1、1知识点 38 相似、位似及其应用一、选择题1. （2018 山东滨州，6，3 分）在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，8） 、B（10，2） 若以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩短为原来的 12后得到线段 CD，则点 A 的对应点C 的坐标为（ ）A （5，1） B （4，3） C （3，4） D （1，5）【答案】C【解析】根据题意：点 C 的坐标为(6 12，8 )，即 C(3，4)，【知识点】以原点为位似中心的两个位似图形的坐标特征2. （2018 四川泸州，10 题，3 分）如图 4，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，
2、AF，BE 相交于点 G，若 AE=3ED，DF=CF，则 AGF的值是（ ）A. 43 B. 54 C. 65 D. 76GFEDCBA第 10 题图【答案】C【解析】因为正方形中，AE=3ED，DF=CF，所以设边长为 4a，则 AE=3a，ED=a，DF=CF=2a，延长 BE、CD 交于点M，易得ABEMDE，可得 MD= a34，因为ABGMFG，AB=4a，MF= a310，所以 56MFABG第 10 题解图【知识点】相似三角形23. （2018 四川内江，8，3）已知 ABC 与 A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则 ABC 与 A1B1C1的面积比为（ ）A1：1 B1：
3、3 C1：6 D1：9 【答案】D【解题过程】解： ABC A1B1C1相似， ABCS:( 13)2 9故选择 D【知识点】相似三角形的性质4. （2018 山东潍坊，8，3 分）在平面直角坐标系中，点 P（ m， n）是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把 AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（ ） A （2 m，2 n） B （2 m，2 n）或（2 m，2 n）C （ 1， ） D （ 1， ）或（ 1， ）【答案】B【解析】当放大后的 A OB与 AOB 在原点 O 同侧时，点 P 对应点坐标为（2 m，2 n） ，当放大后的 A OB与 AOB 在原点 O
4、两侧时，点 P 对应点坐标为（2 m，2 n） ，故选择 B.【知识点】图形的位似5. （ 2018 四川省达州市，9，3 分）如图， E、 F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点， AE CF 14AC，连接DE、 DF 并延长，分别交 AB、 BC 于点 G、 H，连接 GH，则 ADGBHS:的值为（ ） A 12 B 3 C 4 D1GHFE CA BD3第 9 题图【答案】C【解析】如图，过点 H 作 HM AB 交 AD 于 M，连接 MG设 S 平行四边形 ABCD1 AE CF 14AC， S ADE 4S ADC 8S 平行四边形 ABCD 8， S DEC 3 S
5、 AEG 19S DEC 2 S ADG S ADE S AEG 18 4 6 CHAD 13， S AMG 23S ADG 9 G ， S GBH2 S AMG ADGBHS:1629 34故选 C.MGHFE CA BD【知识点】相似三角形的性质；同底等高面积相等6.（2018 四川省南充市，第 10 题，3 分）如图，正方形 ABCD的边长为 2， P为 CD的中点，连结 AP，过点 B作 EAP于点 ，延长 CE交 于点 F，过点 作 HE于点 G，交 B于点 H，连接HF.下列结论正确的是（ ）4A 5CE B2EFCcosPD 2HC【答案】D【思路分析】1.利用平行四边形的判定和
6、性质，求得 AH 的值，再利用平行线分线段成比例，得到 BG=EG，利用垂直平分线的性质，可得 CE=BC；2.根据角之间的关系，推出 AE=EF，设 AB=EF=x，进而利用勾股定理求出 EF的长度；3.利用7=1，易得 cos CEP=cos1，在 Rt BDP 中，求得 cos CEP；4.在 Rt FAH 中，利用勾股定理求出 HF2，在 Rt CDF 中，求得 CF 的长度，即可得证.【解题过程】解：由 BE AP， BE CH，可证 AP CH，又 CP AH，四边形 CPAH 是平行四边形， AH=CP= 12CD=1， BH=1，又 BH=AH， GH AP， BG=EG， B
