1、19.2 点、直线、圆的位置关系考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.点与直线、直线与直线的位置关系1.能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系2.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离2016课标全国,6;2014四川,9;2013天津,5;2013四川,152.点、直线、圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系2.能用直线与圆的位置关系解决弦长问题3.会求圆的切线方程及与圆有关的最值问题4.能根据给定两圆的方程判断两圆的位置关系5.会求两圆相交弦所在直线的方程及弦长6.初步了
2、解用代数方法处理几何问题的思想2017课标全国,11;2017江苏,13;2016课标全国,15;2016课标全国,15;2016山东,7;2015课标,7;2015湖南,13;2014湖南,6选择题、填空题分析解读从近几年的高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主.分值大约为5分.主要考查:方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以
3、及数形结合思想的应用.2五年高考考点一 点与直线、直线与直线的位置关系1.(2016课标全国,6,5分)圆x 2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.- B.- C. D.243 34 3答案 A 2.(2014四川,9,5分)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( )A. ,2 B. ,2 5 5 10 5C. ,4 D.2 ,4 10 5 5 5答案 B 3.(2013天津,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1) 2+y2=5相切,且与直线ax
4、-y+1=0垂直,则a=( )A.- B.1 C.2 D.12 12答案 C 教师用书专用(4)4.(2013四川,15,5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 .答案 (2,4)考点二 点、直线、圆的位置关系1.(2017课标全国,11,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为A 1,A2,且以线段A 1A2为直径的圆2222与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )A. B. C. D.63 33 23 13答案 A 2.(2015课标,7,5分)已知三点A(1,0),B(0, ),C(2
5、, ),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )3 3A. B. C. D.53 213 253 43答案 B 3.(2015安徽,8,5分)直线3x+4y=b与圆x 2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12答案 D 4.(2014浙江,5,5分)已知圆x 2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )3A.-2 B.-4 C.-6 D.-8答案 B 5.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3) 2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,
6、使得APB=90,则m的最大值为( )A.7 B.6 C.5 D.4答案 B 6.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x 2+y2=50上.若 20,则点P的横坐标的取值范围是 .答案 -5 ,127.(2016课标全国,15,5分)已知直线l:x-y+6=0与圆x 2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|= .3答案 48.(2015湖南,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x 2+y2=r2(r0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则r= .答案 29.(2014
7、重庆,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x 2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且ACBC,则实数a的值为 .答案 0或610.(2013山东,13,5分)过点(3,1)作圆(x-2) 2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 .答案 2 211.(2014课标,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x 2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.解析 (1)圆C的方程可化为x 2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(
8、x,y),则 =(x,y-4), =(2-x,2-y).由题设知 =0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1) 2+(y-3)2=2. 由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1) 2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 为半径的圆.2由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为- ,134故l的方程为y=- x+ .13 83又|OM|=|OP|=2 ,O到l的距离为 ,|PM|= ,所以POM的面积为 .24105 4105 165教师用书专用(1222)12.
