1、1第6课时 空间向量及运算1已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 a ，向量 b ，则与 a， b不能构成OA OB OC OA OB OC 空间基底的向量是( )A. B.OA OB C. D. 或OC OA OB 答案 C解析 根据题意得 (a b)， ， a， b共面OC 12 OC 2有4个命题：若 px ay b，则 p与 a， b共面；若 p与 a， b共面，则 px ay b；若 x y ，则P，M，A，B共面；MP MA MB 若P，M，A，B共面，则 x y .MP MA MB 其中真命题的个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解析 正确，中若 a， b共线， p
2、与 a不共线，则 px ay b就不成立正确中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则 x y 不正确MP MA MB 3从点A(2，1，7)沿向量 a(8，9，12)的方向取线段长|AB|34，则B点坐标为( )A(18，17，17) B(14，19，17)C(6， ，1) D(2， ，13)72 112答案 A解析 设B点坐标为(x，y，z)，则 a(0)，即(x2，y1，z7)(8，9，12)AB 由| |34，即 34，得2.AB 264 281 2144x18，y17，z17.4(2018吉林一中模拟)如图，空间四边形ABCD中，若向量 (3，5，2)， (AB CD 7，1，4)，点
3、E，F分别为线段BC，AD的中点，则 的坐标为( )EF A(2，3，3) B(2，3，3)C(5，2，1) D(5，2，1)2答案 B解析 取AC中点M，连接ME，MF， ( ， ，1)， ( ， ，2)，而 (2，3ME 12AB 32 52 MF 12CD 72 12 EF MF ME ，3)，故选B.5(2017上海奉贤二模)已知长方体ABCDA 1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是( )A. B. AD1 B1C BD1 AC C. D. AB AD1 BD1 BC 答案 D解析 当侧面BCC 1B1是正方形时可得 0，所以排除A.当底面ABCD是正方形时AC垂直于对角面B
4、D 1，所以排除AD1 B1C B，显然也排除C.由题图可得BD 1与BC所成的角小于90.故选D.6已知两个非零向量 a(a 1，a 2，a 3)， b(b 1，b 2，b 3)，它们平行的充要条件是( )A. Ba 1b1a 2b2a 3b3a|a| b|b|Ca 1b1a 2b2a 3b30 D存在非零实数k，使 ak b答案 D解析 应选D，首先排除B，C项表示 a b，A项表示与 a， b分别平行的单位向量，但两向量方向相反也叫平行7正方体ABCDA 1B1C1D1的棱长为a，点M在AC 1上，且 ，N为B 1B的中点，则| |为( )AM 12MC1 MN A. a B. a216
5、 66C. a D. a156 153答案 A解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C 1(0，a，a)，N(a，a， )，设M(x，y，za2)3点M在AC 1上且 ，AM 12MC1 (xa，y，z) (x，ay，az)12x a，y ，z .23 a3 a3| | a.MN （ a 23a） 2 （ a a3） 2 （ a2 a3） 2 2168.(2018湖南师大附中一模)如图，已知正三棱柱ABCA 1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C所成角的余弦值为( )A. B14 14C. D12 12答案 A解析 如图所示，以A为坐标原点
6、，在平面ABC内过点A作AC的垂线，以此为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA 1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系设正三棱柱ABCA 1B1C1的各条棱长为2，则A(0，0，0)，B 1( ，1，2)，A 13(0，0，2)，C(0，2，0)， ( ，1，2)， (0，2，2)设异面直线AB 1和A 1C所成的角为，则coAB1 3 A1C s .异面直线AB 1和A 1C所成角的余弦值为 .故选A.|AB1 A1C |AB1 |A1C | | 2|8 8 14 149(2018东营质检)已知A(1，0，0)，B(0，1，1)， 与 的夹角为120，则的值为( )OA OB OB A B.66
