1、1第二章 检测试题(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分)1.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)在斜率为 k的直线上,若|AB|=a,则|y 2-y1|等于( D )(A)a (B)(C)|ak| (D)解析:设 AB的方程为 y=kx+b,则 y1=kx1+b,y2=kx2+b.所以 a=|AB|= |y2-y1|,所以|y 2-y1|= .故选 D.2.将直线 y=3x绕原点逆时针旋转 90,再向右平移一个单位,所得的直线的方程为( A )(A)y=- x+ (B)y=- x+1(C)y=3x-3 (D)y= x+1解析:由
2、于旋转后得到的直线与原直线互相垂直,故所得直线斜率为- ,直线的方程为 y=- x,再向右平移 1个单位,得 y=- (x-1).故选 A.3.已知 A(-4,2,3)关于 xOz平面的对称点为 A1,A关于 z轴的对称点为 A2,则|A 1A2|等于( A )(A)8 (B)12(C)16 (D)19解析:由题可知 A1(-4,-2,3),A2(4,-2,3),所以|A 1A2|= =8.故选 A.24.直线 x+ y=0绕原点按顺时针方向旋转 30所得直线与圆(x-2) 2+ y2=3的位置关系是( A )(A)直线与圆相切(B)直线与圆相交但不过圆心(C)直线与圆相离(D)直线过圆心解析
3、:直线 x+ y=0的斜率为- ,倾斜角为 150,绕原点按顺时针方向旋转 30,所得直线的倾斜角为 120,斜率为- ,所以直线方程为 x+y=0.圆(x-2) 2+y2=3的圆心(2,0)到直线 x+y=0的距离 d= = =r,所以直线与圆相切.故选 A.5.圆 x2+y2+2x+4y+3=0的切线在 x轴、y 轴上的截距的绝对值相等,则这样的切线有( D )(A)3条 (B)4条(C)5条 (D)6条解析:因为圆的圆心坐标为(-1,-2),半径 r= ,可得符合条件的直线有 6条.故选 D.6.已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,
4、N分别是圆 C1,圆 C2上的动点,P为 x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A )(A)5 -4 (B) -1(C)6-2 (D)解析:两圆的圆心均在第一象限,作点 C1关于 x轴的对称点 C 1(2,-3),则(|PC 1|+|PC2|)min=|C 1C2|=5 ,所以(|PM|+|PN|) min=5 -(1+3)= 5 -4.故选 A.7.过直线 y=2x上一点 P作圆 M:(x-3)2+(y-2)2= 的两条切线 l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线 y=2x对称时,则APB 等于( C )(A)30 (B)45 (C)60 (D)90解析:过圆 M的圆心
5、 M(3,2)向直线 y=2x作垂线,设垂足为 N,易知当点 P与点 N重合时,直线l1与 l2关于直线 y=2x对称,此时|MP|= = .又因为圆 M的半径长为 ,所以sinMPA= ,则MPA=30,故APB= 60.8.已知圆 C的半径为 2,圆心在 x轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0与圆 C相切,则圆 C的方程3为( D )(A)x2+y2-2x-3=0 (B)x2+y2+4x=0(C)x2+y2+2x-3=0 (D)x2+y2-4x=0解析:设圆 C的方程为(x-a) 2+y2=4(a0),由已知得 =2.解得 a=2或 a=- (舍去).故选 D.9.若点 P(x,y)在圆
6、 x2+y2+4x+3=0上,则 的最大值为( A )(A) (B)(C)- (D)-解析: 表示圆上的点与原点连线的斜率,设 =k,y=kx,即 kx-y=0,当直线与圆相切时 k值最大或最小,此时 =1,k= .故选 A.10.已知:直线 ax+by+c=0(abc0)与圆 x2+y2=1相切,则以|a|,|b|, |c|为三边长的三角形为( B )(A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)不存在解析:因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,d= =1,即 a2+b2=c2,故以|a|,|b|,|c|为三边长的三角形为直角三角形.故选 B.二、填空题(本大题共 5小
