1、19.3 直线与圆、圆与圆的位置关系考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.直线与圆的位置关系掌握2017课标全国,9;2016课标全国,4;2016课标全国,16;2014课标,16选择题填空题 2.圆与圆的位置关系能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;初步了解用代数方法处理几何问题的思想掌握 2015湖北,14;2013重庆,7 填空题解答题 分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有
2、关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一 直线与圆的位置关系1.(2017课标全国,9,5分)若双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )A.2 B. C. D.答案 A2.(2016课标全国,4,5分)圆x 2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.- B.- C. D.2答案 A3.(2016课标全国,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x 2+y2=12交于A,B两点,过A
3、,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= . 答案 44.(2014课标,16,5分)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x 0的取值范围是 . 答案 -1,1教师用书专用(511)5.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x 2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2 B.4 C.6 D.2答案 C6.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y 2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且
4、M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )A.(1,3) B.(1,4)C.(2,3) D.(2,4)答案 D7.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+=0或2x+y-=02C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+=0或2x-y-=0答案 A8.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3) 2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-或- B.-或- C.-或- D.-或-答案 D9.
5、(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 答案 (x-1) 2+y2=210.(2014湖北,12,5分)直线l 1:y=x+a和l 2:y=x+b将单位圆C:x 2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a 2+b2= . 答案 211.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1) 2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a= . 答案 4考点二 圆与圆的位置关系1.(2013重庆,7,5分)已知圆C 1:(x-2)2+(y-
6、3)2=1,圆C 2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C 1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5-4 B.-1 C.6-2 D.答案 A2.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解析 (1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线
7、方程为y=kx+3,由题意得,=1,解得k=0或-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a) 2+y-2(a-2)2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x 2+y2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.因为点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|CD2+1,即13.由5a 2-12a+80,得aR;由5a 2-12a0,得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.教师用书专用(3)3.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于
8、点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.3(1)圆C的方程为 ; (2)过点A任作一条直线与圆O:x 2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:=;-=2;+=2.其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号) 答案 (1)(x-1) 2+(y-)2=2 (2)三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 直线与圆的位置关系1.(2018福建龙岩月考,8)已知两点M(-1,0),N(1,0),若直线y=k(x-2)上至少存在三个点P,使得MNP是直角三角形,则实数k的取值范围是( )A. B.C. D.答案 D2.(2017福建漳州八校4月联考,
9、7)已知点P(a,b)(ab0)是圆x 2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r 2,那么( )A.ml,且l与圆相交 B.ml,且l与圆相切C.ml,且l与圆相离 D.ml,且l与圆相离答案 C3.(2017安徽江南十校联考,6)直线l:x-y+m=0与圆C:x 2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是( )A.-, B.-2,2C.-1,-1 D.-2-1,2-1答案 D4.(2016江苏常州溧阳期中,8)若圆x 2+y2-4mx+(2m-3)y+4=0截直线2x-2y-3=0所得的弦最长,则实数m的值为 . 答案 1考点二 圆
10、与圆的位置关系5.(2018重庆模拟)已知圆C 1:(x+1)2+(y-1)2=4,圆C 2与圆C 1关于直线x-y-1=0对称,则圆C 2的方程为( )A.(x+2)2+(y-2)2=4 B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x+2)2+(y+2)2=4 D.(x-2)2+(y-2)2=4答案 B6.(2017福建福州模拟,6)已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-3)2+y2=r2(r0)上存在点P(不同于点A,B)使得PAPB,则实数r的取值范围是( )A.(1,5) B.1,5 C.(1,3 D.3,5答案 A7.(人教A必2,四,4-2A,9,变式)圆x 2+y2+x-2y
11、-20=0与圆x 2+y2=25相交所得的公共弦长为 . 答案 48.(2016江苏常州溧阳期中,12)已知在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,1)到直线l的距离分别为1,2,则这样4的直线l共有_ 条. 答案 3B组 20162018年模拟提升题组(满分:20分 时间:30分钟)一、选择题(共5分)1.(2017河南洛阳二模,6)已知圆C的方程为x 2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P作与l夹角为45的直线交l于点A,则|PA|的最小值为( )A. B.1 C.-1 D.2-答案 D二、解答题(共15分)2.(2017河南部分重点中学联考,20)在平面直角坐标系
12、xOy中,已知圆C 1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线过点A(4,0),且被圆C 1截得的弦长为2,求直线的方程;(2)设P为平面直角坐标系内的点,满足:存在过点P的无穷多对相互垂直的直线,它们分别与圆C 1和C 2相交,且直线被圆C 1截得的弦长与直线被圆C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解析 (1)设所求直线为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.由垂径定理得圆C 1的圆心(-3,1)到直线kx-y-4k=0的距离d=1,即=1,解得k=0或-,所以直线的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P的坐标为(
13、m,n),过点P且互相垂直的两条直线分别为l 1,l2,直线l 1,l2的方程分别设为y-n=k(x-m),y-n=-(x-m),即kx-y+n-km=0,-x-y+n+=0,由题意得=,化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,易知关于k的方程有无穷多解,由或得点P的坐标为或.C组 20162018年模拟方法题组方法1 解决直线与圆位置关系问题的方法1.(2017山西太原4月模拟,6)已知圆C:x 2+y2=1,直线l:y=k(x+2),在-1,1上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )A. B. C. D.答案 C2.(2018福建福州质检,
14、14)若直线l:x+y=5与曲线C:x 2+y2=16交于两点A(x 1,y1)、B(x 2,y2),则x 1y2+x2y1的值为 . 答案 16方法2 圆与圆的位置关系问题的解决策略3.(2018辽宁鞍山模拟,15)已知A(-3,0),圆C:(x-a-1) 2+(y-a)2=1上存在点M满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围为 . 答案 4.(2017河南郑州一模,15)若O:x 2+y2=5与O 1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 . 答案 4方法3 解决与圆有关的切线和弦长问题的方法5.(2017安徽安庆二模,8)
15、自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为( )A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=05答案 D6.(2017河北石家庄一模,9)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x 2+y2=4截得的弦长为2,则t=a取得最大值时a的值为( )A. B. C. D.答案 D7.(2017湖北宜昌月考,18)已知圆M的圆心M在x轴上,半径为1,直线l:y=x-被圆M所截得的弦长为,且圆心M在直线l的下方.(1)求圆M的方程;(2)设A(0,t),
16、B(0,t+6)(-5t-2),若圆M是ABC的内切圆,求ABC的面积S的最大值和最小值.解析 (1)设圆心M(a,0),由已知,得圆心M到l:8x-6y-3=0的距离为=,=,又M在l的下方,8a-30,8a-3=5,a=1,故圆M的方程为(x-1) 2+y2=1.(2)由题意可知直线AC,BC的斜率存在.设AC的斜率为k 1,BC的斜率为k 2,易知k 1k2,则直线AC的方程为y=k 1x+t,直线BC的方程为y=k 2x+t+6.由方程组得C点的横坐标为x c=,|AB|=t+6-t=6,S=6=,由于圆M与AC相切,所以1=,k 1=;同理,k 2=,k 1-k2=,S=6,-5t-2,-2t+31,-8t 2+6t+1-4,S max=6=,Smin=6=.
