1、11.3.3 导数的实际应用课后训练1以长为 10 的线段 AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A10 B15 C25 D502某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加 100元，已知总收益 R 与年产量 x 的关系是2140,40,8xxR则总利润最大时，每年的产量是( )A100 B150 C200 D3003要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高为( )A cm B 103cmC 163cm D 2cm4设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为( )A 3V B 32 C 34
2、D 325要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为 72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的长为_，宽为_，高为_时，可使表面积最小6在半径为 r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为_时它的面积最大7某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为 200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 m，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价8如图，在直线 y0 和 y a(a0)之间表示的是
3、一条河流，河流的一侧河岸( x 轴)是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往，家住 A(0， a)的某学生在位于公路上 B(d,0)(d0)处的学校就读，每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上 B(d,0)处的学校，已知船速为 v0(v00)，车速为 2v0(水流速度忽略不计)2(1)若 d2 a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；(2)若 ，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间3参考答案1. 答案：C2. 答案：D 由题意，总成本为 C20 000100 x.所以总利润为 P R C21400,
4、40,8xx则 3,4,10Px令 P0，得 x300，易知当 x300 时，总利润最大3. 答案：D 设圆锥的高为 x，则底面半径为 20x，其体积为 V 13 x(202 x2)(0 x20)，V (4003 x2)，令 V0，解得 10x， 23(舍去)当 0 x 3时， V0；当 x20 时， V0，所以当 x 203时，V 取最大值4. 答案：C 设底面边长为 x，则表面积 S 32x2 4V(x0)，S 23x(x34 V)，令 S0，得唯一极值点 34xV .5. 答案：6 cm 3 cm 4 cm 设底面两邻边的长分别为 x cm，2 x cm，高为 y cm，则722 x2y
5、，所以 276，所以表面积 S2(2 x2 xy2 xy)4 x26 xy4 x21.则 S8 x 1，令 S0，得 x3.所以长为 6 cm，宽为 3 cm，高为 4 cm 时表面积最小6. 答案： 32r 如图，设 OBC ，则 0 2， OD rsin ， BD rcos .4 S ABC rcos (r rsin ) r2cos r2sin cos .令 S ABC r2sin r2(cos2 sin 2 )0.得 cos 2 sin .又 0 ， 6，当 6时， ABC 的面积最大，即高为 OA OD 3+2r时面积最大7. 答案： 分析：设矩形一边长为 x m，从而得到总造价关于边
6、长 x 的函数关系式，由实际问题求定义域，在定义域的限制条件下求最值解：设矩形污水处理池的长为 x m，宽为 20xm，据题意16,20x解得102 x16， y 20x400 40x24820080800 x 59 16000( 1 x16)，令 y 800 259 0x0，得x18，当 x (0,18)时，函数为减函数；当 x (18，)时，函数为增函数因此在定义域内函数为减函数，当且仅当长为 16 m，宽为 12.5 m 时，总造价 y 最低，为 45 000元8. 答案：分析：首先要选取适当的变量，表示出从家到达学校所用的时间，通过求该函数的导数，进而求出函数的最小值解：(1)设该学生
7、从家出发，先乘船渡河到达公路上的某一点 P(x,0)(0 x d)，再乘公交车到学校，所用的时间为 t，则t f(x)200adxv(0 x d)， f (x) 20011v 201xva.令 f (x)0，得 3a.当 0 x 时， f (x)0；5当 3a x d 时， f (x)0.当 3x时，所用的时间最短，最短时间为20013adatvv.当 d2 a 时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间为 012.(2)由(1)的讨论可知，当 2ad 时， t f(x)在 0,a上是减函数，所以当 2ax时，该学生直接乘船渡河到达学校上学，所用的时间最短，最短时间为 t2014av 052av.