7、 66C D66 6答案 C4解析 (1，)，OA OB cos120 ，得 . 1 2 22 12 66经检验 不合题意，舍去， .66 6610在正方体ABCDA 1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC 1，AD的中点，则异面直线OE与FD 1所成角的余弦值为( )A. B.105 155C. D.45 23答案 B解析 ( )， ，OE 12AC1 12AB AD AA1 FD1 12AD AA1 ( )( )OE FD1 12AB AD AA1 12AD AA1 ( 2 2) (24)3.1212AB AD AB AA1 12AD AD AA1 12AA1
8、 AD AA1 12而| | ，| | ，OE 12 22 22 22 3 FD1 5cos ， .故选B.OE FD1 315 15511.(2017云南昆明一模)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐标为( )A(1，1，1) B(1，1， )2C(1，1， ) D(2，2， )3 3答案 C12(易错题)已知A(1，1，1)，B(2，3，1)，则与 平行且模为1的向量是_AB 答案 ( ， ， )或( ， ， )13 23 23 1
9、3 23 23解析 (1，2，2)，| |3，所以与 平行且模为1的向量是 ( ， ， )，或 ( ， ， )AB AB AB AB |AB | 13 23 23AB |AB | 13 23 23513已知 a(2，4，x)， b(2，y，2)，且| a|6， a b，则xy的值为_答案 1或3解析 依题意得 解得 或4 4y 2x 0，4 16 x2 36， ) x 4，y 3， ) x 4，y 1. )14设OABC是四面体，G 1是ABC的重心，G是OG 1上的一点，且OG3GG 1，若 x y z ，则(x，yOG OA OB OC ，z)为_答案 ( ， ， )14 14 14解析
10、如图所示，取BC的中点E，连接AE. ( ) OG 34OG1 34OA AG1 34OA 12AE ( ) ( )34OA 14AB AC 34OA 14OB OA OC OA ( )，xyz .14OA OB OC 1415三棱柱ABCA 1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA 1CAA 160，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为_答案 66解析 如图，设 a， b， c，设棱长为1，则 a b， a a c b，因AA1 AB AC AB1 BC1 BC 为底面边长和侧棱长都相等，且BAA 1CAA 160，所以 ab ac bc ，所12以| | ，| | ， ( a
11、b)(a c b)1，设异面直AB1 （ a b） 2 3 BC1 （ a c b） 2 2 AB1 BC1 线的夹角为，所以cos .AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 12 3 6616已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求以 ， 为邻边的平行四边形的面积；AB AC (2)若| a| ，且 a分别与 ， 垂直，求向量 a的坐标3 AB AC 答案 (1)7 (2)(1，1，1)或(1，1，1)3解析 (1)由题意，可得 (2，1，3)， (1，3，2)AB AC cos ， .AB AC AB AC |AB |AC | 2 3 614 14 714
12、12sin ， .AB AC 326以 ， 为邻边的平行四边形的面积为AB AC S2 | | |sin ， 14 7 .12AB AC AB AC 32 3(2)设 a(x，y，z)，由题意得 解得 或x2 y2 z2 3， 2x y 3z 0，x 3y 2z 0. ) x 1，y 1，z 1， ) x 1，y 1，z 1.)向量 a的坐标为(1，1，1)或(1，1，1)17如图，在棱长为a的正方体OABCO 1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A 1FC 1E；(3)若A
13、1，E，F，C 1四点共面，求证： .A1F 12A1C1 A1E 答案 (1)E(a，x，0)，F(ax，a，0) (2)略 (3)略解析 (1)解：E(a，x，0)，F(ax，a，0)(2)证明：A 1(a，0，a)，C 1(0，a，a)， (x，a，a)， (a，xa，a)，A1F C1E axa(xa)a 20，A1F C1E ，A 1FC 1E.A1F C1E (3)证明：A 1，E，F，C 1四点共面， ， ， 共面A1E A1C1 A1F 选 与 为平面A 1C1E的一组基向量，则存在唯一实数对( 1， 2)，使 1 2 ，A1E A1C1 A1F A1C1 A1E 即(x，a，a) 1(a，a，0) 2(0，x，a)(a 1，a 1x 2，a 2)， x a 1，a a 1 x 2， a a 2， )解得 1 ， 21.12于是 .A1F 12A1C1 A1E
