1、1知识点 36 锐角三角函数一、选择题1. （2018 浙江金华丽水，8，3 分）如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得 ABC= ， ADC= ，则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为（ ） A tan B sin C sin D cos第 8题 图 FEDCBA【答案】B【解析】由锐角三角函数的定义，得 AB= sinAC， AB= sin， AB 与 AD 的长度之比为 sin，故选 B【知识点】锐角三角函数2. （2018 浙江衢州，第 9 题，3 分）如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知 BC=6cm，圆锥的面积为15cm 2，则 sinABC 的值为（
2、）A 34B 5C 4D 53第 9 题图【答案】C【解析】本题考查了圆锥的计算、锐角三角函数的定义因为已知圆锥侧面积，从而可计算出母线长，利用勾2股定理得到高线长，结合正弦函数的概念即可得到。圆锥侧面积为 15，则母线长 L=2156=5，利用勾股定理可得 OA=4，故 sinaABC= 45故选 C。【知识点】圆锥的计算、锐角三角函数的定义3. （2018 江苏无锡，9，3 分）如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，正方形 EFGH 的顶点G、H 都在边 AD 上，若 AB=3，BC=4，则 tanAFE 的值（ ） A.等于 7 B.等于 3 C.等于 34 D
3、. 随点 E 位置的变化而变化【答案】A【思路分析】利用平行线的性质将AFE 转化为GAF，然后利用相似三角形的对应边成比例确定 GF、AG 的关系，进而得到 tanAFE 的值.【解题过程】E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，AB=3，BC=4， EHA=tanEAH=tanACB= ABC= 34, 4=3.正方形 EFGH 的顶点 G、H 都在边 AD 上，FG=EH=HG，EFHG，AFE=GAF，tanAFE=tanGAF= FAG= EH= 43EH= 73= .3【知识点】矩形的性质、正方形的性质、平行线的性质、锐角三角函数值的定义4. （2018 年山东省枣庄市，
4、11，3 分）如图，在矩形 ABCD中，点 E是边 BC的中点， BDAE，垂足为F，则 BDEtan的值为（ ）A 42 B 41 C 31 D 32【答案】A【思路分析】设 EF=a，由平行和点 E是边 B的中点得到 AF 与 EF 的关系以及 BF、DF 的关系，利用BEF 与ABF 相似，得到 BF、EF、AF 的关系，表示出 BF，从而表示出 DF，求得 BDEtan的值【解题过程】设 EF=a，在矩形 ACD中，ADBC，BEFDAF， FA，又点 E是边BC的中点， 12F，AF=2EF=2a，又 ，BEFABF， EA， aB，BF= a，DF= 2a， BDEtn= 24aF
5、，故选A.【知识点】矩形；相似三角形；锐角三角函数5. （2018 山东省淄博市，6，4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米，在科学计算器求坡角 的度数时，具体按键顺序是图6图4（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】利用计算器的按键要求选取合理选项.【知识点】利用计算器计算6.（2018 天津市，2，3） cos30的值等于（ ）A B C1 D 3【答案】B【解析】分析：本题查了特殊角的三角函数值熟记锐角三角函数值，即可得结果.解： cos30 2故选 B.【知识点】特殊角的三角函数值1. （2018 湖北黄冈，2 题，3 分）下列运算结
6、果正确的是A. 326a B.24a C. 2tan45 D. 3cos02=2ndF1.0tan=51.0cos2ndF=2ndF1.0Sin=51.0Sin2ndF555【答案】D【解析】A.原式=6a 5，错误；B.原式=4a 2,错误;C.原式=1,错误;D.正确.故选 D【知识点】同底数幂的乘法，积的乘方，特殊三角函数值2. （2018 湖南益阳，8，4 分）如图，小刚从山脚 A 出发，沿坡角为 的山坡向上走了 300 米到达 B 点，则小刚上升了（ ） A300sin B300cos C300tan D 30tan【答案】A【思路分析】上升的高度为 BC，为 的对边， AB 是斜边
