1、1第7课时 空间向量的应用(一) 平行与垂直1(2018广西桂林一中期中)若 a(2，3，m)， b(2n，6，8)，且 a， b为共线向量，则mn的值为( )A7 B.52C6 D8答案 C解析 由 a， b为共线向量，得 ，解得m4，n2，则mn6.故选C.22n 36 m82已知向量 a(2，1，3)， b(1，4，2)， c(7，5，)若 a， b， c三个向量共面，则实数等于( )A. B.627 637C. D.607 657答案 D解析 由题意，得 ct a b(2t，t4，3t2)，所以 解得 故选D.7 2t ，5 t 4 ， 3t 2 ， ) t 337， 177， 657
2、.)3若平面的一个法向量为(1，2，0)，平面的一个法向量为(2，1，0)，则平面和平面的位置关系是( )A平行 B相交但不垂直C垂直 D重合答案 C解析 由(1，2，0)(2，1，0)122(1)000，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直4已知平面内有一个点M(1，1，2)，平面的一个法向量是 n(6，3，6)，则下列点P在平面内的是( )AP(2，3，3) BP(2，0，1)CP(4，4，0) DP(3，3，4)答案 A解析 n(6，3，6)是平面的法向量， n ，在选项A中， (1，4，1)， n 0.MP MP MP 5已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)
3、，则平面ABC的一个单位法向量是( )2A( ， ， ) B( ， ， )33 33 33 33 33 33C( ， ， ) D( ， ， )33 33 33 33 33 33答案 D解析 (1，1，0)， (1，0，1)，AB AC 设平面ABC的一个法向量 n(x，y，z)， x y 0， x z 0.)令x1，则y1，z1， n(1，1，1)单位法向量为： ( ， ， )n|n| 33 33 336已知 (1，5，2)， (3，1，z)，若 ， (x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，yAB BC AB BC BP ，z分别为( )A. ， ，4 B. ， ，4337 157 40
4、7 157C. ，2，4 D4， ，15407 407答案 B解析 ， 0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，又 (3，1，4AB BC AB BC BC )，则 解得（ x 1） 5y 6 0，3（ x 1） y 12 0， ) x 407，y 157.)7已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果 (2，1，4)， (4，2，0)， (1，2，AB AD AP 1)对于结论：APAB；APAD； 是平面ABCD的法向量； .其中正确的是_AP AP BD 答案 解析 0， 0，AB AP AD AP ABAP，ADAP.则正确从而正确，又 (4，2，0)(
5、2，1，4)(2，3，4)BD AD AB . 与 不平行不正确 12 23 AP BD 8(2018甘肃兰州质检)如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_(写出所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN平面DEC；3不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使ECAD.答案 解析 不妨设BCa，CEEDb.折起后CED(00矛盾这样的点P不存在4(2018石家庄市高三一检)如
6、图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为梯形，ADBC，CDBC，AD2，ABBC3，PA4，M为AD的中点，N为PC上的点，且PC3PN.求证：MN平面PAB.证明 方法一：(传统法)如图，在平面PBC内作NHBC交PB于点H，连接AH，在PBC中，NHBC，且NH BC1，AM AD1，13 12又ADBC，NHAM且NHAM，四边形AMNH为平行四边形，MNAH，又AH平面PAB，MN平面PAB，MN平面PAB.方法二：(向量法)在平面ABCD内作AECD交BC于点E，则AEAD.分别以AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则P(0，0，4
7、)，M(0，1，0)，C(2 ，2，0)，N( ， ， )，B(2 ，1，0)，A(0，0，0)，22 23 23 83 2( ， ， )， (0，0，4)， (2 ，1，0)MN 2 23 13 83 AP AB 211设 m n ，MN AB AP ( ， ， )m(2 ，1，0)n(0，0，4)，2 23 13 83 2m ，n ， 、 、 共面13 23 MN AB AP 平面PAB.又MN平面PAB.MN MN平面PAB.方法三：(法向量)建系写点坐标如方法二设 m(x 1，y 1，z 1)为平面PAB的一个法向量，则由 m ， m 得 AP AB 4z1 0，2 2x1 y1 0， ) z1 0，y1 2 2x1.)令x 11，则 m(1，2 ，0)2 m 1 2 00.MN 2 23 13 2 83 m ， 平面PAB.MN MN 又MN平面PAB.MN平面PAB.方法四：(基本法)设 .BE 13BC 由题知 3 .PC PN MN AN AM AP PN BE AP 13PC 13BC ( )AP 13CP CB AP 13BP ( )AP 13AP AB ，23AP 13AB 、 、 三向量共面MN AP AB 平面APB.MN 又MN平面PAB.MN平面PAB.
