1、1小题对点练(五) 立体几何(1)(建议用时：40 分钟)一、选择题1如图 2，四棱锥 PABCD中， M， N分别为 AC， PC上的点，且 MN平面 PAD，则( )图 2A. MN PD B. MN PAC. MN AD D. 以上均有可能B 因为 MN平面 PAD，平面 PAC平面 PAD PA， MN平面 PAC，所以 MN PA.故选 B.2(2018成都模拟)一个棱锥的三视图如图 3所示，其中侧视图为边长为 1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是( )图 3A. B1 C. D.34 2 74D 由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为 ABCD为边长为 1的正方形， PAD是
2、边长为 1的等边三角形， PO垂直于 AD于点 O，其中 O为 AD的中点，由四棱锥的直观图可知，四棱锥侧面中最大侧面是 PBC， PB PC ， BC1，面积是 1 .212 2 14 743设 ， 是两个不同的平面， l是一条直线，以下命题正确的是( )A若 l ， ，则 l B若 l ， ，则 l 2C若 l ， ，则 l D若 l ， ，则 l B 若 l ， ，则 l 或 l ，故 A错误；若 l ， ，由平面平行的性质，我们可得 l ，故 B正确；若 l ， ，则 l 或 l ，故 C错误；若 l ， ，则 l 或 l 或 l ，故 D错误；故选 B.4在正四棱柱 ABCDA1B1
3、C1D1中， AA12 AB4，则点 A1到平面 AB1D1的距离是( )A1 B. C. D243 169B 设点 A1到平面 AB1D1的距离为 h，因为 VA1AB1D1 VAA1B1D1，所以 S13AB1D1h S A1B1D1AA1，所以13h ，故选 B.S A1B1D1AA1S AB1D112224122242 22 2 2 435(2018大庆实验中学模拟)四棱锥 PABCD的三视图如图 4所示，四棱锥 PABCD的五个顶点都在一个球面上， E， F分别是棱 AB， CD的中点，直线 EF被球面所截得的线段长为 2 ，则该球的表面积为 ( )2图 4A. 12 B. 24 C
4、. 36 D. 48A 四棱锥 PABCD中 PA面 ABCD，且 ABCD为正方形，球心为 PC中点，因为PA AB a， PC a2 R，所以 R2 2( )2R2 2( )3 (a2) 2 (R3) 22R23， S 4 R212，选 A.6祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” “幂”是截面积， “势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等已知某不规则几何体与如图 5所示的几何体满足“幂势同” ，则该不规则几何体的体积为( )3图 5A. B. C3 D6165 325B 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个
5、三棱锥，其直观图如下图：其底面是底和高分别为 5， 的三角形，高为 ，则该三棱锥的体积为125 42 (125)2 165V 5 ，从而该不规则几何体的体积为 .13 12 125 165 325 3257已知 ABC的三个顶点在以 O为球心的球面上，且 AB2， AC4， BC2 ，三棱5锥 OABC的体积为 ， 则球 O的表面积为( )83A. 22 B. C. 24 D. 36743D ABC中， AB2， AC4， BC2 ，由勾股定理可知斜边 BC中点 O就是 ABC5的外接圆的圆心，三棱锥 OABC的体积为 ， 24OO ，83 13 12 83 OO2，球的半径 R 3，所以球
6、O的表面积为22 5 24 R24936.故选 D.8已知在四棱锥 PABCD中， ABCD是矩形， PA平面 ABCD，则在四棱锥 PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有( )A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对C 因为 ABCD是矩形， PA平面 ABCD，所以PA BC， PA CD， AB PD， BD PA， AD PB.共 5对9某几何体的三视图如图 6所示，记 A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则( )4图 6A3 A B5 AC2 A D4 A6 3D 由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为 4的正方形，AF平面 ABCD， AF
7、 DE， AF2， DE4，可求得 BE的长为 4 ， BF的长为 2 ， EF的长3 5为 2 ， EC的长为 4 ，故选 D.5 210在四棱锥 PABCD中，四条侧棱长均为 2，底面 ABCD为正方形， E为 PC的中点若异面直线 PA与 BE所成的角为 45，则该四棱锥的体积是( )A4 B2 C. D.343 233D 连接 AC和 BD相交于点 O，连接 OE(图略)，则 OE PA，则 OEB45，又 EOB90，则 BO OE1，底面正方形的边长为 ，四棱锥的高为 ，则体积为 ( )2 313 22 ，故选 D.323311如图 7，在正四棱锥 SABCD中， E， M， N分
