1、1考点 45 立体几何中的向量方法1如图，在直三棱柱 中，平面 平面 ，且 .（1）求证： ；（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求锐二面角 的大小.【答案】 （1）见解析； （2） . 5 分又 ，从而 侧面 ，又 侧面 ，故 6 分2（2）32如图，l，二面角 l 的大小为 ，A，B，点 A 在直线 l 上的射影为 A1，点 B在 l 上的射影为 B1.已知 AB2，AA 11，BB 1 .(1)若 120，求直线 AB 与平面 所成角的正弦值；(2)若 90，求二面角 A1ABB 1的余弦值【答案】 （1） ；（2） 。【解析】(1)如图， 过点 A 作平面 的垂线交于点 G，连接 GB
2、、GA 1，因为 AG， 所以ABG 是 AB 与 所成的角RtGA 1A 中， GA 1A60，AA 11, 45则 A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B 1(0，1，0)，B( ，1，0)63如图，四棱锥 的底面 为平行四边形， ， 7（1）求证： ；（2）若 ， ， ，求平面 与平面 所成角的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）8设平面 的法向量 ，由 ，得 ，9故所求的二面角的余弦值为4如图所示，在四棱锥 中，底面 ABCD 为直角梯形， ， ，点 E 为 AD 的中点， ， 平面 ABCD，且 求证： ；线段 PC 上是否存在一点 F，使二面角 的余弦值是 ？若存在，请找出点 F
3、 的位置；若不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析；（2）见解析.1011二面角 的余弦值是 ，由 ，解得 ，线段 PC 上存在一点 F，当点 F 满足 时，二面角 的余弦值是 5如图，在四棱锥 中，底面 是平形四边形， 平面 ，点 ， 分别为 , 的中点，且 ， .（1）证明： 平面 ；（2）设直线 与平面 所成角为 ，当 在 内变化时，求二面角 的平面角 余弦值 的取值范围.【答案】 （1）见解析（2）四边形12，136如图长方体 的 ，底面 的周长为 4， 为 的中点.（）判断两直线 与 的位置关系，不需要说明理由；（）当长方体 体积最大时，求二面角 的大小；（）若点 满足 ，试求出实
4、数 的值，使得 平面 .14由 ，得 ，7如图，在四棱锥 中， ， 平分 ， 平面 ， ，点 在 上，.15（1）求证： 平面 ；（2）若 ， ,求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析.（2） .168如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，点 为棱的中点。17（1）证明： ；（2）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值。【答案】(1)证明见解析.(2) .189如图所示，三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 的正三角形， 是顶角的等腰三角形，点 为 的上的一动点.（1）当 时，求证： ；（2）当直线 与平面 所成角为 时，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）证明见解析；（2） .19从而
5、， ， ， 于是 ，2010如图，在多面体 中，已知四边形 为平行四边形，平面 平面 ， 为 的中点， ， ， .()求证： 平面 ；()求二面角 的余弦值【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：（1）通过面面垂直的性质定理得出线面垂直；（2）以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，写出每个点的坐标，分别求出平面DBM,BME 的一个法向量，由向量夹角公式，求出二面角的平面角的余弦值即可。详解： ()在 中， ， ， ，由勾股定理的逆定理，得21二面角 为锐二面角，故其余弦值为 .11如图，在梯形 中， ，四边形 为矩形， 平面，点 是线段
6、的中点.22（1）求证： 平面 ；（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2) .2312如图，四棱锥 中，底面 为菱形， ， ，点 为 的中点.（1）证明： ；（2）若点 为线段 的中点，平面 平面 ，求二面角 的余弦值.24【答案】 （1）证明见解析；（2） .13如图，在斜三棱柱 中，已知 ， ，且 .25（）求证：平面 平面 ； （）若 ，求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）余弦值为 .14如图，已知直三棱柱 中, 26（1）求 的长（2）若 ，求二面角 的余弦值【答案】(1) .(2) .2715已知等腰直角 分别为 的中点，将 沿 折到 的位置,取线段 的中点为 .28(I)求证: /平面 ;()求二面角 的余弦值【答案】(1)见解析.（2） .【解析】 (1)证明：取 中点 ，连接又四边形 为平行四边形293016如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为梯形， ， ，且， .（1）求二面角 的大小；（2）在线段 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 的长；若不存在，说明理由.【答案】 （1） ；（2） .【解析】