7、，故用正弦求解【解析】解： sinBCA， BC AB sin 300 sin ，故选择 A【知识点】锐角三角形函数，解直角三角形的应用3. （2018 湖北宜昌，14，3 分）如图，要测量小河两岸相对的两点 PA,的距离，可以在小河边取 PA的垂线PB上的一点 C，测得 10P米， 35PCA，则小河宽 等于( )(第 14 题图)A.10sin35米 B. 10sin5米 C. 10tan35米 D. 10tan5米 【答案】C【解析】 10PC米， 35PA，在 RtPA C 中， PA= ta，故选择 C.【知识点】正弦，正切.64. （2018 山东省日照市，10，3 分）如图，边长
8、为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的 O 的圆心 O 在格点上，则 BED 的正切值等于（ ）A. 52 B. C.2 D. 21【答案】 D【解析】如图，在 RtABC 中， AB=2， BC=1， tan BAC= ABC= 21. BED= BAD， tan BED= 21.故选 D.【知识点】正方形网格 三角函数5. （2018 广东广州，12，3 分）如图，旗杆高 AB8m，某一时刻，旗杆影子长 BC16m，则 tanC_ABC【答案】12【解析】根据锐角三角函数的定义可知，在直角三角形中，锐角 C 的对边与邻边的比叫做 C 的正切，所以tanC ABBC 816 12【知
9、识点】锐角三角函数的定义76.（2018 山东德州，16，4 分）如图，在 4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， ABC的顶点都在格点上,则 BAC的正弦值是 【答案】 5【解析】因为 2AC， 5B， A，所以 22CBA，所以 90CB，所以sin5B.【知识点】网格，直角三角形的边角关系7. （2018 湖北荆州，T10，F3）如图，平面直角坐标系中， PA经过三点 8006OB（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ，点D是 PA上的一动点当点 D到弦 OB的距离最大时， tanBOD的值是（ ）A2 B3 C.4 D5【答案】B【思路分析】【解析】如图所示，当点 D 到
10、弦 OB 的距离最大时，DEOB.连接 AB，由题意可知 AB 为P 的直径，A（8，0） ，OA=8，B（0，6）OB=6，OE=BE= OB21=3，在 RtAOB 中，AB= 2OBA=10，BP=21A10=5，在在 RtPEB 中，PE= EP=4，DE=EP+DP=4+5=9，tanDOB= 39OED，故选 B8【知识点】圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、垂径定理.8. （2018 湖北省孝感市，4，3 分）如图，在 RtABC中， 90， 1AB， 8C，则 sinA等于（ ）A 35 B 45 C 34 D 43【答案】A【解析】根据勾股定理可得 BC= 2A= 2108=
11、6. 根据三角函数的定义可得 sinA=BCA= 610=35.故选 A.【知识点】勾股定理. 锐角三角函数的定义.9.（2018 四川凉山州，10，4 分）无人机在 A 处测得正前方河流两岸 B、 C 的俯角分别为 70 =4、 ，此时无人机的高度是 h，则河流的宽度 BC 为（ ）A. 502tant B. 502htant C. 1704htat D. 1704tat9【答案】A【解析】设过 A 作 ADBC 的直线交 CB 的延长线于点 D， 则 RtACD 中， CAD=50， AD=h CD= AD tan50 =htan50 又 RtABD 中， BAD=20，可得 BD= AD
12、 tan20 =htan20 CB=CD-BD=htan50-htan20=h(tan50-htan20) .故答案为 A.(第 10 题答图)【知识点】余角定义，锐角三角函数余弦的应用.10. （2018 陕西，6，3 分）如图，在 ABC 中， AC=8， ABC=60， C=45， AD BC，垂足为 D， ABC 的平分线交 AD 于点 E，则 AE 的长为（ ）A 42B 2C 823D 32【答案】C【解析】 BE 平分 ABD， ABC=60， ABE= EBD=30， AD BC，10 BDA=90 DE= 12BE BAD=9060=30 BAD= ABE=30 AE=BE=
