1、18.5 直线、平面垂直的判定和性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度直线、平面垂直的判定与性质1.理解空间直线、平面垂直的定义2.理解空间中的直线、平面垂直的有关性质和判定,并会证明3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2017课标全国,10;2017课标全国,18;2017课标全国,19;2016课标全国,18;2015课标,18选择题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,线线、线面、面面垂直的判定与性质是考查的重点之一.考查的具体内容可分为两个层次:一是将定义、判定和性质结合起来,以客观题的形式出现,判断某些命题的真假;二是以常见几何体
2、为背景,以解答题的形式出现,证明几何体中的线和平面的垂直关系,充分考查线线、线面、面面之间的相互转化.分值约为6分,属中档题.2(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD= x,PE= x.222故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD= ABADPE= x3.13 13由题设得 x3= ,故x=2.13 83从而PA=PD=2,AD=BC=2 ,PB=P
3、C=2 .2 23可得四棱锥P-ABCD的侧面积为 PAPD+ PAAB+ PDDC+ BC2sin 60=6+2 .12 12 12 12 3五年高考考点 直线、平面垂直的判定与性质1.(2017课标全国,10,5分)在正方体ABCD-A 1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )A.A1EDC 1 B.A1EBD C.A1EBC 1 D.A1EAC答案 C 2.(2014浙江,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面( )A.若mn,n,则mB.若m,则mC.若m,n,n,则mD.若mn,n,则m答案 C 3.(2017课标全国,19,12分)如图,四面体ABCD中,ABC是
4、正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.解析 (1)证明:取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.从而AC平面DOB,故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO 2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO 2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由题设知AEC为直角三角形,所以EO= AC.124又ABC是正三角形,且AB=BD,所以E
5、O= BD.12故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的 ,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的 ,12 12即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.4.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明 (1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BC
6、D,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC 平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.5.(2016课标全国,18,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.解析 (1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.5因为D在平面PAB内的正投影为E,所以
7、ABDE.(2分)又PDDE=D,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(4分)(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC,又PAPC=P,因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.(7分)连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD= CG.(9分)23由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE= PG,DE= P
8、C.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角23 13形且PA=6,可得DE=2,PE=2 .在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,(11分)2所以四面体PDEF的体积V= 222= .(12分)13 12 436.(2016北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.解析 (1)证明:因为PC平面ABCD,所以PCDC.(2分)又因为DCAC,ACPC=C,所以DC平面PAC.(4分)(2)证明:因为ABDC
9、,DCAC,所以ABAC.(6分)因为PC平面ABCD,所以PCAB.(7分)6又ACPC=C,所以AB平面PAC.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.证明如下:(10分)取PB的中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EFPA.(13分)又因为PA平面CEF,所以PA平面CEF.(14分)7.(2015课标,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.63解析 (1
10、)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC= x,GB=GD= .32 2因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG= x.32由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE= x.22由已知得,三棱锥E-ACD的体积V E-ACD= ACGDBE= x3= .故x=2.13 12 624 63从而可得AE=EC=ED= .6所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为 .57故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2
11、.5教师用书专用(819)8.(2013北京,8,5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD 1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个答案 B 9.(2017山东,18,12分)由四棱柱ABCD-A 1B1C1D1截去三棱锥C 1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A 1E平面ABCD.(1)证明:A 1O平面B 1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A 1EM平面B 1CD1.证明 (1)取B 1D1的中点O 1,连接CO 1,A1O1,由于ABCD-A 1
12、B1C1D1是四棱柱,所以A 1O1OC,A 1O1=OC,因此四边形A 1OCO1为平行四边形,所以A 1OO 1C.又O 1C平面B 1CD1,A1O平面B 1CD1,所以A 1O平面B 1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A 1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A 1EBD,因为B 1D1BD,所以EMB 1D1,A1EB 1D1,又A 1E,EM平面A 1EM,A1EEM=E,8所以B 1D1平面A 1EM,又B 1D1平面B 1CD1,所以平面A 1EM平面B 1CD1.10.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C
13、1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B 1B上,且B 1DA 1F,A1C1A 1B1.求证:(1)直线DE平面A 1C1F;(2)平面B 1DE平面A 1C1F.证明 (1)在直三棱柱ABC-A 1B1C1中,A 1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA 1C1.又因为DE平面A 1C1F,A1C1平面A 1C1F,所以直线DE平面A 1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A 1B1C1中,A 1A平面A 1B1C1.因为A 1C1平面A 1B1C1,所以A 1AA 1C1.又因为A 1C1A 1B1,A1A平面ABB 1A1,A1B1平面AB
