1、1第二讲 数列的综合应用一、选择题1已知数列 an满足 a15， anan1 2 n，则 ( )a7a3A2 B4C5 D.52解析：因为 2 2，所以令 n3，得an 1an 2an 3an 4anan 1an 2an 3 an 4an 2n 12n 32n2n 22 24，故选 B.a7a3答案：B2在数列 an中， a11， a22， an2 an1(1) n，那么 S100的值为( )A2 500 B2 600C2 700 D2 800解析：当 n为奇数时， an2 an0 an1，当 n为偶数时， an2 an2 an n，故 anError!于是 S10050 2 600. 2 1
2、00 502答案：B3(2018海淀二模)在数列 an中， “an2 an1 ， n2,3,4，”是“ an是公比为2的等比数列”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当 an0 时，也有 an2 an1 ， n2,3,4，但 an不是等比数列，因此充分性不成立；当 an是公比为 2的等比数列时，有 2， n2,3,4，即anan 1an2 an1 ， n2,3,4，所以必要性成立答案：B4若数列 an满足 a115，且 3an1 3 an2，则使 akak1 0 的 k值为( )2A22 B21C24 D23解析：因为 3an1 3 an2，所以 an
3、1 an ，所以数列 an是首项为 15，公差为23 的等差数列，所以 an15 (n1) n ，令 an n 0，得 n23.5，23 23 23 473 23 473所以使 akak1 0 的 k值为 23.答案：D5已知数列 an满足 a11， an1 Error!则其前 6项之和为( )A16 B20C33 D120解析： a22 a12， a3 a213， a42 a36， a5 a417， a62 a514，所以前6项和 S6123671433，故选 C.答案：C6已知等差数列 an的公差为 d，关于 x的不等式 dx22 a1x0 的解集为0,9，则使数列 an的前 n项和 Sn
4、最大的正整数 n的值是( )A4 B5C6 D7解析：关于 x的不等式 dx22 a1x0 的解集为0,9，0,9 是一元二次方程dx22 a1x0 的两个实数根，且 d0， 9， a1 . an a1( n1) d( n2a1d 9d2)d，可得 a5 d0， a6 d0.使数列 an的前 n项和 Sn最大的正整数 n的值是 5.112 12 12答案：B7(2018湘中名校联考)若 an是等差数列，首项 a10， a2 016 a2 0170， a2 016a2 0170，则使前 n项和 Sn0 成立的最大正整数 n是( )A2 016 B2 017C4 032 D4 033解析：因为 a
5、10， a2 016 a2 0170， a2 016a2 0170，所以 d0， a2 0160， a2 0170，所以 S4 032 0， S4 0334 032 a1 a4 0322 4 032 a2 016 a2 01724 033a2 0170，所以使前 n项和 Sn0 成立的最大正整数 n是 4 4 033 a1 a4 0332032.答案：C8已知数列 an， “|an1 | an”是“数列 an为递增数列”的( )3A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：| an1 | an，Error!或Error!又数列 an为递增数列， an1 an，“|
6、 an1 | an”是“数列 an为递增数列”的既不充分也不必要条件答案：D二、填空题9(2018沈阳模拟)在数列 an中， a11， a22， an1 3 an2 an1 (n2)，则an_.解析：法一：因为 an1 3 an2 an1 (n2)，所以 2( n2)，所以an 1 anan an 1an1 an( a2 a1)2n1 2 n1 (n2)，又 a2 a11，所以an an1 2 n2 ， an1 an2 2 n3 ， a2 a11，累加，得 an2 n1 (nN *)法二：因为 an1 3 an2 an1 (n2)，所以 an1 2 an an2 an1 ，得an1 2 an