7、C=CE=2，故 A 错误； CH AP，2=4，2+1=90，4+5=90，1=5，由 BC=CE， BG CG，可知5=6，又 CH AP，6=7=8，1=8， AF=EF，设 AF=EF=x，则由勾股定理，可知 CD2+DF2=CF2，即22+(2x) 2=(2+x)2，解得： x= 12，即 EF=AF= 12，故 B 错误；在 Rt ADP 中， AP= DP= 5,由7=1，可得：cos CEP=cos1= ADP= 5= ，故 C 错误；在 Rt FAH 中，AH=1， AF= 12， HF2=AH2+AF2=1+ 14= ，在 Rt CDF 中，CD=2， DF= 3， CF=
8、 C= 9= 2， CFEF= 52 1= 4=HF2.故 D 选项正确.故选 D.5【知识点】平行线的性质和判定；平行四边形的判定；平行线分线段成比例；勾股定理；三角函数7. （2018 浙江绍兴，7，3 分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD绕 O点旋转到 AC位置，已知ABD， CB，垂足分别为 B， D， 4AOm， 1.6， 1Cm，则栏杆 端应下降的垂直距离 为（ ）（第 7 题图）A 0.2m B 0.3m C 0.4m D 0.5m【答案】C【解析】由题意可知ABOCDO，根据相似三角形的性质可得 AOBCD， 4， 1.6ABm，1COm， D6.4， 4.01.C
9、，故选 C。【知识点】相似三角形的性质8. （2018 江苏泰州，6，3 分）如图，平面直角坐标系 xOy中，点 A的坐标为 0,6， ABy轴，垂足为 B，6点 P从原点 O出发向 x轴正方向运动，同时，点 Q从点 A出发向点 B运动，当点 Q到达点 B时，点 P、 Q同时停止运动，若点 P与点 Q的速度之比为 1:2，则下列说法正确的是 ( )A.线段 始终经过点 2,3B.线段 P始终经过点 3,2C.线段 始终经过点 ,D.线段 不可能始终经过某一定点【答案】A【解析】连接 AO 交 PQ 于点 C，过点 C 作 CD AB 于点 D， AB y 轴， AB x 轴， A= COP，
10、AQC= OPC， AQC OPC， 2AQOP， 23ACO，同上得 243DBO，263DB，点 A 的坐标为（9，6） ，点 C 的坐标为（ 3，2）. 故选 A.【知识点】双动点，相似，定点9.（2018 山东临沂，6，3 分）如图，利用标杆 BE测量建筑物的高度已知标杆 BE 高 1.2m，测得AB1.6 m， BC12.4 m则建筑物 CD 的高是( ) EDCBA第 6 题图A9.3m B10.5m C.12.4m D14m【答案】 B【解析】由题意知 BE CD， ABE ACD， ACBE，即 4.126.，解得 CD=10.5（ m） ，故选 B.【知识点】相似三角形的判定
11、和性质 解直角三角形710. （2018 山东威海，11，3 分）矩形 ABCD 与 CEFG 如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH，若 BCEF2，CDCE1，则 GH( )A 1B 23C 2D 52【答案】C 【思路分析】若要求 GH 的长，应先将其转化到三角形中，过点 H 作 HM 垂直于 CG 于点 M，在 RtGHM 中，只要求出 GM、HM，即可解决问题【解题过程】过点 H 作 HM 垂直于 CG 于点 M，设 AF 交 CG 于点 O OGFEDMCBA根据题意可知GOFDOA， GFO1=AD2，所以 OF 12O
12、A 3AF，即 AF3OF，因为点 H 是 AF 的中点，所以 OH 12AF 3AF 16AF，即 AF6OH，所以 OH OF根据已知条件可知HOMGOF，可以推出HM ；同理，通过HOMAOD，可以推出 DM 12DG，即 GM 12DG ，在 RtGHM 中，GH2HM+G=。故选 C【知识点】三角形相似的性质与判定、勾股定理11. （2018 四川省德阳市，题号 12，分值：3）如图，四边形 AOEF 是平行四边形，点 B 为 OE 的中点，延长 FO至点 C，使 FO=3OC，连接 AB，AC，BC，则在ABC 中，S ABO :SAOC :SBOC （ ）A.6:2:1 B.3:
