1、17.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.二元一次不等式(组)与平面区域1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组3.掌握二元一次不等式组表示平面区域的判断方法2016浙江,4;2015重庆,10;2014课标,11;2014福建,11;2013山东,142.简单的线性规划问题1.了解线性规划的意义,并会简单应用2.了解与线性规划问题有关的概念(约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等)3.会用图解法解决线性目标函数的最值问题4.掌握线性规划实际问题的解
2、决方法2017课标全国,7;2017课标全国,7;2016课标全国,16;2016课标全国,14;2016课标全国,13;2014课标,11选择题、填空题分析解读通过分析高考试题可以看出,题型以选择题、填空题为主,分值为5分,属中低档题.考查数形结合思想,体现数学的应用,命题侧重以下几点:1.考查线性目标函数的最值,借助数形结合的思想,将直线在纵轴上的截距弄清楚;2.准确作图是解题关键,要清楚目标函数的最值、最优解的概念,若目标函数不是线性的,则常与线段的长度、直线的斜率等有关.2五年高考考点一 二元一次不等式(组)与平面区域1.(2016浙江,4,5分)若平面区域 夹在两条斜率为 1的平行直
3、线之间,则这两条平行直线间的距离+-30,2-30,-2+30的最小值是( )A. B. C. D.355 2 322 5答案 B 2.(2014课标,11,5分)设x,y满足约束条件 且 z=x+ay的最小值为7,则a=( )+,-1,A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3答案 B 3.(2014福建,11,5分)已知圆C:(x-a) 2+(y-b)2=1,平面区域: 若圆心C,且圆C与x轴相切,则a 2+b2的最大值为( )+-70,-+30,0. A.5 B.29 C.37 D.49答案 C 34.(2014山东,10,5分)已知x,y满足约束条件 当目标函数z=ax+by(a0,
4、b0)在该约束条件下取到-10,2-30,最小值2 时,a 2+b2的最小值为( )5A.5 B.4 C. D.25答案 B 5.(2014安徽,13,5分)不等式组 表示的平面区域的面积为 .+-20,+2-40,+3-20答案 46.(2013山东,14,4分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组 所表示的区域上一动点,则|OM|的2+3-60,+-20,0 最小值是 .答案 2教师用书专用(79)7.(2013北京,14,5分)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足 = + (12,01)的点P组成,则D的面积为 . 答案 38.(2013北京,12,
5、5分)设D为不等式组 表示的平面区域.区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小0,2-0,+-30值为 .答案 2559.(2013浙江,15,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足 若z的最大值为12,则实数k= .2,-2+40,2-40.答案 2考点二 简单的线性规划问题1.(2017课标全国,7,5分)设x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为( )+33,-1,0, A.0 B.1 C.2 D.3答案 D 2.(2017课标全国,7,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x+y的最小值是( )2+3-30,2-3+30,+30, 4A.-15 B.-9 C.1 D.9答案 A 3
6、.(2017北京,4,5分)若x,y满足 则x+2y的最大值为( )3,+2, A.1 B.3 C.5 D.9答案 D 4.(2017山东,3,5分)已知x,y满足约束条件 则z=x+2y的最大值是( )-2+50,+30,2, A.-3 B.-1 C.1 D.3答案 D 5.(2017浙江,4,5分)若x,y满足约束条件 则z=x+2y的取值范围是( )0,+-30,-20, A.0,6 B.0,4 C.6,+) D.4,+)答案 D 6.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为( )A.-1 B.3 C.7 D.8答案 C
7、 7.(2015陕西,11,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元答案 D 8.(2015福建,10,5分)变量x,y满足约束条件 若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于( )+0,-2+20,-0. A.-2 B.-1 C.1 D.2答案 C 9.(2014课标,9,5分)设x,y满足约束条件 则z=x+2y的最大值为( )
8、+-10,-10,-3+30,5A.8 B.7 C.2 D.1答案 B 10.(2013课标全国,3,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x-3y的最小值是( )-+10,+-10,3, A.-7 B.-6 C.-5 D.-3答案 B 11.(2016课标全国,13,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x+3y-5的最小值为 .2-+10,-2-10,1, 答案 -1012.(2016课标全国,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.