7、题,每小题 5分,共 25分)411.已知两圆(x+1) 2+(y-1)2=r2和(x-2) 2+(y+2)2=R2相交于 P,Q两点,若点 P的坐标为(1,2),则点 Q的坐标为 . 解析:由两圆的方程,可知它们的圆心坐标分别为(-1,1),(2,-2),则过两圆圆心的直线方程为 = ,即 y=-x.根据圆的几何性质,可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称,故点 P与点 Q关于直线 y=-x对称.又因为 P(1,2),所以 Q(-2,-1).答案:(-2,-1)12.已知 A(1,0),B(3,2),C(0,4),点 D满足 ABCD,且 ADBC,则点 D的坐标为 .解析:设 D(x,y
8、),因为 kAB= =1,kBC= =- ,kCD= ,kAD= ,由 ABCD,ADBC,得kABkCD=-1,kAD=kBC,所以 解得 所以 D(10,-6).答案:(10,-6)13.由直线 y=x+1上的点向圆(x-3) 2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为 . 解析:若使切线长最小,则直线上的点到圆心的距离 d最小,又 dmin= =3 ,此时切线长为 = .答案:14.若直线 x+y+m=0上存在点 P可作圆 O:x2+y2=1的两条切线 PA,PB,切点为 A,B,且APB=60,则实数 m的取值范围为 . 解析:若APB=60,则|OP|=2,直线 x+y+m=0上
9、存在点 P可作圆 O: x2+y2=1的两条切线PA,PB,由圆心到直线的距离公式可得 2,解得 m-2 ,2 .答案:-2 ,2 15.已知 p+2q-1=0,则直线 px-3y+q=0恒过定点 A的坐标为 . 解析:直线方程可化为(1-2q)x-3y+q=0,即:(x-3y)-q(2x-1)=0.若直线过定点,则有5所以 所以 A( , ).答案:( , )三、解答题(本大题共 6小题,共 75分)16.(本小题满分 12分)试在坐标平面 yOz内的直线 2y-z=1上确定一点 P,使 P到 Q(-1,0,4)的距离最小.解:因为点 P在 yOz平面内,所以可设 P(0,y,2y-1),由
10、两点间的距离公式得|PQ|= .显然当 y=2时,|PQ|取最小值 ,这时点 P(0,2,3).17.(本小题满分 12分)已知过点 A(0,1)且斜率为 k的直线 l与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1交于 M,N两点.求 k的取值范围.解:由题设,可知直线 l的方程为 y=kx+1.因为直线 l与圆 C交于两点,所以 0且直线 l与圆 C相切,求圆 C关于直线 l的对称圆 C的 方程.解:(1)因为圆 C:(x+2)2+(y-2a)2=( )2,又 a= ,所以圆心 C为(-2,3),直线 l:3x+2y+6=0,圆心 C到直线 l的距离d= = ,所以|AB|=2 = .(2)将 y
11、=-ax-2a代入圆 C的方程化简得(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0(*),所以 =4(1+2a 2)2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,因为 a0,所以 a= ,所以此时圆心 C为(-2,2 ),方程(*)的解为 x=- ,所以切点坐标为(- , ),根据圆关于切线对称的性质可知切点为 CC的中点,故圆心 C的坐标为(-5, ),所以圆C的方程为(x+5)2+(y- )2=3.21.(本小题满分 14分)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P的动直线 l与圆 C交于 A,B两点,线段 AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求 M的
12、轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求 l的方程及POM 的面积.8解:(1)圆 C的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4,设 M(x,y),则 =(x,y-4),=(2-x,2-y),由题设知 =0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,则(x-1) 2+(y-3)2=2.由于点 P在圆 C内部,所以 M的轨迹方程是(x-1) 2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知 M的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故 O在线段 PM的垂直平分线上,又 P在圆 N上,从而 ONPM.因为 ON的斜率为 3,所以 l的斜率为- ,故 l的方程为 y=- x+ .又|OM|=|OP|=2 ,O到 l的距离为 ,|PM|= ,所以POM 的面积为 .
