB，AC 的中点，EFBC，当 E，D 分别是边AB，BC 的中点时，EDAC，四边形 BEFD 是平行四边形，BEDFDE，因此，答案为：D 是 BC 的中点【知识点】全等三角形的判定，三角形中位线性质，平行线性质 1. （2018 武汉市，16，3 分）如图，在 ABC中， ACB60， AC1， D 是边
23、AB 的中点， E 是边 BC 上一点若 DE 平分 ABC 的周长，则 DE 的长是_【答案】 32【思路分析】延长 BC 至点 F，使 CF=AC，由题意得 DE 是 ABF 的中位线， ACF 是底角为 30的等腰三角形，作 CG AF，垂足为 G，可求得 AF 的长，从而求出 DE 的长.【解题过程】延长 BC 至点 F，使 CF=AC， DE 平分 ABC 的周长，AD=BC， AC+CE=BE， BE=CF+CE=EF， DE AF， DE= 12AF， CAF 12 ACB30.作 CG AF，垂足为 G，则 AGC=90， AF2 AG2 ACcos CAF21 cos30 3
24、， 3DE.GF EC BDA【知识点】三角形的中位线 等腰三角形的性质 直角三角形中的边角关系2. （2018 河南， 15，3 分）如图, MAN = 90,点 C 在边 AM 上, AC = 4,点 B 为边 AN 上一动点,连接 BC, ABC与 关于 BC 所在直线对称点 D,E 分别为 AC,BC 的中点,连接 DE 并延长交 AB 所在直线于点 F,连接 AE当 EF为直角三角形时 , AB 的长为_ 【答案】4 或 43【思路分析】根据题意，易得 EFAB ， CAB CAB90，123当 AEF为直角三角形时，分两种情况讨论： EF90时， AFE22，所以 AFE+390，
25、即 3290，230，从而 AB tan60 43 90时， B90根据对称， BC 45，进而判断出 是等腰直角三角形，从而求出 AB AC4【解题过程】图 1 图 2解： MAN = 90， ABC与 关于 BC 所在直线对称 C CAB90， CBA又点 D,E 分别为 AC,BC 的中点，连接 DE 并延长交 AB 所在直线于点 F 12AB， EFAB.当 EF为直角三角形时，由题意得， EAF不能为直角，则如图 1， 90时， +390 EFAB ， A B1+221.又 =EB, 13,21+190,1302, AB tan60C 43.如图 2， AFE90时， EF AB,
26、AB FE90由对称可得， C 45， 是等腰直角三角形 AB AC4.综上所述， AB 的长为 4 或 3故答案为：4 或【知识点】对称的性质，三角形中位线，直角三角形性质，三角形内角和，三角函数三、解答题1. (2018 山东青岛中考，15，4 分)已知：如图， ABC，射线 上一点 D.求作：等腰 PBD，使线段 为等腰 PD的底边，点 P在 内部，且点 P到 ABC两边的距离相等. （请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 ）【思路分析】作线段 BD 的垂直平分线与ABC 的平分线，交于点 P，连接 BP，PD，则PBD 就是求作的三角形【解题过程】解：作图如下：【知识点】尺规
27、作图角平分线、垂直平分线1. （2018 湖北鄂州，18，8 分）如图，在四边形 ABCD 中， DAB90， DB DC，点 E、 F 分别为 DB、 BC 的中点，连接 AE、 EF、 AF（1）求证： AE EF；（2）当 AF AE 时，设 ADB ， CDB ，求 ， 之间的数量关系【思路分析】【解析】解：（1）证明：点 E、 F 分别为 DB、 BC 的中点， EF 是 BCD 的中位线， EF 12CD，又 DB DC， EF 12 DB，在 Rt ABD 中，点 E 为 DB 的中点， AE 是斜边 BD 上的中线， AE 12 DB， AE EF；（2）如下图（1） ， AE
28、 EF， AF AE， AE EF AF， AEF 是等边三角形， AEF EAF60，又 DAB90，1 BAF906030， BAF301，EF 是 BCD 的中位线， EF CD， BEF CDB ， 260，又21 ADB1 ，1 60，160 ， AE 是斜边 BD 上的中线， AE DE，1 ADB ， 60 ，2 60【知识点】中位线定理；直角三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的外角性质；平行线的性质2. （2018 四川攀枝花，20，8）(本小题满分 8 分)已知 ABC 中， A=90.（1）请在图 8 中作出 BC 边上的中线(保留作图痕迹，不写作法)；(2)如图 9，
29、设 BC 边上的中线为 AD.求证: BC=2AD.【思路分析】 （1）用尺规作图作出线段 BC 的中垂线，目的是作出线段 BC 的中点 D，然后连接线段 AD 即为所求。【解题过程】(1)如图(1)所示：(2) 如图 (2),作 AB 边的中点 E,连接 ED， BE=EA,BD=DC, ED AC, BAC=90, BED=90， DE AB， DE 是 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 ， AD=BD， AD=BD=DC， BC=2AD。【知识点】尺规作图，三角形的中位线，线段的垂直平分线。3. （2018 湖北省孝感市，20，7 分）如图， ABC中， ，小聪同学利用直尺和圆规完成
30、了如下操作：作 BAC的平分线 M交 BC于点 D；作边 的垂直平分线 EF， 与 A相交于点 P；连接 P， .请你观察图形解答下列问题：（1）线段 PA， B， C之间的数量关系是_；（2）若 70，求 P的度数.【思路分析】 （1）根据从垂直平分线的性质可得 PA=PB=PC.(2)根据等腰三角形的性质可得 ACB= 70ABC，再有三角形的内角和定理可得 BAC=40，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得 BAP = CAP= ABP = ACP=20,最后由三角形外角的性质可得BPC= BPD+ CPD= BAP + ABP + CAP + ACP =80.【解题过程】解：（1）
31、线段 P， ， 之间的数量关系是: PABC（或相等）.（2） AM平分 B， AC， 70B， DC， 902D. EF是线段 AB的垂直平分线， P， 20P. D是 的外角， 40BAB. PC. 80BDP.【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图.4. （2018北京，17，5）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线 l 及直线 l 外一点 PlP求作：直线 PQ，使得 PQ l作法：如图：CBAPl在直线 l 上取一点 A，作射线 PA，以点 A 为圆心， AP
32、长为半径画弧，交 PA 的延长线于点 B；直线 l 上取一点 C（不与点 A 重合） ，作射线 BC，以点 C 为圆心， CB 长为半径画弧，交 BC 的延长线于点Q；作直线 PQ所以直线 PQ 就是所求作的直线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明： AB_， CB_， PQ l（_） （填推理的依据） 【思路分析】 （1）利用尺规作图，先作射线 BC，再在射线 BC 上截取线段 CQ CB；最后过点 P、 Q 作直线即可；（2）由作图易知 PA AB， CQ CB，依据是三角形的中位线的定义及定理，两点确定一条直线【解题过程】17解：（1）如下图所示：QCBAPl（2） PA， CQ；依据：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边；两点确定一条直线【知识点】尺规作图；三角形的中位线定理