13、2DE AE= 23AD在 Rt ACD 中，sinC= ADC,AD=ACsinC= 284 AE= 3，故选择 C【知识点】解直角三角形二、填空题1. （2018 山东滨州，15，5 分）在 ABC 中， C90，若 tanA 12，则 sinB_【答案】 2【解析】设 BC x,则 AC2 x,根据勾股定理可知 AB 5x,故 sinB AC 25x 【知识点】勾股定理和三角函数2. （2018年山东省枣庄市，14，4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯 A的倾斜角为 031， AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米.（结果保留两个有效数字）【参考数据： 601.3sin,857.03
14、1cos,5.031sin】11【答案】6.2【解析】运用锐角三角函数： sinBCA，即 sin312BC，BC=120.515=6.186.2 米，故填 6.2.【知识点】解直角三角形3. （2018 年山东省枣庄市，16，4 分）如图，在正方形 ABCD中， 32，把边 BC绕点 逆时针旋转03得到线段 BP，连接 A并延长交 CD于点 E，连接 P，则三角形 E的面积为 . 【答案】9 5 3【思路分析】如图，过点 P 作 PF CD 于点 F，过点 P 作 PG BC 于点 G先证明 ABP 是等边三角形，再应用特殊角的三角函数值求出 PF、 CE 的长，即可解得 PCE 的面积【解
15、题过程】解：如图，过点 P 作 PF CD 于点 F，过点 P 作 PG BC 于点 G则 BP= 32，在 Rt BGP 中， PBC30， PG BPsin PBG 3， BG BPcos PBG3， CG BC CG 3，则PF 32 3， PBC30， ABP60，又 AB BP， ABP 是等边三角形， BAP60，12 PAD30， DE ADtan PAD2， CE DC DE 32 2，S PCE 12PFCE ( 32 3)( 2)9 5 3【知识点】正方形的性质；等边三角形的判定；特殊角三角函数值4. （2018 浙江湖州，13，4）如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC，
16、 BD 相交于点 O若 tan BAC 31， AC6，则BD 的长是 【答案】2【解析】菱形的对角线互相垂直， AB CDtan BAC 31， AOB 31 AC6 ， AO3 BO1 BD2 BO2故填 2.【知识点】菱形的对角线，正切5. （2018 宁波市，18 题，4 分） 如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，B 是锐角，AEBC 于点 E，M 是 AB 的中点连结 MD，ME,若EMD=90，则 cosB 的值为 MDAEBCGMDAEBC【答案】312【解析】解：延长 EM，交 DA 的延长线与点 G，连接 EDM 是 AB 中点，13AM=BM又菱形 ABCDGDBCGAB
17、=ABC易证ACDBCE(SAS)GM=EM；AG=BE又MDGE；GM=EMDG=DE设 BE=xDE=x+2在 RTABE 中，AE2=AB2-BE2在 RtADE 中，AE2=DE2-AE2AB 2-BE2=DE2-AE2，即 22-x2=(x+2)2-22解得：x= 31在 RtABE 中cosB=312【知识点】勾股定理、锐角时间函数、等腰三角形 1. （2018 甘肃天水，T12，F4）已知在 RtABC 中，C=90，sinA= ，则 tanB 的值为_.1213【答案】 .512【解析】在 RtABC 中，由 sinA= ，令 a=12，c=13，1213根据勾股定理，得 b=
18、5.14tanB= .a=512【知识点】锐角三角函数2. （2018 广西玉林，17 题，3 分）如图，在四边形 ABCD 中，B=D=90，A=60，AB=4，则 AD 的取值范围是_第 17 题图【答案】2AD8【解析】由题，A=60，AB=4，已确定，AD 的长度可以变化，如下图（1） ，是 AD 最短的情况，此时AD=ABcos60=2，如下图（2） ，是 AD 最长的情况，此时 AD=AB/cos60=8，而这两种情况四边形 ABCD 就变成了三角形，故都不能达到，故 AD 的取值范围是 2AD8第 17 题图（1） 第 17 题图（2）【知识点】动态问题，特殊的三角函数值153.