13、2:1 C.6:3:2 D.4:3:2 8【答案】B.【解析】四边形 AOEF 是平行四边形，AFEO，AFM=BOM，FAM=MBO，AFM BOM， .=12设 SBOM =S，则 SAOM =2S.FO=3OC，OM= FM，12OM=OC，S AOC =SAOM =2S，S BOC =SBOM =S，S ABO :SAOC :SBOC =3:2:1.【知识点】相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质12. （2018 四川省宜宾市，6，3 分）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置，已知ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4.若 AA=1,则 AD 等
14、于（ ）CB AD9A. 2 B.3 C. D. 23 32【答案】A【解析】如图，S ABC =9、S AEF =4，且 AD 为 BC 边的中线，S ADE = 12SAEF =2，S ABD = 12SABC = 9，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，（AD） 2= AEBDS ，即（1） 2=9，解得 AD=2 或 AD= 5（舍去） ，故选：A【知识点】平移的性质；相似三角形的性质；三角形中线的性质1. （2018 湖北鄂州，10，3 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直线 13yx分别与 x 轴、 y 轴交于点P、 Q，在 Rt O
15、PQ 中从左向右依次作正方形 A1B1C1C2、 A2B2C2C3、 A3B3C3C4AnBnCnCn+1，点 A1、 A2、 A3An在x 轴上，点 B1在 y 轴上，点 C1、 C2、 C3Cn+1在直线 PQ 上，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左到右的小正方形（阴影部分）的面积分别记为 S1、 S2、 S3Sn，则 Sn可表示为（ ）10A234nB1324nC 314nD2314n【答案】A【思路分析】首先由一次函数关系式求得点 P 和点 Q 的坐标，用勾股定理求得 PQ 的长度，利用等面积法求得ON 的长度，然后由 O
16、A1B1 OPQ 求得正方形 A1B1C1C2的边长 a1的值，从而得出 S110；在利用勾股定理和 O A1B1 OPQ，得出正方形 A2B2C2C3的边长 a2 34a1，以此类推，得到 Sn10 34Sn-11034 2n 234【解析】如下图（1） ，当 x0 时， y 13，故点 Q 的坐标为（0， 13） ， OQ ；当 y0 时， 130x，解得x13，故点 P 的坐标为（13，0） ， OP13，在 Rt OPQ 中，则 PQ2123OPQ，过点 O 作 ON PQ 于点 N，交 A1B1于点 M，则 S OPQ 12OPOQ ONPQ，则 ON1300PQ，设正方形 A1B1
17、C1C2的边长为 a1，四边形 A1B1C1C2是正方形， A1B1 PQ，则 O A1B1 OPQ， 1OMNPQ，即30130a，解得 a1 0，则 S1 2010，11OA1B1 OPQ， 13OAPBQ，令 OB1 m，则 OA13 m，则在 Rt OPQ 中， 22310m，解得 m1，故 OB1 m1， OA13 m3，则 S1 2010，设正方形 A2B2C2C3的边长为 a2，则A1C2 A2B2 a2，四边形 A2B2C2C3是正方形，A 1B2A2A 1OB190，OB 1 A1OA 1B190，OA 1B1B 2A1A290， OB1 A1 B2A1A2，又 A1OB1
18、A1 B2A290， O A1B1 A1A2B2，3O， 23 2， 3 a2，又 A1B2 B2C2 A1C2， a2 3a2 a1，解得a2 4a1， S210 4，同理可得 an 4an-1， Sn10 4Sn-110 34n 4，故选 A【知识点】一次函数性质；正方形的性质；等面积法；相似三角形的性质和判定；勾股定理；找规律2. （2018 四川遂宁，10，4 分）已知如图，在正方形 ABCD 中，AD=4，E，F 分别是 CD，BC 上的一点，且EAF=45，EC=1，将ADE 绕点 A 沿顺时针方向旋转 90后与ABG 重合，连接 EF，过点 B 作 BMAG，交 AF 于点 M，
