1、18.4 直线、平面平行的判定与性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度直线、平面平行的判定与性质1.了解直线与平面和平面与平面的位置关系2.认识和理解空间中直线、平面平行的有关性质和判定3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2017课标全国,6;2017课标全国,18;2016课标全国,11;2016山东,18;2016四川,17选择题、填空题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查比较平稳,一般通过对图形或几何体的认识,考查直线与平面平行以及平面与平面平行的判定和性质,题型以解答题为主,偶尔也会出现在小题之中,以命题判断居
2、多,难度适中,主要考查直线、平面平行间的转化思想,同时也考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力.分值约为6分.五年高考考点 直线、平面平行的判定与性质1.(2017课标全国,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )答案 A 2.(2016课标全国,11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB 1D1,平面ABCD=m,平面ABB 1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.32 22 33 132答案 A 3.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表
3、示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是( )A.若m,n,则mn B.若m,n,则mnC.若m,mn,则n D.若m,mn,则n答案 B 4.(2016课标全国,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体NBCM的体积.解析 (1)证明:由已知得AM= AD=2,23取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN= BC=2.(3分)12又ADBC,故TNAM, 故四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面P
4、AB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)(2)因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为 PA.(9分)12取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE= = .2-2 5由AMBC得M到BC的距离为 ,5故S BCM = 4 =2 .12 5 5所以四面体NBCM的体积V NBCM= SBCM = .(12分)13 2 4535.(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:ACFB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.3证明 (1)因为EFDB,
5、所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDE=D,所以AC平面BDEF,因为FB平面BDEF,所以ACFB.(2)设FC的中点为I.连接GI,HI.在CEF中,因为G是CE的中点,所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.46.(2015山东,18,12分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BC
6、D平面EGH.证明 (1)证法一:连接DG,CD,设CDGF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,所以DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.所以M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.5(2)连接HE,EG
7、,CD.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CFHE,又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.7.(2013陕西,18,12分)如图,四棱柱ABCD-A 1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A 1O底面ABCD,AB=AA 1=.2(1)证明:平面A 1BD平面CD 1B1;(2)求三棱柱ABD-A 1B1D1的体积.解析 (1)由题设知,BB 1DD 1,四边形BB 1D1D
8、是平行四边形,BDB 1D1.又BD平面CD 1B1,BD平面CD 1B1.A 1D1B 1C1BC,四边形A 1BCD1是平行四边形,A 1BD 1C.6又A 1B平面CD 1B1,A 1B平面CD 1B1.又BDA 1B=B,平面A 1BD平面CD 1B1.(2)A 1O平面ABCD,A 1O是三棱柱ABD-A 1B1D1的高.又AO= AC=1,AA1= ,12 2A 1O= =1.21-2又S ABD = =1,12 2 2 =SABD A1O=1.-111教师用书专用(818)8.(2013广东,8,5分)设l为直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l,l,则 B.若