9、(2014安徽,6,5分)过点P(- ,-1)的直线l与圆x 2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( ) 3A. B. C. D.(0,6 (0,3 0,6 0,3答案 D 13.(2014课标,12,5分)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x 0的取值范围是( )A.-1,1 B. C.- , D.-12,12 2 2 - 22, 22答案 A 14.(2013安徽,6,5分)直线x+2y-5+ =0被圆x 2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )5A.1 B.2 C.4 D.4 6答案 C 15.(2013重庆,4,5分)设P是
10、圆(x-3) 2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )A.6 B.4 C.3 D.2答案 B 16.(2013陕西,8,5分)已知点M(a,b)在圆O:x 2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )A.相切 B.相交C.相离 D.不确定答案 B 17.(2016天津,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C上,且圆心到直线2x-5y=0的距离为 ,则圆C的方程为 .455答案 (x-2) 2+y2=918.(2015山东,13,5分)过点P(1, )作圆x 2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则 = .3
11、 答案 3219.(2013浙江,13,4分)直线y=2x+3被圆x 2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于 .答案 4 520.(2013湖北,14,5分)已知圆O:x 2+y2=5,直线l:xcos +ysin =1 .设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k,则k= .(00,得k 23,所以k的取值范围是(-,- )( ,+).(4分)3 3(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x 1,kx1),(x2,kx2),则|OM| 2=(1+k2) ,|ON|2=(1+k2) .21 22又|OQ| 2=m2+n2=(1+k2)m2,由 = + ,得2|21|21|2=
12、+ ,即 = + = .2(1+2)21(1+2)211(1+2)22 22121122(1+2)2-2122122由(*)式可知,x 1+x2= ,x1x2= ,所以m 2= .81+2121+23652-3因为点Q在直线y=kx上,所以k= ,代入m 2= 中并化简,得5n 2-3m2=36. 3652-3由m 2= 及k 23,可知00,所以n= = .36+325 152+1805于是,n与m的函数关系为n= (m(- ,0)(0, ).(13分)152+1805 3 322.(2013湖南,20,13分)已知F 1,F2分别是椭圆E: +y2=1的左 ,右焦点,F 1,F2关于直线x
13、+y-252=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(1)求圆C的方程;(2)设过点F 2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最大时,求直线l的方程.解析 (1)由题设知,F 1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线x+y-62=0的对称点.设圆心的坐标为(x 0,y0),由 解得00=1,02+02-2=0, 0=2,0=2.所以圆C的方程为(x-2) 2+(y-2)2=4.(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+2,则圆心到直线l的距离d= .|2|1+2所以b=2 = ,22-241+2由 得(m 2+5)y2+4my-1=0
14、.=+2,25+2=1设l与E的两个交点坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),则y1+y2=- ,y1y2=- .42+512+5于是a= (1-2)2+(1-2)2= (1+2)(1-2)2= (1+2)(1+2)2-412=(1+2) 162(2+5)2+ 42+5= .25(2+1)2+5从而ab= = = =2 .852+12+5852+1(2+1)+4852+1+ 42+1852 2+1 42+1 5当且仅当 = ,即m= 时等号成立.2+142+1 3故当m= 时,ab最大,此时,直线l的方程为x= y+2或x=- y+2,3 3 3即x- y-2=0或x+ y-2=0.3
15、3三年模拟A组 20162018年模拟基础题组7考点一 点与直线、直线与直线的位置关系1.(2018湖北重点中学联考,3)若直线l 1:ax-y+1=0与直线l 2:2x-2y-1=0的倾斜角相等,则实数a=( )A.-1 B.1 C.-2 D.2答案 B 2.(2018豫南九校联考,4)已知直线l 1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l 1l 2,则a=( )A.2或 B. 或-1 C. D.-112 13 13答案 B 3.(2017河南部分重点中学12月联考,3)设aR,则“a=-1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行”的( )A.充
16、分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 4.(人教A必2,三,3,例7,变式)若直线l 1:x+ay+6=0与l 2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l 1与l 2间的距离为( )A. B. C. D.2823 3 833答案 B 5.(2016上海青浦二模,15)“a= ”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的( )14A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 考点二 点、直线、圆的位置关系6.(2018黑龙江哈六中模拟,4)若直线y=kx与圆