19、则以下结论：DE+BF=EF，BF= 74，AF= 30，S MBF =17532中正确的是12A. B. C. D.【答案】D.【解析】解：ABC=90，ABG=90，在ADE 和ABG 中，BGDEA90，ADEABG（SAS） ，AE=AG，DAE=BAG，BAD=90，EAF=45，BAF+DAE=45，BAF+BAG=45，即GAF=45，EAF=GAF，在AEF 和AGF 中，AFGE，AEFAGF（SAS） ，EF=GF，GF=BG+BF=DE+BF，EF=DE+BF故正确；设 BF=x，则 FC=4-x，GF=EF=3+x，在 RtEFC 中，13FC 2+EC2=EF2，(4
20、-x) 2+12=(3+x)2，解得 x= 74，故正确；在 RtABF 中，AB 2+BF2=AF2，AF 2=42+( 74)2= 980，AF= ，故错误；SAGF = 21GFAB= 750.BMAG，BFMGFA， 254GFB,S MBF = )(SAGF =17532.故正确.故选 D.【知识点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质3. （2018重庆 A 卷，5，4）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm和 9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为 （ ）A3cm B4cm C4.5cm D5cm【答
21、案】 C14【解析】设中另一个三角形的最长边为 xcm，根据相似三角形的性质，得 2.59x，解得 x4.5，故选 C【知识点】相似三角形的性质4. （2018 贵州遵义，10 题，3 分）如图，点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EFBC，分别交AB、CD 于 E、F，连接 PB、PD，若 AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为A.10 B.12 C.16 D.18第 10 题图【答案】C【解析】矩形 ABCD 中，ABCD，所以EAP=FCP，因为APE=FCP，所以APEFCP，所以 AEPFC，因为 EFBC，所以 EB=FC，所以 EBEP=AEFP=
22、16，所以 182SEBP P，因为 DF=AE=2，182SDFP P，所以 EBPDF=+16S 阴 影【知识点】矩形，相似三角形，三角形面积5. （2018 湖北荆门，6，3 分） 如图，四边形 ABC为平行四边形， E、 F为 CD边的两个三等分点，连接 AF、 BE交于点 G，则 :EFABGS（ ）15A 1:3 B 3:1 C. :9 D 9:1【答案】 C.【解析】解：E、F 为 CD 边的两个三等分点，EF= 31CD.四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB，CDAB，EF= 31AB，EFGBAG， :EFGABS2)(= 91.故选 C.【知识点】平行四边形的性质，相
23、似三角形的判定与性质6.（2018 湖南省永州市，8，4）如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边AC 的长为 （ ）A BCDA2 B4 C.6 D8 【答案】B16【解析】A=A，ADC=ACB，ADCACB，AC：AB=AD：AC，AC 2=ADAB=28=16，AC0，AC=4. 因此，本题选 B【知识点】相似三角形的条件 相似三角形的性质 7. （2018 四川攀枝花，9，3）如图 3，点 A 的坐标为(0,1)，点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作Rt ABC，使 BAC=90， ACB=30，设点 B 的横坐标为
24、x，点 C 的纵坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( ) 【答案】C【思路分析】可根据题意求出 y 与 x 的函数关系式，再由关系式判断函数的大致图像。【解析】如图，过点 C 作 CD y 轴 ， 垂 足 为 D， 易 证 AOB CDA， 所 以 ACBO， 由 BAC=90， ACB=30， 得 31A， 所 以 31， 31yx， 整 理 得 ： 13xy（ 图） ， 结合 自 变 量 的 取 值 范 围 ， 可 知 y 与 x 的函数关系的图像大致应该选 C.17【知识点】平面直角坐标系，相似三角形，一次函数的图像8. （2018 四川自贡，6，4 分）如图，在 A