9、l,l,则C.若l,l,则 D.若,l,则l答案 B 9.(2016四川,17,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD= AD.12(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB平面PBD.解析 (1)取棱AD的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:连接CM.因为ADBC,BC= AD,12所以BCAM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)7(2
10、)证明:连接BM,由已知,PAAB,PACD,因为ADBC,BC= AD,所以直线AB与CD相交,12所以PA平面ABCD.从而PABD.因为ADBC,BC= AD,12所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD= AD,所以BDAB.12又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.10.(2015北京,18,14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC= ,O,M分别为AB,VA的中点.2(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥V-AB
11、C的体积.解析 (1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.8(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC= ,2所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积S VAB = .3又因为OC平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于 OCSVAB = .13 33又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为 .3311.(2015天津,17,13
12、分)如图,已知AA 1平面ABC,BB 1AA 1,AB=AC=3,BC=2 ,AA1= ,BB1=2 ,点E和F分别为BC5 7 7和A 1C的中点.(1)求证:EF平面A 1B1BA;(2)求证:平面AEA 1平面BCB 1.解析 (1)证明:如图,连接A 1B.在A 1BC中,因为E和F分别是BC和A 1C的中点,所以EFBA 1.又因为EF平面A 1B1BA,所以EF平面A 1B1BA.(2)证明:因为AB=AC,E为BC中点,所以AEBC.因为AA 1平面ABC,BB 1AA 1,所以BB 1平面ABC,从而BB 1AE.又因为BCBB 1=B,所以AE平面BCB 1,又因为AE平面
13、AEA 1,所以平面AEA 1平面BCB 1.12.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平面PDA的距离.9解析 (1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以ADBC.又因为AD平面PDA,BC平面PDA,所以BC平面PDA.(2)证明:取CD的中点,记为E,连接PE,因为PD=PC,所以PEDC.又因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=DC,PE平面PDC,所以PE平面ABCD.又BC平面ABCD,所以PEBC.因为四边形AB
14、CD为长方形,所以BCDC.又因为PEDC=E,所以BC平面PDC.而PD平面PDC,所以BCPD.(3)连接AC.由(2)知,BCPD,又因为ADBC,所以ADPD,所以S PDA = ADPD= 34=6.12 12在RtPDE中,PE= = = .2-2 42-32 7SADC = ADDC= 36=9.12 12由(2)知,PE平面ABCD,则PE为三棱锥P-ADC的高.设点C到平面PDA的距离为d,由V C-PDA=VP-ADC,即 dSPDA = PESADC ,亦即 6d= 9,得d= .13 13 13 13 7 372故点C到平面PDA的距离为 .37213.(2014课标,
15、18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设AP=1,AD= ,三棱锥P-ABD的体积V= ,求A到平面PBC的距离.334解析 (1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)V= PAABAD= AB.16 36由V= ,可得AB= .34 32作AHPB交PB于H.10由题设知BC平面PAB,所以BCAH,故AH平面PBC.又AH= = ,31313所以A到平面PBC的距离为
