1、- 1 -第 61 讲 求轨迹方程的基本方法1已知点 A(2,0)、 B(3,0)，动点 P(x， y)满足 x2，则点 P的轨迹是(D)PA PB A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线(2 x， y)， (3 x， y)，因为 x2，所以(2 x)(3 x)PA PB PA PB y2 x2，即 y2 x6.2已知 F1(1,0)、 F2(1,0)，且| F1F2|是| PF1|与| PF2|的等差中项，则动点 P的轨迹是(A)A椭圆 B双曲线C抛物线 D线段由于 |PF1| PF2|2| F1F2|42，所以 P点轨迹为椭圆3曲线 f(x， y)0 关于直线 x y20 对称曲线的方程是(D)A
2、 f(x2， y)0 B f(x2， y)0C f(y2， x2)0 D f(y2， x2)0设 (x0， y0)是 f(x， y)0 上任一点，它关于 x y20 的对称点为( x， y)，则Error!解得Error!又 f(x0， y0)0，所以 f(y2， x2)0.4设 A1、 A2是椭圆 1 长轴的两个端点， P1、 P2是垂直于 A1A2的弦的端点，则直x29 y24线 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程为(C)A. 1 B. 1x29 y24 y29 x24C. 1 D. 1x29 y24 y29 x24设交点为 P(x， y)， A1(3,0)， A2(3,0)， P1(x0
3、， y0)， P2(x0， y0)因为 A1、 P1， P三点共线，所以 ，y y0x x0 yx 3因为 A2、 P2， P三点共线，所以 ，y y0x x0 yx 3解得 x0 ， y0 ，代入 1，9x 3yx x209 y204化简得 1.x29 y245在圆 x2 y29 中，过已知点 P(1,2)的弦的中点的轨迹方程为 ( x )2( y1) 212.54设弦的中点为 M，则 OM PM.所以 M在以 OP为直径的圆上，故所求轨迹方程为( x )2( y1) 2 .12 546在平面直角坐标系 xOy中，已知圆在 x轴上截得的线段长为 2 ，在 y轴上截得的线2段长为 2 ，则圆心
4、 P的轨迹方程为 y2 x21 .3设 P(x， y)，圆 P的半径为 r.由题意 y22 r2， x23 r2，从而 y22 x23，所以 P点的轨迹方程为 y2 x21.7设点 F(2,0)，动点 P到 y轴的距离为 d，求满足条件| PF| d2 的点 P的轨迹方- 2 -程(方法一 )设 P的坐标为( x， y)，由| PF|2 d，得 2| x|， x 2 2 y2即( x2) 2 y2(2| x|)2.所以 y24| x|4 x.当 x0 时， y28 x；当 x0时， y20 即 y0.故所求轨迹方程为 y28 x(x0)和 y0( x0)(方法二)由题意| PF|2 d，当 P
5、在 y轴右侧时，可转化为| PF| x2，即点 P到定点 F的距离等于到定直线l： x2 的距离，所以点 P在抛物线 y28 x上当 P点在 y轴左侧时，| PF|2 x，即点 P到 F(2,0)的距离等于 P到直线 x2 的距离，从而有 y0( x0)综上可知，所求轨迹方程为 y28 x(x0)和 y0( x0)8点 P是以 F1、 F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点 F2作 F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点 M，则点 M的轨迹是(D)A抛物线 B椭圆C双曲线 D圆连接 OM，延长 F2M交 F1P的延长线于点 Q，则| PQ| PF2|.所以| QF1| PF1| PQ| PF1| P
6、F2|2 a.因为 OM为 F1F2Q的中位线，所以| OM| |QF1| a.12因此点 M的轨迹是圆故选 D.9直线 l与椭圆 y21 交于 P、 Q两点，已知 l的斜率为 1，则弦 PQ中点的轨迹方x24程为 x4 y0( x ) .455 455设 M(x， y)为 PQ中点， P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则Error! ，得kPQ 1.y1 y2x1 x2 14 x1 x2y1 y2 14 2x2y所以 x4 y0.则 M(x， )，因为 M在椭圆内，x4所以 ( )21，解得 x .x24 x4 455 455所以所求轨迹方程为 x4 y0( x )455 45510
7、(2016新课标卷)已知抛物线 C： y22 x的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线l1， l2分别交 C于 A， B两点，交 C的准线于 P， Q两点(1)若 F在线段 AB上， R是 PQ的中点，证明 AR FQ；(2)若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程- 3 -由题意知 F( ，0)设 l1： y a， l2： y b，则 ab0，且 A( ， a)， B( ， b)，12 a22 b22P( ， a)， Q( ， b)， R( ， )12 12 12 a b2记过 A， B两点的直线为 l，则 l的方程为 2x( a b)y ab0.(1)证明：由于 F在线
8、段 AB上，故 1 ab0.记 AR的斜率为 k1， FQ的斜率为 k2，则k1 b k2.a b1 a2 a ba2 ab 1a aba所以 AR FQ.(2)设 l与 x轴的交点为 D(x1,0)，则 S ABF |b a|FD| |b a|x1 |，12 12 12S PQF .|a b|2由题设可得 2 |b a|x1 | ，12 12 |a b|2所以 x10(舍去)或 x11.设满足条件的 AB的中点为 E(x， y)当 AB与 x轴不垂直时，由 kAB kDE可得 (x1)2a b yx 1而 y，所以 y2 x1( x1)a b2当 AB与 x轴垂直时， E与 D(1,0)重合所以所求轨迹方程为 y2 x1.