25、BC中，点 DE、 分别是 ABC、的中点，若 ADE的面积为 4，则是 ABC的面积为 （ ）A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 EDBCA【答案】D【解析】点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， 21ACEBD，又 DAE BAC ， ADE ABC，且相似比为 1:2，面积比为 1:4， ADE 的面积为 4， ABC 的面积为 16，故选择 D.【知识点】相似三角形的性质与判定9.（2018 湖北省孝感市，10，3 分）如图， ABC是等边三角形， ABD是等腰直角三角形， 90BAD，AEBD于点 ，连 C分别交 E， 于点 F， G，过点 作 HC交 于点 H，则下列结
26、论： 15； AFG； HD； :； (31)FE.EDBCA 18A5 B4 C3 D2【答案】B【解析】由ABC 是等边三角形可知:ABC=ACB=BAC=60，AB=BC=AC由ABD 是等腰直角三角形且AEBD 可知：ADB=ABD=45，BAD=90，AB= ADAC= AD，DAC=BAD+BAC=90+60=150，所以ADC=ACD= 12（180-DAC）= 12（180-150）=15，所以说法正确.EDF=ADB-ADC=45-15=30，DFE=90-EDF=90-30=60=AFGAGD=90-ADG=90-15=75，AFGAGD，AFAG，所以说法错误. AHCD
27、，AC= AD，DAH=CAH=12DAC= 150=75.BAH=CAH-BAC=75-60=15=ADF又DAF=90-ADE=90-45=45=ABH在BAH 和ADF 中， , （ AS） . ,BFADBHDFHAH=DF. 说法正确. 在AFG 和CBG 中， , . GFCG说法正确. EAH=BAD-DAE-BAH=90-45-15=30，FDE=ADE-ADC=45-10=30，EAH=FDE. 在AEH 和DEF 中， , （ AS） . 90,EAHDEHDFFEH=EF在 RtAEH 中，AH=2EH,AE=22()3.AE= .EAF=AE-EF= 3EF-EF=(1
28、)F. 说法正确.故选 B.【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；相似三角形的判定定理及性质；全等三角形的判定定理及性质；勾股定理.1910. （2018 浙江省台州市，8，3 分） 如图，在 ABCD:中 ， 2， 3BC.以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 BC于点 P，交 D于点 Q，再分别以点 P， Q为圆心，大于 1PQ的长为半径画弧，两弧相交于点 N，射线 交 A的延长线于点 E，则 E的长是（ ）A 12 B1 C 65 D 32 【答案】B【思路分析】根据作图可知 CE 是BCD 的角平分线，然后利用平行四边形的性质和相似三角形
29、的判定与性质即可求出 AE 的长.【解题过程】如图所示，根据作图过程可知 CE 是BCD 的角平分线，FCB=FCD，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，且DC=AB=2，DFC=FCB，FCD=DFC，DF=DC=2，AF=AD-DC=3-2=1，AFBC，EAFEBC， EAFBC，即 123E，解得 AE=1【知识点】角平分线的尺规作图；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；2011. （2018 广西玉林，6 题，3 分）两三角形的相似比是 2:3，则其面积比是A. 2:3 B.2:3 C.4:9 D.8:27【答案】C【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为相似比是
30、 2:3，所以面积比为 4:9，故选 C【知识点】相似性质12. （2018 广西玉林，9 题，3 分）如图，AOB=60，OA=OB，动点 C 从点 O 出发，沿射线 OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边ACD，连接 BD，则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关系是A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直第 9 题图【答案】A【解析】设 AB 与 CD 相交于点 M，因为AOB=60，OA=OB，所以AOB 为等边三角形，因为ACD 为等边三角形，所以ADM=CBM=60，因为AMD=CMB，所以AMDCMB，所以 AMDCB，所以 ACMB，因为AMC=DMB，所以AM