16、 .3131314.(2014北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA 1=AC=2,BC=1,E,F分别是A 1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B 1BCC1;(2)求证:C 1F平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.解析 (1)证明:在三棱柱ABC-A 1B1C1中,BB 1底面ABC,所以BB 1AB.又因为ABBC,所以AB平面B 1BCC1.所以平面ABE平面B 1BCC1.(2)证明:取AB中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A 1C1,BC的中点,所以FGAC,且FG= AC.12因为ACA 1C1,且AC=A
17、 1C1,所以FGEC 1,且FG=EC 1.所以四边形FGEC 1为平行四边形.所以C 1FEG.又因为EG平面ABE,C 1F平面ABE,11所以C 1F平面ABE.(3)因为AA 1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB= = .2-2 3所以三棱锥E-ABC的体积V= SABC AA1= 12= .13 13 12 3 3315.(2014四川,18,12分)在如图所示的多面体中,四边形ABB 1A1和ACC 1A1都为矩形.(1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC 1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC 1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A 1MC?请证明你
18、的结论.解析 (1)证明:因为四边形ABB 1A1和ACC 1A1都是矩形,所以AA 1AB,AA 1AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以AA 1平面ABC.因为直线BC平面ABC,所以AA 1BC.又ACBC,AA 1,AC为平面ACC 1A1内两条相交直线,所以BC平面ACC 1A1.(2)取线段AB的中点M,连接A 1M,MC,A1C,AC1,设O为A 1C,AC1的交点.由已知可知O为AC 1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC 1的中位线,所以MDAC且MD= AC,OEAC且OE= AC,因此MDOE.12 12连接OM,从而四边形MDEO为平行
19、四边形,则DEMO.因为直线DE平面A 1MC,MO平面A 1MC,所以直线DE平面A 1MC,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A 1MC.16.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2 ,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GE1712FH平面ABCD,BC平面GEFH.(1)证明:GHEF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.解析 (1)因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC.同理可证EFBC,因此GHEF.(2)连接AC,BD交于点
20、O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,所以GK底面ABCD,从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14,从而KB= DB= OB,即K为OB的中点.14 12再由POGK得GK= PO,即G是PB的中点,所以GH= BC=4.12 12由已知可得OB=4 ,PO= = =6,2 2-2 68-32所以GK
21、=3.故四边形GEFH的面积S= GK= 3=18.+2 4+8217.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.13解析 (1)证明:如图,设PA的中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA的中点,所以EFAD且EF= AD.12又因为BCAD,BC= AD,所以EFBC且EF=BC,12即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF,因此CE平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点M,N.连接P
22、N交EF于点Q,连接MQ.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF的中点,在平行四边形BCEF中,MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点,AD=2BC得BNAD.所以AD平面PBN,由BCAD得BC平面PBN,那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在PCD中,由PC=2,CD=1,PD= 得CE= ,2 2在PBN中,由PN=BN=1,PB= 得QH= ,314在RtMQH中,QH= ,MQ= ,14 2所以sinQMH= .28所