9、生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元. 答案 21600013.(2015课标,15,5分)若x,y满足约束条件 则z=3x+y的最大值为 .+-20,-2+10,2-+20,答案 4教师用书专用(1431)14.(2015天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=3x+y的最大值为( )-20,-20,+2-80,A.7 B.8 C.9 D.14答案 C 15.(2015广东,4,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+3
10、y的最大值为( )+22,+0,4, A.2 B.5 C.8 D.10答案 B 16.(2015安徽,5,5分)已知x,y满足约束条件 则z=-2x+y的最大值是( )-0,+-40,1, A.-1 B.-2 C.-5 D.1答案 A 617.(2015湖南,4,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=2x-y的最小值为( )+1,-1,1, A.-1 B.0 C.1 D.2答案 A 18.(2014天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=x+2y的最小值为( )+-20,-20,1, A.2 B.3 C.4 D.5答案 B 19.(2013福建,6,5分)若变量x,y满足约束条
11、件 则z=2x+y的最大值和最小值分别为( )+2,1,0, A.4和3 B.4和2C.3和2 D.2和0答案 B 20.(2013天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=y-2x的最小值为( )3+-60,-20,-30, A.-7 B.-4 C.1 D.2答案 A 21.(2013陕西,7,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值是( )A.-6 B.-2 C.0 D.2答案 A 22.(2015课标,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为 .+-50,2-10,-2+10,答案 823.(2015山东,12,5
12、分)若x,y满足约束条件 则z=x+3y的最大值为 .-1,+3,1, 答案 724.(2015湖北,12,5分)若变量x,y满足约束条件 则3x+y的最大值是 .+4,-2,3-0,答案 1025.(2015北京,13,5分)如图,ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为 .7答案 726.(2014大纲全国,15,5分)设x、y满足约束条件 则z=x+4y的最大值为 .-0,+23,-21,答案 527.(2014辽宁,14,5分)已知x,y满足约束条件 则目标函数z=3x+4y的最大值为 .2+-20,-2+40,3-30,答案 1828
13、.(2014湖南,13,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为 .,+4,1, 答案 729.(2014浙江,12,4分)若实数x,y满足 则x+y的取值范围是 .+2-40,-10,1, 答案 1,330.(2013课标全国,14,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x-y的最大值为 .13,-1-0,答案 331.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料肥料A B C甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨
14、,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解析 (1)由已知,x,y满足的数学关系式为84+5200,8+5360,3+10300,0,0. 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分.图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=- x+ ,这是斜率为-23 3,随z变化的一族
15、平行直线. 为直线在y轴上的截距,当 取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以23 3 3由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距 最大,即z最大.3图2解方程组 得点M的坐标为(20,24).4+5=200,3+10=300,所以z max=220+324=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 二元一次不等式(组)与平面区域1.(2018湖南师大附中12月月考,10)在直角坐标系中,若不等式组 表示一个三角形区域,则实数a的0,-2+1取值范围是( )9A.a0
16、 B.a0 C.a-2 D.a-2答案 D 2.(2017广东惠州二调,11)设关于x,y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x 0,y0),满足x 0-2-+10,+0 2y0=2,则m的取值范围是( )A. B. C. D.(-,-43) (-23,0) (-,-13) (-,-23)答案 D 3.(2016湖南长沙一中月考,6)不等式组 表示的平面区域是( )(-+3)(+)0,04 A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形答案 D 4.(2017辽宁铁岭协作体第一次联考,15)设不等式组 表示的平面区域为M,若直线l:y=k(x+1)上存-4-3,3+525,1 在区域M内的
17、点,则k的取值范围是 .答案 13,115考点二 简单的线性规划问题5.(2018广东惠州一调,6)点P(x,y)为不等式组 所表示的平面区域内的动点,则m=x-2-20,3+-80,+2-10y的最小值为( )A.-1 B.1 C.4 0答案 D 6.(2018河南郑州一中12月月考,8)已知x,yN *且满足约束条件 则x+y的最小值为( )-2,0,x,y满足约束条件 若z=2x+y的最小值为1,则a的值为( )1,+3,(-3),A. B. D.1 D.214 12答案 B 8.(2017广东惠州一调,8)已知 则z=2 2x+y的最小值是 ( )-0,3-60,+-20,10A.1