31、CDMB，所以DBA=ACD=60，所以DBA=BAO，BDOA，故选 A【知识点】等边三角形，相似三角形，平行线13. （2018 山东省泰安市，18，3） 九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图， DEFG是一座边长为 200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 H位于 GD的中点，南门 K位于 的中点，出东门 15 步的 A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 A处的树木（即点 在直线 AC上）？请你计算 KC的长为 步21【答案】 203 【思路分析
32、】本题主要是考查学生建模思想，图中是两三角形相似中的基本图形，运用相似三角形的对应边成比例可求 KC的长【解题过程】解： DEFG是正方形， DG KC， AHD AOC， AHO 即 150KC 解得： 203KC故答案是： 203【知识点】相似三角形判定及性质二、填空题1. （2018 四川内江，25，6） 如图，直线 y x1 与两坐标轴分别交于 A、 B 两点，将线段 OA 分成 n 等份，分点分别为 1P， 2， 3， ， 1nP，过每个分点作 x 轴的垂线分别交直线 AB 于点 1T， 2， 3， 1T，用1S， 2， 3， 1nS，分别表示 Rt 1TO ，Rt 21P，Rt 1
33、n2Pn的面积，则 22【答案】 14n【思路分析】由 1P， 2， 3， 1nP为线段 OA 的 n 等分点，且每个分点作 x 轴的垂线分别交直线 AB 于点 1T，2T， 3， nT，可以得到若干个“A”字型的相似三角形，利用这些相似可以依次将上述直角三角形中的平行于 y 轴的直角边表示出来，由于这些直角三角形的一条直角边都是 1n，所以提出将其整理就可以得到答案【解题过程】解： 1TP y 轴， A 1TP ABO， 1TPOB 1An，直线 y x1 与两坐标轴分别交于 A、 B 两点， OA OB1， n， O 1 ， 1S 2 n，同理1S 2 n 2， 1nS 2 ， 1S 2
34、3 n （ 1 23 ） （ n1 n2 n3 1） 2 4n【知识点】一次函数；相似三角形；2. （2018 四川绵阳，18，3 分）如图，在ABC 中，AC=3，BC=4，若 AC，BC 边上的中线 BE，AD 垂直相交于 O点，则 AB= 23【答案】 5.【解析】解：连接 DE，如图所示.AD，BE 分别是 BC，AC 边上的中线，DEAB，且 DE= 21AB， OBEAD.设 OD=a，OE= b，则 OA=2a，OB=2 b，AC=3，BC=4，BD=2，AE=1.5.ADBE，在 RtBOD 中，OB 2+OD2=BD2，即 4b2+a2=4，在 RtAOE 中，OE 2+OA
35、2=AE2，即 4a2+b2=2.25，5 a2+5b2=6.25，即 a2+b2=1.25.在 RtAOB 中，AB 2=OB2+OA2=4a2+4b2=5，AB= 5.24故答案为 5.【知识点】平行线分线段成比例定理，中位线的性质，勾股定理3. （2018 安徽省，14，5 分）矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8.点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上,满足PBEDBC，若APD 是等腰三角形,则 PE 的长为_。【答案】3 或 6【解析】由题意知，点 P 在线段 BD 上， （1）如图所示，若 PD=PA, 则点 P 在 AD 的垂直平分线上，则点 P 为 BD中
36、点，故 PE= 13;2DC (2)如图所示，若 DA=DP，则 DP=8，在 Rt BCD 中， 210,BDCBP=BD-DP=2， PBE DBC， ,5EBPDCPE= 16.5C综上所述，PE 的长为 3 或 65.【知识点】相似三角形的性质，利用勾股定理求线段的长4. （2018 湖南岳阳，15，4 分） 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步【答案】 1760.25【解析】解：如图.