23、以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是 .2818.(2013福建,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,ABDC,ABAD,BC=5,DC=3,AD=4,PAD=60.(1)当正视方向与向量 的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);14(2)若M为PA的中点,求证:DM平面PBC;(3)求三棱锥D-PBC的体积.解析 (1)在梯形ABCD中,过点C作CEAB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,CE=AD=4,在RtBEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD平面ABCD得
24、,PDAD,从而在RtPDA中,由AD=4,PAD=60,得PD=4 .3正视图如图所示:(2)证法一:取PB中点N,连接MN,CN.在PAB中,M是PA的中点,MNAB,MN= AB=3,12又CDAB,CD=3,MNCD,MN=CD,四边形MNCD为平行四边形,DMCN.又DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.证法二:取AB的中点E,连接ME,DE.15在梯形ABCD中,BECD,且BE=CD,四边形BCDE为平行四边形,DEBC,又DE平面PBC,BC 平面PBC,DE平面PBC.又在PAB中,MEPB,ME平面PBC,PB平面PBC,ME平面PBC,又DEME=E,平面DME
25、平面PBC.又DM平面DME,DM平面PBC.(3)VD-PBC=VP-DBC= SDBC PD,13又S DBC =6,PD=4 ,所以V D-PBC=8 .3 3三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点 直线、平面平行的判定与性质1.(2018四川成都一诊,5)已知,是三个不同的平面,l,m是两条不同的直线,则下列命题一定正确的是( )A.若l,l,则B.若,则C.若lm,且l,m,l,m,则D.若l,m异面,且l,m,l,m,则答案 D 2.(2017河南安阳二模,7)如图,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:
26、EPAC;16EPBD;EP平面SBD;EP平面SAC,其中恒成立的为( )A. B. C. D.答案 A 3.(2016上海青浦二模,15)下列命题正确的是( )A.若直线l 1平面,直线l 2平面,则l 1l 2B.若直线l上有两个点到平面的距离相等,则lC.直线l与平面所成角的取值范围是 (0,2)D.若直线l 1平面,直线l 2平面,则l 1l 2答案 D 4.(2018河北唐山统一考试,14)在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,G为PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线PB与AC,则截面的周长为 .答案 85.(2018湖南湘东五校联考,19)如图,在多面体A
27、BCA 1B1C1中,四边形ABB 1A1是正方形,A 1CB是等边三角形,AC=AB=1,B1C1BC,BC=2B 1C1.(1)求证:AB 1平面A 1C1C;(2)求多面体ABCA 1B1C1的体积.解析 (1)证明:取BC的中点D,连AD,B 1D,C1D,B 1C1BC,BC=2B 1C1,BDB 1C1,BD=B1C1,CDB 1C1,CD=B1C1,四边形BDC 1B1,CDB1C1是平行四边形,17C 1DB 1B,C1D=B1B,CC1B 1D,又B 1D平面A 1C1C,C1C平面A 1C1C,B 1D平面A 1C1C.在正方形ABB 1A1中,BB 1AA 1,BB1=A
28、A1,C 1DAA 1,C1D=AA1,四边形ADC 1A1为平行四边形,ADA 1C1,又AD平面A 1C1C,A1C1平面A 1C1C,AD平面A 1C1C,B 1DAD=D,平面ADB 1平面A 1C1C,又AB 1平面ADB 1,AB 1平面A 1C1C.(2)在正方形ABB 1A1中,A 1B= ,又A 1BC是等边三角形,所以A 1C=BC= ,所以AC 2+A =A1C2,AB2+AC2=BC2.2 2 21于是AA 1AC,ACAB,又AA 1AB,ABAC=A,AA 1平面ABC,AA 1CD,易知CDAD,而ADAA 1=A,CD平面ADC 1A1,于是多面体ABCA 1B
29、1C1是由直三棱柱ABD-A 1B1C1和四棱锥C-ADC 1A1组成的.又直三棱柱ABD-A 1B1C1的体积为 1= ,12 (1211) 14四棱锥C-ADC 1A1的体积为 1 = ,13 22 22 16故多面体ABCA 1B1C1的体积为 + = .1416 5126.(2017广东肇庆调研,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA面ABCD,PA=BC=4,AD=2,AC=AB=3,ADBC,N是PC的中点.(1)证明:ND面PAB;(2)求三棱锥N-ACD的体积.18解析 (1)证明:如图,取PB的中点M,连接AM,MN.易知MN是BCP的中位线,MNBC,且MN= BC.12