7、an2 an1 an1 2 an2 a22 a10，即 an2 an1 (n2)，所以数列 an是以 1为首项，2 为公比的等比数列，所以 an2 n1 (nN *)答案：2 n1 (nN *)10(2018辽宁五校联考)设数列 an的前 n项和为 Sn，若 a13 且当 n2 时，2an SnSn1 ，则 an的通项公式 an_.解析：当 n2 时，由 2an SnSn1 可得 2(Sn Sn1 ) SnSn1 ， ，1Sn 1 1Sn 12即 ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，1Sn 1Sn 1 12 1Sn 13 12 ( )(n1) ， Sn .当 n2 时， an SnSn1
8、1Sn 13 12 5 3n6 65 3n 12 12 65 3n ，又 a13， anError!65 3 n 1 18 5 3n 8 3n答案：Error!11(2018广州调研)已知数列 an满足 a11， an1 a an，用 x表示不超过 x2n的最大整数，则 _.1a1 1 1a2 1 1a2 017 1解析：因为 an1 a an，2n所以 ，1an 1 1an an 1 1an 1an 1即 ，1an 1 1an 1an 1于是4 .1a1 1 1a2 1 1a2 017 1 (1a1 1a2) (1a2 1a3) ( 1a2 017 1a2 018) 1a1 1a2 018因
9、为 a11， a221， a361，可知 (0,1)，则 (0,1)，1a2 018 1a1 1a2 018所以 0.1a1 1a2 018答案：012已知数列 an满足 a140，且 nan1 ( n1) an2 n22 n，则 an取最小值时 n的值为_解析：由 nan1 ( n1) an2 n22 n2 n(n1)，两边同时除以 n(n1)，得 2，an 1n 1 ann所以数列 是首项为40、公差为 2的等差数列，ann所以 40( n1)22 n42，ann所以 an2 n242 n，对于二次函数 f(x)2 x242 x，在 x 10.5 时， f(x)取得最小值，b2a 424因
10、为 n取正整数，且 10和 11到 10.5的距离相等，所以 n取 10或 11时， an取得最小值答案：10 或 11三、解答题13(2018枣庄模拟)已知方程 anx2 an1 x10( an0)有两个根 n、 n， a11，且满足(1 )(1 )12 n，其中 nN *.1 n 1 n(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bnlog 2(an1)， cn anbn，求数列 cn的前 n项和 Tn.解析：(1)由已知可得， Error!，又(1 )(1 )12 n，1 12 n，1 n 1 n n n n n 1 n n整理得， an1 an2 n，其中 nN *. an( an an1
11、 )( an1 an2 )( a3 a2)( a2 a1) a12 n1 2 n2 2 221 2 n1.1 2n1 25(2)由(1)知， bnlog 2(2n11) n， cn n(2n1) n2n n.T n c1 c2 cn1222 232 3 n2n(12 n)，设 Pn1222 232 3 n2n，则 2Pn12 222 332 4( n1)2 n n2n1 ，得 Pn22 22 32 n n2n1 n2n1 (1 n)2 1 2n1 22n1 2， Pn( n1)2 n1 2.又 Qn12 n ，n n 12T n Pn Qn( n1)2 n1 2 .n n 1214(2018九
12、江一中模拟)设等差数列 an的前 n项和为 Sn， a223 a72，且 ，1a2， S3成等比数列， n N*.S2 3(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn ，数列 bn的前 n项和为 Tn，若对于任意的 nN *，都有4 n 1a2na2n 264Tn|3 1|成立，求实数 的取值范围解析：(1)设等差数列 an的公差为 d，由Error! 得Error!，即Error! ，解得Error! 或Error!.当 a1 ， d 时， 没有意义，25 25 S2 3 175 a12， d2，此时 an22( n1)2 n.(2)bn 4 n 1a2na2n 2 n 14 n 2 2n2 1161n2 1 n 2 2Tn b1 b2 b3 bn ( ) ( ) ( )116112 132 116122 142 116132 152 116 1 n 1 2 1 n 1 2 1161n2 1 n 2 2 1 116 14 1 n 1 2 1 n 2 26 ，564 116 1 n 1 2 1 n 2 264 Tn54 5，1 n 1 2 1 n 2 2为满足题意，只需|3 1|5， 2 或 .43