17、x 2+y2-4x+3=0的两个交点关于直线x+y+b=0对称,则( )A.k=1,b=-2 B.k=1,b=2 C.k=-1,b=2 D.k=-1,b=-2答案 A 7.(2017吉林六校联考,5)已知圆C:x 2+y2-4x=0,l为过点P(3,0)的直线,则( )A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能答案 A 8.(2017江西赣中南五校联考,6)已知直线x+ay-1=0是圆C:x 2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2 B.6 C.4 D.22 10答案 B 9.(2016江西南昌二
18、中期中,9)若直线l:ax+by+1=0(a,bR +)始终平分圆M:(x+2) 2+(y+1)2=4的周长,则 + 的最128小值为( )A.2 B.4 C.8 D.10答案 C 10.(2018豫北、豫南联考,13)过点M(1, )的圆O:x 2+y2=4的切线方程是 .3答案 x+ y-4=0311.(2018广西南宁调研,14)已知圆(x-a) 2+y2=4截直线x-y-4=0所得的弦的长度为2 ,则a= .2答案 2或612.(2018河南百校联盟联考,15)已知圆O:x 2+y2=r2(r0)与直线y=x交于A,B两点,若圆C:(x-3) 2+(y-4)2=1上存在点M,使得AMB
19、M,则r的最大值为 .答案 613.(2017福建泉州3月质检,13)过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x 2+y2=1相切,则a的值为 .答案 -5314.(2017四川成都外国语中学一诊,13)过坐标原点O作圆x 2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长度为 .答案 4B组 20162018年模拟提升题组(满分:65分 时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018河南洛阳一模,7)已知圆C:(x-1) 2+y2=r2(r0),设p:00),由题意得 解得0,=0,|=,|- 3+2|2 =, =2,=0,=2.则圆
20、C的标准方程为(x-2) 2+y2=4.(2)将y=x+m代入圆C的方程,消去y并整理得2x 2+2(m-2)x+m2=0.令=4(m-2) 2-8m20,得-2-2 0,即x 1x2+(x1+m-1)(x2+m-1)0m2+m-10,10解得m .-1- 52 -1+ 52故实数m的取值范围是 （ ,-2+2 ）.(-2-22,-1- 52 ) -1+ 52 29.(2017福建泉州3月质检,20)已知直线l:x-y+3=0与圆心为(3,4)的圆C相交,被圆截得的弦长为2 .2(1)求圆C的方程;(2)设Q点的坐标为(2,3),且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k(k0).若动点M
21、的轨迹是一条直线,试确定相应的k值,并求出该直线的方程.解析 (1)圆心C到直线l的距离为 = ,|3-4+3|2 2直线l被圆截得的弦长为2 ,2圆的半径为2,圆C的方程为(x-3) 2+(y-4)2=4.(2)设动点M(x,y),则由题意可得 =k,即 =k,|2-4| (-3)2+(-4)2-4(-2)2+(-3)2化简可得(k 2-1)x2+(k2-1)y2+(6-4k2)x+(8-6k2)y+13k2-21=0,由题意知k 2-1=0,k=1(k=-1舍去),故所求的直线的方程为x+y-4=0.C组 20162018年模拟方法题组方法1 求解与两直线位置关系有关问题的方法1.(201
22、7豫北名校联考,14)直线y=-x+1与x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC,如果在第一象限内有一点P33,使得 ABP和ABC的面积相等,则m的值为 .(,12)答案 5322.(2016河北正定中学模拟,13)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为 ,则 的值为 21313 +2.答案 1方法2 与圆有关的最值问题的求解方法3.(2017黑龙江哈尔滨六中12月模拟,8)已知实数x,y满足x 2+y2=4(y0),则m= x+y的取值范围是( )3A.(-2 ,4) B.-2 ,4 C.-4,4 D.-4,2 3 3 3答案 B 方
23、法3 直线与圆、圆与圆位置关系的判断方法114.(2017云南玉溪一中模拟,11)圆x 2+y2+2ax+a2-4=0和圆x 2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若aR,bR,且ab0,则 + 的最小值为( )1212A.1 B.3 C. D.19 49答案 A 5.(2018湖北孝感六校联考,14)已知点P是直线3x+4y+8=0上的动点,点A是圆C:x 2+y2-2x-2y+1=0上的动点,则|PA|的最小值为 .答案 2方法4 求解与圆有关的切线和弦长问题的方法6.(2017河北石家庄一模,9)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x 2+y2=4截得的弦长为2 ,则t
24、=a 取得最大值时a的值为( )3 1+22A. B. C. D.12 32 34 34答案 D 7.(2018贵州七校联考,16)已知点P在直线l:y=x+1上,过点P作圆C:x 2+y2-2x+4y-4=0的切线,切点分别为A,B,AB的中点为Q,若点Q到直线l的距离为 ,则点Q的坐标为 .728答案 或(1,14) (-54,-2)8.(2017河南郑州一模,20)已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l
25、的方程.解析 (1)由题意,得 =5,即 =5,化简 ,得x 2+y2-2x-2y-23=0,即(x-1) 2+(y-1)2=25,| (-26)2+(-1)2(-2)2+(-1)2所以点M的轨迹方程是(x-1) 2+(y-1)2=25.轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆.(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段的长为2 =8,52-32所以l:x=-2符合题意.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,圆心到l的距离d= ,|3+2|2+112由题意得 +42=52,解得k= .(|3+2|2+1)2 512所以直线l的方程为 x-y+ =0,512 236即5x-12y+46=0.综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.
