1、1专题突破练 15 空间中的平行与几何体的体积1.如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长均为 2, B1BA= ,M,N分别为 A1C1与 B1C的中点,且侧面 ABB1A1底面 ABC.(1)证明: MN平面 ABB1A1;(2)求三棱柱 B1-ABC的高及体积 .2.(2018河北武邑中学质检一,文 18)如图,四棱锥 V-ABCD中,底面 ABCD是边长为 2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形, E为 AB的中点 .(1)在侧棱 VC上找一点 F,使 BF平面 VDE,并证明你的结论;(2)在(1)的条件下求三棱锥 E-BDF的体积 .23.如图,在四棱锥 P-
2、ABCD中, ABC= BAD=90,BC=2AD, PAB与 PAD都是边长为 2的等边三角形, E是 BC的中点 .(1)求证: AE平面 PCD;(2)求四棱锥 P-ABCD的体积 .4.(2018辽宁抚顺一模,文 18)如图,在四棱锥 P-ABCD中, PD平面 ABCD,底面 ABCD为梯形,AB CD, BAD=60,PD=AD=AB=2,CD=4,E为 PC的中点 .(1)证明: BE平面 PAD;(2)求三棱锥 E-PBD的体积 .35.(2018全国卷 2,文 19)如图,在三棱锥 P-ABC中, AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为 AC的中点 .(1)证明:
3、 PO平面 ABC;(2)若点 M在棱 BC上,且 MC=2MB,求点 C到平面 POM的距离 .6.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AA1平面 ABC,点 M是棱 CC1的中点 .(1)在棱 AB上是否存在一点 N,使 MN平面 AB1C1?若存在,请确定点 N的位置 .若不存在,请说明理由;(2)当 ABC是等边三角形,且 AC=CC1=2时,求点 M到平面 AB1C1的距离 .47.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB平面 BCC1B1, BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D为 CC1的中点 .(1)求证: DB1平面 ABD;(2)求点 A1到平面 ADB1
4、的距离 .8.(2018百校联盟四月联考,文 19)如图,在几何体 ABCDEF中,底面 CDEF是平行四边形,AB CD,AB=1,CD=2,DE=2 ,DF=4,DB=2,DB平面 CDEF,CE与 DF交于点 O.(1)求证: OB平面 ACF;(2)求三棱锥 B-DEF的表面积 .5参考答案专题突破练 15 空间中的平行与几何体的体积1.(1)证明 取 AC的中点 P,连接 PN,PM. 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中, M,N分别为 A1C1与 B1C的中点,PN AB1,PM AA1.PM PN=P,AB1 AA1=A,PM,PN平面 PMN,AB1,AA1平面 AB1A1,
5、平面 PMN平面 AB1A1.MN 平面 PMN,MN 平面 ABB1A1.(2)解 设 O为 AB的中点,连接 B1O,由题意知 B1BA是正三角形,则 B1O AB. 侧面 ABB1A1底面 ABC,且交线为 AB,B 1O平面 ABC, 三棱柱 B1-ABC的高B1O= AB1= .S ABC= 22sin 60= , 三棱柱 B1-ABC的体积 V= S ABCB1O= =1.2.解 (1) F为 VC的中点 .取 CD的中点 H,连接 BH,HF,6ABCD 为正方形, E为 AB的中点,BE DH,BH DE.FH VD, 平面 BHF平面 VDE.BF 平面 VDE.(2)F 为
6、 VC的中点, S BDE= S 正方形 ABCD,V E-BDF=VF-BDE= VV-ABCD.V-ABCD 为正四棱锥, V 在平面 ABCD内的射影为 AC的中点 O,VA= ,AO= ,VO= .V V-ABCD= 22 ,V E-BDF= .3.(1)证明 ABC= BAD=90,AD BC.BC= 2AD,E是 BC的中点,AD=CE , 四边形 ADCE是平行四边形,AE CD.又 AE平面 PCD,CD平面 PCD,AE 平面 PCD.(2)解 连接 DE,BD,设 AE BD=O,连接 OP,则四边形 ABED是正方形,O 为 BD的中点 . PAB与 PAD都是边长为 2