8、别是 BC， CD， SC的中点动点 P在线段 MN上运动时，下列四个结论：图 75 EP AC； EP BD； EP平面 SBD； EP平面 SAC，其中恒成立的为( )A BC DA 如图所示，设 AC、 BD相交于点 O，连接 SO， EM， EN.对于，由 SABCD是正四棱锥，可得 SO底面 ABCD， AC BD， AC平面ABCD， SO AC. SO BD O， AC平面 SBD， E， M， N分别是 BC， CD， SC的中点， EM BD， MN SD，而 EM MN M， SD BD D， SD， BD平面 SBD， MN， EM平面 EMN，平面 EMN平面 SBD，
9、 AC平面 EMN， EP平面 EMN， AC EP.故正确对于，易知 EP与 BD是异面直线，因此不正确对于，由可知平面 EMN平面 SBD， EP平面 EMN， EP平面 SBD，因此正确对于，由同理可得 EM平面 SAC，若 EP平面 SAC，则 EP EM，与 EP EM E相矛盾，因此当 P与 M不重合时， EP与平面 SAC不垂直即不正确故选 A.12如图 8，在 ABC中， AB BC ， ABC90，点 D为 AC的中点，将 ABD沿6BD折起到 PBD的位置，使 PC PD，连接 PC，得到三棱锥 PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )图 8A.
10、 7 B. 5 C. 3 D. A 依题意可得该三棱锥的面 PCD是边长为 的正三角形，且 BD平面 PCD，设三棱3锥 PBDC外接球的球心为 O， PCD外接圆的圆心为 O1，则 OO1平面 PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由 BD ， O1D1，及 OB OD，可得 OB ，则外接球的半径 R .372 72所以该球的表面积 S 球 4 R27.6二、填空题13某三棱锥的三视图如图 9所示，则该三棱锥的全面积是_图 942 三棱锥的直观图如图所示：由三视图可知 PO平面 ABC， OC平面 PAB，且6OP OC2， OB OA1， PA PB ， AC BC ， PCPO2 O
11、A2 5 OB2 OC2 52 ， S PAB S CAB2， S PAC S PBC ， 全面积为 42 .PO2 OC2 2 6 614如图 10所示，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 a(L)水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果将容器倒置，水面也恰好过点 P(如图 10所示)有下列四个命题：正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 P；图 10 图 10任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 P；若往容器内再注入 a(L)水，则容器恰好能装满其中真命题是_ 易知所盛水的体积为容器容积的一半，故正确，于是错
12、误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点 P，故正确；的错误可这样推出：将图中容器的位置向右边倾斜一些，可推知点 P将露出水面715如图 11，三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都是 ，且顶点 A1在底面 ABC上的射影 O2为 ABC的中心，则三棱锥 A1ABC的体积为_图 11由题意可知，底面三角形 ABC为正三角形，13由 O为 ABC的中心，可知 O为 ABC的外心，则 OA为底面高的 ，23底面三角形的边长为 ，2底面三角形的高为 ， 2 2 (22)2 62 OA ，63在 Rt A1AO中，由 A1A ， OA ，263得 OA1 ， 2 2 (63)2 233三棱锥 A1
13、ABC的体积为 .13 12 2 62 233 1316将正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二面角 ABDC, 在正方形 ABCD中， AC BD O有如下四个结论： AC BD； ACD是等边三角形； AB与 CD所成的角为 90，取 BC中点 E，则 AEO为二面角 ABCD的平面角其中正确结论是_(写出所有正确结论的序号) 如图所示，取 BD中点 E，则 AE BD， CE BD，所以 BD平面 AEC，从而可得 AC BD，故正确；设正方形 ABCD边长为 1，则 AE EC ，22所以 AC 1，又因为 AD CD1，所以 ACD是等边三角形，故正确；AE2 CE2分别取 BC， AC的中点为 M， N，连接 ME， NE， MN，8则 MN AB，且 MN ， ME CD，12且 ME ，则 EMN是异面直线 AB， CD所成的角12在 Rt AEC中， AE CE ， AC1，22 NE .12则 MEN是正三角形，故 EMN60，错误；图 图如图所示，由题意可得： AB AC，则 AE BC，由 BE EC， BO OD， BC CD可得 OE BC，据此可知： AEO为二面角 ABCD的平面角，说法正确