30、依题意得,ADBC且AD= BC,则有ADMN,12四边形AMND是平行四边形,NDAM.ND面PAB,AM面PAB,ND面PAB.(2)N是PC的中点,N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半,又PA面ABCD,PA=4,三棱锥N-ACD的高是2.在ABC中,AC=AB=3,BC=4,BC边上的高为 = .32-22 5BCAD,C到AD的距离为 ,5S ADC = 2 = .12 5 5三棱锥N-ACD的体积是 2= .13 5 23 5B组 20162018年模拟提升题组(满分:60分 时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018湖南长沙长郡中学调研考试,1
31、1)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABAD,BCAD,PA=AD=4,AB=BC=2,PA平面ABCD,点E是线段AB的中点,点F在线段PA上,且EF平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,则线段CH的长度为( )19A. B.2 C.2 D.22 2 3答案 C 2.(2016江西高安模拟,7)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AB和棱AA 1的中点,点M、N分别为线段D 1E、C 1F上的点,则与平面ABCD平行的直线MN有( )A.无数条 B.2条 C.1条 D.0条答案 A 二、填空题(共5分)3.(2017安徽师大附中期中,15)正方体ABCD-A1B1
32、C1D1中,E是棱CC 1的中点,F是侧面BCC 1B1内的动点,且A 1F平面D 1AE,若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2,则F的轨迹被正方形BCC 1B1截得的线段长是 .答案 2三、解答题(每小题15分,共45分)4.(2018河南新乡一模,19)如图,几何体ABC-A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得,AB=4,AA 1=3 ,A1D=1,AA1平面ABC,M为AB的中点,E为棱AA 1上一点2,且EM平面BC 1D.(1)若N在棱BC上,且BN=2NC,证明:EN平面BC 1D;(2)过A作平面BCE的垂线,垂足为O,确定O的位置(说明作法及理由),并求线段OE的长
33、.20解析 (1)证明:EM平面BC 1D,EM平面ABDA 1,平面ABDA 1平面BC 1D=BD,BDEM.过D作DHAB于H,连接CH,MN,则CHC 1D,HM= AB- AB= AB,12 14 14HMMB=CNNB=12,MNCH,则MNC 1D.MN平面BC 1D.EMMN=M,平面EMN平面BC 1D.EN平面EMN,EN平面BC 1D.(2)在线段AB上取一点F,使BF=A 1D=1,连接A 1F,则A 1FBD,由(1)知EMBD.EMA 1F, = = ,123AE= 3 =2 .23 2 2取BC的中点G,连接AG,EG.过A作AOEG于O,则AO平面BCE.证明如
34、下:21由题意可知,ABC为等边三角形,则AGBC,又AA 1平面ABC,AA 1BC,AGAA 1=A,BC平面AEG,BCAO,又EGBC=G,AO平面BCE.在AEG中,由射影定理可得,AE 2=OEEG,又AE=2 ,易求EG=2 ,2 5OE= .故点O的位置在BEC中边BC的中线上,且满足EO= .455 4555.(2018湖北武汉重点中学联考,19)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将ADE沿AE折起,得到如图2所示的四棱锥D 1-ABCE,其中平面D 1AE平面ABCE.(1)证明:BE平面D 1AE;(2)设F为CD 1的中点,在线段AB上是否存
35、在一点M,使得MF平面D 1AE?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.解析 (1)证明:由已知得矩形ABCD中,AD=DE=EC=BC=2,AE=BE=2 ,又AB=4,AE 2+BE2=AB2,AEB=90,2即BEAE,又平面D 1AE平面ABCE,平面D 1AE平面ABCE=AE,BE平面ABCE,BE平面D 1AE.(2)存在, = .理由如下:14取D 1E的中点L,连接FL,AL,FLEC,且FL= EC.12又ECAB,EC= AB,FLAB,且FL= AB,12 14M,F,L,A四点共面,若MF平面AD 1E,则MFAL.四边形AMFL为平行四边形,AM=FL= AB,
36、1422故线段AB上存在点M,使得MF平面D 1AE, = .146.(2017河北衡水中学五调考试,18)一个多面体的直观图和三视图如图所示,M,N分别是线段AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该几何体的体积与表面积;(2)求证:GNAC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP平面FMC,并给出证明.解析 (1)由三视图可知该几何体为直三棱柱,ADDF,DF=AD=DC=a,故该几何体的体积为 a3,12表面积为 a22+ a2+a2+a2=(3+ )a2.12 2 2(2)证明:连接FN,DB,可知B,N,D共线,且ACDN.又FDAD,FDCD,ADCD=D,FD
37、平面ABCD.又AC平面ABCD,FDAC.又DNFD=D,AC平面FDN.又GN平面FDN,GNAC.(3)当点P与点A重合时,GP平面FMC.证明如下:取FC的中点H,连接GH,GA,MH,FG=GD,G是DF的中点,GHCD,且GH= CD.12M是AB的中点,ABCD,AMCD, 且AM= CD.12GHAM,且GH=AM.四边形GHMA是平行四边形.GAMH.23又MH平面FMC,GA平面FMC,GA平面FMC,即GP平面FMC.C组 20162018年模拟方法题组方法1 判定或证明线面平行的方法1.(2018江西南昌二中月考,19)直三棱柱ABC-ABC中,BAC=90,AB=AC