7、的等边三角形,BD= 2 ,OB= ,OA= ,PA=PB=2,OP OB,OP= ,OP 2+OA2=PA2,即 OP OA.又OA平面 ABCD,BD平面 ABCD,OA OB=O,7OP 平面 ABCD.V P-ABCD= S 梯形 ABCDOP= (2+4)2 =2 .4.(1)证明 设 F为 PD的中点,连接 EF,FA.因为 EF为 PDC的中位线,所以 EF CD,且 EF= CD=2.又 AB CD,AB=2,所以 AB EF,故四边形 ABEF为平行四边形,所以 BE AF.又 AF平面 PAD,BE平面 PAD,所以 BE平面 PAD.(2)解 因为 E为 PC的中点,所以
8、三棱锥 VE-PBD=VE-BCD= VP-BCD.又 AD=AB, BAD=60,所以 ABD为等边三角形 .因此 BD=AB=2.又 CD=4, BDC= BAD=60,所以 BD BC,因为 PD平面 ABCD,所以三棱锥 P-BCD的体积 VP-BCD= PDS BCD= 2 22 .所以三棱锥E-PBD的体积 VE-PBD= .5.解 (1)因为 AP=CP=AC=4,O为 AC的中点,所以 OP AC,且 OP=2 .连接 OB,因为 AB=BC= AC,所以 ABC为等腰直角三角形,且 OB AC,OB= AC=2.由 OP2+OB2=PB2知, OP OB.由 OP OB,OP
9、 AC知 PO平面 ABC.(2)作 CH OM,垂足为 H.又由(1)可得 OP CH,所以 CH平面 POM.故 CH的长为点 C到平面 POM的距离 .由题设可知 OC= AC=2,CM= BC= , ACB=45.所以 OM= ,CH=8.所以点 C到平面 POM的距离为 .6.解 (1)在棱 AB上存在中点 N,使 MN平面 AB1C1,证明如下:设 BB1的中点为 D,连接 DM,NM,ND,因为点 M,N,D是 CC1,AB,BB1的中点,所以 ND AB1,DM B1C1,所以 ND平面 AB1C1,DM平面 AB1C1.又 ND DM=D,所以平面 NDM平面 AB1C1.因
10、为 MN平面 NDM,所以 MN平面 AB1C1.(2)因为 MN平面 AB1C1,所以点 M到平面 AB1C1的距离与点 N到平面 AB1C1的距离相等 .又点 N为 AB的中点,所以点 N到平面 AB1C1的距离等于点 B到平面 AB1C1的距离的一半 .因为 AA1平面 ABC,所以 AB1=AC1=2 ,所以 AB1C1的底边 B1C1上的高为.设点 B到平面 AB1C1的距离为 h,则由 ,得2 2 h,可得 h= ,故点 M到平面 AB1C1的距离为 .7.(1)证明 在四边形 BCC1B1中,BC=CD=DC 1=1, BCD= ,BD= 1.B 1D= ,BB1=2,B 1D
11、BD.AB 平面 BCC1B1,AB DB1,DB 1平面 ABD.(2)解 对于四面体 A1ADB1,A1到直线 DB1的距离即为 A1到平面 BB1C1C的距离, A1到 DB1的距离为 2.设 A1到平面 ADB1的距离为 h, ADB1为直角三角形, ADDB1=, h= h. 22=2,D到平面 AA1B1的距离为 ,9 2 . , ,解得 h= . 点 A1到平面 ADB1的距离为 .8.(1)证明 取 CF中点 G,连接 AG,OG,在 CDF中, O是 DF的中点, G是 CF的中点,OG CD,OG= CD,又 AB CD,AB=1,CD=2,OG AB,OG=AB, 四边形
12、 ABOG为平行四边形,OB AG,AG 平面 ACF,OB平面 ACF,故 OB平面 ACF.(2)解 由 EF=CD=2,DE=2 ,DF=4,可得 EF2+DF2=DE2,所以 EF DF. DEF的面积 S1= DFEF= 42=4.由 DB平面 CDEF,DF平面 CDEF,DE平面 CDEF,EF平面 CDEF,可得BD DF,BD DE,BD EF, BDF的面积 S2= BDDF= 24=4, BDE的面积S3= BDDE= 22 =2 ,由 EF DF,EF BD,BD DF=D,可得 EF平面 BDF.又 BF平面 BDF,所以 EF BF.BF= =2 , BEF的面积 S4= BFEF= 2 2=2 , 三棱锥 B-DEF的表面积 S=S1+S2+S3+S4=8+4 .