19、 （2018 山东省泰安市，15，3）如图，在矩形 ABCD中， 6， 10BC，将矩形 ABCD沿 E折叠，点 A落在 处，若 EA的延长线恰好过点 ，则 sinE的值为 【答案】 10【解析】根据折叠的性质得到 Rt AEB Rt AEB ，即可得到结论 AE， BA，90ABE，在 Rt CBA中利用勾股定理求得： 8AC，在 Rt CDE 中，设 10xDEx， 则 ，根据勾股定理得到关于 x 的方程22(8)(10)6x，解方程求出 x在 Rt ABE 中，利用勾股定理求出 BE 的长，从而求出 sinABE的值【解答过程】解：矩形 ABCD 沿沿 BE折叠，使点 A落在 处， Rt
20、 AEB Rt AEB AE， 6， 90BE在 Rt CBA中，由勾股定理求得： 22=168C四边形 ABCD 为矩形， AD BC10， CD AB6，在 Rt CDE 中，设 AE x，则 EC8+ x， ED10 x，在 Rt CDE 中， CE2 CD2+DE2，即 22(8)(10)6，解得 x2，在 Rt AEB 中， 22BE=64A16210sinAEB故答案是：10【知识点】翻折变换(折叠问题)；矩形的性质；直角三角形的性质；三角函数.三、解答题1. （2018 江苏无锡，17，3 分） 已知ABC 中，AB=10，AC= 27，B=30，则ABC 的面积等于 . 【答案
21、】 15或 0【思路分析】先画出ABC 的草图，确定对应元素的位置和大小，再利用三角形的面积公式求解.【解题过程】分两种情况求解：（1）如图 1 所示，作 ADBC 于点 D，AB=10，B=30，AD= 12AB= 10=5， 221053BDA.又AC= 7， 22(7)53CDA.BC=BD+CD= 536，ABC 的面积为 13512BCAD.（2）如图 1 所示， 作 ADBC 于点 D，17AB=10，B=30，AD= 12AB= 10=5， 221053BDA.又AC= 7， 22(7)53CDA.BC=BD-CD= 534，ABC 的面积为 135102BCAD.综上所述，AB
22、C 的面积等于 或 .【知识点】含 30角的直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、解直角三角形、三角形的面积公式、分类讨论思想2. （2018 四川省成都市，24，4） 如图，在菱形 ABCD 的中，tan A 43， M， N 分别在边 AD， BC 上，将四边形AMNB 沿 MN 翻折，使 AB 的对应线段 AB 的对应线段 EF 经过顶点 D当 EF AD 时， BC的值为 M NCFDBEA AE BD FCNHM【答案】 2718【思路分析】延长 NF 交 DC 于 H根据翻折得 A E， B DFN，利用菱形中邻角互补，可得到 A DFH，且 DHF90，在 Rt EDM
23、 中，根据 tanAtan E 43，得到 EDM 三边的关系，求出菱形边长，在解 Rt DHF 和 Rt NHC，求出 CN， BN，即可求出 NC的值【解题过程】解：四边形 ABCD 为菱形， AD BC， A B180， DFN DFH180，又 B DFN， A DFH， AB CD， A ADC180，又 ADF90， A FDC90， DFH FDC90， DHF90， A E，tan Atan E DM 43，设DM4 x， DE3 x， EM 22DEM5 x， AM5 x， AD AM DM9 x， EF AB AD9 x， DF EF DE6 x，在 Rt DFH 中 A
24、DFH，tan Atan DFH HF 43， DH DF 24x， CH DC DH 215x，在 Rt CHN 中 A C，tan Atan C N ， CN 5CH7 x， BN BC CN2 x， BNC 7【知识点】菱形性质；锐角三角函数；翻折变换 1. （2018 四川自贡，22，8 分）如图，在 A中，3B12,tan,B04；求 A和 B的长. BCA【思路分析】通过作高构造直角三角形，在 Rt BCD 和 Rt ACD 中利用特殊角的三角比和勾股定理即可求解.【解题过程】如图所示，过点 C 作 CDAB，交 AB 于点 D，在 Rt BCD 中， 30B， 12C， sin12sinDC， 6D.30cocoB， 3B.在 Rt ACD 中， 4tanA, 6D，19 436tanADC， 8.1022A，36+8=B综上所述，AC 长为 10，AB 长为 36+8.【知识点】解直角三角形