37、设该直角三角形能容纳的正方形边长为 x，则 AD=12-x，FC=5-x根据题意易得ADEEFC， FCDEA， x512，解得： x=1760.故答案为 760.【知识点】相似三角形的性质5. （2018 江苏连云港，第 11 题，3 分）如图， ABC 中，点 D， E 分别在 AB、 AC 上， DE BC， AD:DB=1:2，则 ADE 与 ABC 的面积的比为_.【答案】1:9【解析】解： DE BC， 13ADB， ADE ABC， 19ADEBCS ，故答案为：1:9.【知识点】相似三角形的性质与判定6.（2018 江苏连云港，第 16 题，3 分）如图， E、 F、 G、 H
38、 分别为矩形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 的中点，连接 AC、 HE、 EC、 GA、 GF，已知 AG GF， AC= 6，则 AB 的长为 _.26【答案】2【思路分析】根据相似三角形的判定，可得 GCF ADG，进而可得 2GC2=AD2 ，再根据勾股定理，可得 AD2+DC2=6，将代入，可得 GC 的长度，进而求得 AB 的长.【解题过程】解：在矩形 ABCD 中，点 E、 F、 G、 F 分别是 AB、 BC、 CD、 DA 的中点， CF= 12BC = 12AD， D90 ， DCB=90，1+3=90， AG GF，1+2=90，2=3，GCF ADG， G
39、CFA，即12ADGC，解得：2 GC2=AD2 ， AC= 6， AD2+DC2=6，将代入，得：2 GC2+(2GC)2=6，解得： GC=1， AB=DC=2，故答案为：2.【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质和判定；勾股定理7. （2018 四川省成都市，13，4）已知 6a 5b 4c，且 a b2 c6则 a 的值为 【答案】12【解析】解：设 6a 5b 4c k，则 a6 k， b5 k， c 4k， a b2 c6，6 k5 k8 k6，3 k6，解得k2， a6 k12【知识点】比例；一元一次方程278. （2018 四川省南充市，第 15 题，3 分）如图，在 ABC中
40、， DE BC， BF 平分 ABC，交 DE的延长线于点F，若 AD=1， BD=2， BC=4，则 EF= 【答案】23【解析】解： DE BC, AD=1， BD=2， BC=4， BCDEA即 431，解得： DE=43， BF 平分 ABC， ABF= FBC，又 DE BC， FBC= F， ABF= F， BD=DF=2， DF=DE+EF， EF=324.故答案为：23.【知识点】平行线分线段成比例；平行线的性质；等腰三角形的判定9.（2018 江苏省盐城市，16，3 分）如图，在直角 ABC 中， C90， AC6， BC8， P、 Q 分别为边AC、 AB 上的两个动点，若
41、要使 APQ 是等腰三角形且 BPQ 是直角三角形，则 AQ_AC BPQ【答案】 154或 307【解析】在直角 ABC 中， C90， AC6， BC8， A B 26810当 QP AB 时， QP AC AB QP设 QP AQ x，则 QB10 x 10 -x AQ x 154； 28当 PQ AB 时， APQ 是等腰直角三角形 ABC PBQ, ACB PQ, 68 10-x AQ x 307【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例定理；分类讨论10. （2018 四川省宜宾市，16，3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3,CB=2,点 E 为线段 AB 上的动点，将CBE沿
42、 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）当 E 为线段 AB 中点时，AFCE；当 E 为线段 AB 中点时，AF= ；95当 A、F、C 三点共线时，AE= ；当 A、F、C 三点共线时，CEFAEF.FBAD CE【答案】【思路分析】中可以结合折叠的性质以及三角形外角的性质得到；中可以根据 AA 证明三角形相似，得到对应边成比例，从而求出 AF 的长；中可以设 BE=x，根据直角收纳侥幸 AEF 中三边满足勾股定理求出；中可以根据中线段的长度大小判断三角形是否全等.【解题过程】由折叠的性质可知 CF=CB，CFE=90，CEB=CEF,E
43、为 BC 中点，BE=EF=AE= 32，FAE=AFE，FEB=FAE+AFE ，CEB=CEF=FAE=AFE,AFCE，故正确；BE= ,BC=2，CE= 52,过点 E 作 EMAF 垂足为 M，AFE=FEC,EMAF，CFE=90，MFEFEC， MFEC，即3,MF= 910,AF= ；故正确；A、F、C 三点共线，9529AFE=90，AC= 231，设 BE=x,则 EF=x,AE=3-x,AF= 132，在 RTAFE 中，213x，解得 x= 234,AE=3-x= ，故正确；AF= ，CF=2，AFCF，错误.【知识点】三角形相似；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；折叠的性质11. （2018 浙江杭州，16，4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：把ADE 翻折，点 A 落在DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；把纸片展开并