18、B.16 C.8 D.4答案 C 9.(2016福建四校第一次联考,9)已知正数x,y满足 则z=4 -x 的最小值为( )2-0,-3+50, (12)A.1 B. C. D.1432 116 132答案 C 10.(2018河南顶级名校11月联考,14)若x,y满足约束条件 则 的最大值是 .-+20,1,+-70, 答案 6B组 20162018年模拟提升题组(满分:45分 时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018四川成都外国语学校12月月考,7)已知变量x,y满足约束条件 若目标函数z=y-2+30,-3+30,-10, ax仅在点(-3,0)处取到最大值,则实
19、数a的取值范围为( )A. B.(3,5)(12,+)C.(-1,2) D.(13,1)答案 A 2.(2018清华大学学科素养测试,6)设x,y满足约束条件|x-2|+|y-2|4,则z=2x+y的取值范围是( )A.-2,10 B.2,10 C.-2,14 D.2,14答案 C 3.(2018河南洛阳期中联考,11)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),B(3,2),C(1,1).点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)内,设 =m -n (m,nR),则2m+n 的最大值为( )A.-1 B.1 C.2 D.3答案 B 4.(2017江西南昌十校二模,9)已知x,y满足约束
20、条件 则z=|x-2y+2|的最小值为( ),+1,-1,A.3 B.0 C.1 D.32答案 D 115.(2017河南百校联盟12月模拟,4)已知实数x,y满足 则z= 的取值范围为( )2-60,12-3,+412, -3-2A. B.(-,-12 (-,-13C. D.-12,-13 -13,+)答案 B 6.(2016 河北石家庄质检,7)已知x,y满足约束条件 若目标函数z=y-1,-1,4+9,+3,mx(m0)的最大值为1,则m的值是( )A.- B.1 C.2 D.5209答案 B 二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2018全国千校联盟12月联考,14)已知实数x,y满
21、足 则z=x 2+(y+1)2的取值范围为 .2-+20,-2+10,+-20,答案 95,98.(2018河南许昌、平顶山两市联考,14)设x,y满足约束条件 记z=x+3y+2的最小值为k,则函数f(x)=-0,+0,2+1,ex+k+1-4的图象恒过定点 .答案 (-1,-3)9.(2018河北衡水中学9月大联考,15)已知实数x,y满足约束条件 则sin(x+y)的取值范围为 3+,6,0, (用区间表示).答案 12,1C组 20162018年模拟方法题组方法1 平面区域问题的求解方法1.(2018湖北华师一附中期中,6)已知P(x,y)为区域 内的任意一点,当该区域的面积为4时,z
22、=2x-2-20,0y的最大值是( )A.6 B.0 C.2 D.2 2答案 A 122.(2017河北“五个一联盟”第一次模拟,10)已知函数f(x)的定义域为-2,+),且f(4)=f(-2)=1,f (x)为f(x)的导函数,函数y=f (x)的图象如图所示,则 所表示的平面区域的面积是( )0,0,(2+)1A.2 B.4 C.5 D.8答案 B 3.(2016湖北武汉重点中学联考,15)若不等式组 表示的平面区域为三角形,则实数k的取值范围|+|2,+2(+1)是 .答案 0k 或k-223方法2 目标函数最值问题的求解方法4.(2018江西南昌二中期中模拟,7)已知x,y满足约束条
23、件 则下列目标函数中,在点(4,1)处取得最+5,-40,-+30,大值的是( )A.z= x-y B.z=-3x+y C.z=- x-y D.z=3x-y15 15答案 D 5.(2017山西晋中二模,7)已知D= ,给出下列四个命题:(,)|+-20,-+20,3-+60p1:(x,y)D,x+y+10;p2:(x,y)D,2x-y+20;p3:(x,y)D, -4;+1-1p4:(x,y)D,x 2+y22.其中真命题是( )A.p1,p2 B.p2,p3C.p2,p4 D.p3,p4答案 C 6.(2016安徽安庆期中联考,5)已知实数x,y满足条件 则z= 的最大值为( )-+10,
24、4+3-120,-20, 2-+1+1A. B. C. D.54 45 916 1213答案 B 7.(2018湖北重点中学联考,15)已知变量x,y满足约束条件 则F(x,y)=log 2(y+1)+lo (x+1)的最+2-30,+3-30,-10, 12小值为 .答案 -2方法3 线性规划中参变量问题的求解方法8.(2017河南安阳一模,5)已知z=2x+y,其中实数x,y满足 且z的最大值是最小值的4倍,则a的值是( ,+2, )A. B. C.4 D.211 14 112答案 B 9.(2017安徽师大附中期中考试,7)设x,y满足约束条件 若z= 的最小值为 ,则a的值为( 3+4
25、,0,0, +2+3+1 32)A.1 B.2 C.3 D.4答案 A 10.(2018湖北八校12月联考,14)已知x,y满足约束条件 且z=x+3y的最小值为2,则常数k= -+40,2,+0,.答案 -2方法4 线性规划的实际问题的求解方法11.(2018河南百校联盟12月联考,16)某旅游景区的一家庭作坊计划每天制作高、中、低档3种旅游纪念品共50个,制作一个高档纪念品需要14分钟,利润为12元;制作一个中档纪念品需要11分钟,利润为11元;制作一个低档纪念品需要9分钟,利润为7元.若已知每天制作时间不超过11小时,则这个家庭作坊每天制作旅游纪念品的最大利润为 元.答案 58612.(
26、2017广东肇庆调研,20)某玩具公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时,若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元);(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大?最大利润是多少?14解析 (1)依题意知每天生产的伞兵个数为100-x-y,所以利润w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.(2)约束条件为 5+7+4(100-)600,100-0,0,0, 整理得 +3200,+100,0,0,目标函数为w=2x+3y+300.作出可行域,为图中阴影区域内的整点.初始直线l 0:2x+3y=0,平移初始直线,当经过点A时,w有最大值,由 得 故最优解为点 A(50,50),+3=200,+=100, =50,=50.所以w max=550.所以每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,最大利润为550元.