38、= ,AA=1,点M,N分别为AB和BC的中点.2(1)证明:MN平面AACC;(2)求三棱锥A-MNC的体积.解析 (1)证法一:连接AB,AC,因为三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,所以M为AB的中点.又因为N为BC的中点,所以MNAC,又MN平面AACC,AC平面AACC,所以MN平面AACC.证法二:取AB的中点P,连接MP,NP.因为M,N分别为AB和BC的中点,所以MPBB,NPAC,易知AABB,所以MPAA.因为MP平面AACC,AA平面AACC,所以MP平面AACC,同理,NP平面AACC.又MPNP=P,因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN,因此MN平面AACC.(2
39、)解法一:连接BN,由题意知ANBC,因为平面ABC平面BBCC=BC,平面ABC平面BBCC,所以AN平面NBC.又AN= BC=1,1224故V A-MNC=VN-AMC= VN-ABC= VA-NBC= .12 12 16解法二:连接BN.V A-MNC=VA-NBC-VM-NBC= VA-NBC= .12 162.(2017福建莆田质检,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形,E为SA的中点,SA=SB=2,AB=2 ,BC=3.3(1)证明:SC平面BDE;(2)若BCSB,求三棱锥C-BDE的体积.解析 (1)证法一:连接AC,设ACBD=O,四边形ABCD为矩形
40、,O为AC的中点.在ASC中,E为AS的中点,SCOE,又OE平面BDE,SC平面BDE,SC平面BDE.证法二:如图,将四棱锥S-ABCD补形为三棱柱ABS-DCP,取DP的中点F,连接FC,FE,FS,易证得四边形DESF为平行四边形,FSDE,又DE平面BDE,FS平面BDE,FS平面BDE.易知四边形BCFE为平行四边形,CFBE,又BE平面BDE,CF 平面BDE,CF平面BDE,FSCF=F,FS平面SCF,CF 平面SCF,平面BDE平面SCF.又SC平面SCF,SC平面BDE.(2)解法一:BCAB,BCSB,ABSB=B,25BC平面SAB,又BCAD,AD平面SAB.SC平
41、面BDE,点C与点S到平面BDE的距离相等,V C-BDE=VS-BDE=VD-SBE,在ABS中,SA=SB=2,AB=2 ,3S ABS = 2 1= .12 3 3又E为AS的中点,S BES = SABS = .12 32又点D到平面BES的距离为AD的长,V D-BES= SBES AD= 3= ,13 13 32 32V C-BDE= ,即三棱锥C-BDE的体积为 .32 32解法二:过E作EHAB,垂足为H.BCAB,BCSB,ABSB=B,BC平面ABS,EH平面ABS,EHBC,又EHAB,ABBC=B,EH平面ABCD.在SAB中,取AB的中点M,连接SM,则SMAB,由已
42、知易求SM=1.由作图知EH= SM,EH= ,12 12又S BCD = 32 =3 ,12 3 3V C-BDE=VE-BCD= SBCD EH= 3 = .13 13 3 12 32故三棱锥C-BDE的体积为 .32方法2 判定或证明面面平行的方法3.(2018吉林长春质量监测,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.26解析 (1)证明:M,N分别为PD,AD的中点,MNPA,又MN平面PAB,PA 平面PAB,
43、MN平面PAB.在RtACD中,CAD=60,易知CN=AN,ACN=60.又BAC=60,CNAB.CN平面PAB,AB平面PAB,CN平面PAB.又CNMN=N,平面CMN平面PAB.(2)由(1)知,平面CMN平面PAB,点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离,ABC=90,CBAB.PA平面ABCD,PABC,BC平面PAB.AB=1,ABC=90,BAC=60,BC= ,3三棱锥P-ABM的体积V=V M-PAB=VC-PAB= 12 = .13 12 3 334.(2017河北衡水中学期中,18)如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,ABCD,点O是线
44、段AB的中点,PO平面ABCD,PO=CD=DA= AB=4,M是线段PA的中点.12(1)证明:平面PBC平面ODM;(2)求点A到平面PCD的距离.解析 (1)证明:由题意,得CDBO,且CD=BO,四边形OBCD为平行四边形,BCOD.BC平面PBC,OD平面PBC,OD平面PBC.27又AO=OB,AM=MP,OMPB.又OM平面PBC,PB平面PBC,OM平面PBC.又OMOD=O,平面PBC平面ODM.(2)取CD的中点N,连接ON,PN,如图所示,则ONCD.PO平面ABCD,CD平面ABCD,POCD.又ONCD,POON=O,CD平面PNO.PN平面PNO,CDPN.ON,PN分别为ACD,PCD的公共边CD上的高.由题意可求得ON=2 ,则PN=2 ,3 7设点A到平面PCD的距离为d.V 三棱锥A-PCD =V三棱锥P-ACD ,即 42 d= 42 4,13 12 7 13 12 3d= .即点A到平面PCD的距离为 .4217 4217