14、B 1A1,A1AA 1B1=A1,所以A 1C1平面ABB 1A1.因为B 1D平面ABB 1A1,所以A 1C1B 1D.又因为B 1DA 1F,A1C1平面A 1C1F,A1F平面A 1C1F,A1C1A 1F=A1,所以B 1D平面A 1C1F.因为直线B 1D平面B 1DE,所以平面B 1DE平面A 1C1F.11.(2015重庆,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC= ,点D,E在线段AC上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC.2(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.解析
15、 (1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC.9又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,从而PEAB.因ABC= ,EFBC,故ABEF.2从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.(2)设BC=x,则在直角ABC中,AB= = ,2-2 36-2从而S ABC = ABBC= x .12 12 36-2由EFBC知, = = ,得AFEABC,23故 = = ,即S AFE = SABC .(23)249 49由AD= AE,SAFD = SAFE = SABC
16、 = SABC12 12 12 49 29= x ,19 36-2从而四边形DFBC的面积为S DFBC=SABC -SAFD= x - x12 36-219 36-2= x .71836-2由(1)知,PE平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角PEC中,PE= = =2 .2-2 42-22 3体积V P-DFBC= SDFBCPE= x 2 =7,13 13 71836-2 3故得x 4-36x2+243=0,解得x 2=9或x 2=27,由于x0,可得x=3或x=3 ,所以,BC=3或BC=3 .3 312.(2015湖北,20,13分)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧
17、棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.(1)证明:DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;10(2)记阳马P-ABCD的体积为V 1,四面体EBCD的体积为V 2,求 的值.12解析 (1)因为PD底面ABCD,所以PDBC.由底面ABCD为长方形,有BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD.又DE平面PCD,所以BCDE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PC
18、BC=C,所以DE平面PBC.由BC平面PCD,DE平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形.即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是BCD,BCE,DEC,DEB.(2)易知PD是阳马P-ABCD的高,所以V 1= SABCDPD= BCCDPD;13 13由(1)知,DE是鳖臑D-BCE的高,BCCE,所以V 2= SBCE DE= BCCEDE.13 16在RtPDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE= CD,22于是 = = =4.121316213.(2014湖北,20,13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分
19、别是棱AB,AD,DD 1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC 1平面EFPQ;(2)直线AC 1平面PQMN.证明 (1)连接AD 1,由ABCD-A 1B1C1D1是正方体,知AD 1BC 1,因为F,P分别是AD,DD 1的中点,所以FPAD 1.11从而BC 1FP.而FP平面EFPQ,且BC 1平面EFPQ,故直线BC 1平面EFPQ.(2)连接AC,BD,则ACBD.由CC 1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC 1BD.又ACCC 1=C,所以BD平面ACC 1.而AC 1平面ACC 1,所以BDAC 1.因为M,N分别是A 1B1,A1D1的中点,所以M
20、NBD,从而MNAC 1.同理可证PNAC 1.又PNMN=N,所以直线AC 1平面PQMN.14.(2014重庆,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面ABCD,AB=2,BAD= ,M为BC上一点,且BM= .3 12(1)证明:BC平面POM;(2)若MPAP,求四棱锥P-ABMO的体积.解析 (1)证明:如图,连接OB,因为ABCD为菱形,O为菱形的中心,所以AOOB.因为BAD= ,所以OB=ABsinOAB=2sin =1,3 6又因为BM= ,且OBM= ,所以在 OBM中,OM 2=OB2+BM2-2OBBMcosOBM=1 2+ -21 c
21、os = .12 3 (12)2 12 334所以OB 2=OM2+BM2,故OMBM.又PO底面ABCD,所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC平面POM.(2)由(1)可得,OA=ABcosOAB=2cos = .6 312设PO=a,由PO底面ABCD知,POA为直角三角形,故PA 2=PO2+OA2=a2+3.又POM也是直角三角形,故PM 2=PO2+OM2=a2+ .34连接AM,在ABM中,AM 2=AB2+BM2-2ABBMcosABM=2 2+ -22 cos = .(12)2 12 23 214由于MPAP,故APM为直角三角形,则PA
22、2+PM2=AM2,即a 2+3+a2+ = ,得a= 或a=- (舍去),即PO= .34214 32 32 32此时S 四边形ABMO =SAOB +SOMB = AOOB+ BMOM= 1+ = .12 12 12 3 12 12 32 538所以V P-ABMO= S四边形ABMO PO= = .13 13 538 32 51615.(2014课标,19,12分)如图,三棱柱ABC-A 1B1C1中,侧面BB 1C1C为菱形,B 1C的中点为O,且AO平面BB 1C1C.(1)证明:B 1CAB;(2)若ACAB 1,CBB 1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A 1B1C1的高.解析
23、 (1)连接BC 1,则O为B 1C与BC 1的交点.因为侧面BB 1C1C为菱形,所以B 1CBC 1.又AO平面BB 1C1C,所以B 1CAO,故B 1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B 1CAB.(2)作ODBC,垂足为D,连接AD.作OHAD,垂足为H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所以OH平面ABC.因为CBB 1=60,所以CBB 1为等边三角形,又BC=1,所以OD= .34由于ACAB 1,所以OA= B1C= .12 12由OHAD=ODOA,且AD= = ,2+274得OH= .2114又O为B 1C的中点,所以点B 1到平面AB
24、C的距离为 .217故三棱柱ABC-A 1B1C1的高为 .21716.(2013辽宁,18,12分)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.13(1)求证:BC平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为AOC的重心,求证:QG平面PBC.证明 (1)由AB是圆O的直径,得ACBC.由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.又PAAC=A,PA平面PAC,AC 平面PAC,所以BC平面PAC.(6分)(2)连接OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QMPC.由O为AB中点,得OMBC.因为QMMO=M,QM平面QM
25、O,MO 平面QMO,BCPC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO,所以QG平面PBC.(12分)17.(2013四川,19,12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA 1底面ABC,AB=AC=2AA 1=2,BAC=120,D,D 1分别是线段BC,B 1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A 1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面ADD 1A1;(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A 1-QC1D的体积.（锥体体积公式:V= Sh,其中S为底面面积,h为高）13解析 (
26、1)如图,在平面ABC内,过点P作直线lBC,14因为l在平面A 1BC外,BC在平面A 1BC内,所以l平面A 1BC.因为AB=AC,D是BC的中点,所以BCAD,则直线lAD.因为AA 1平面ABC,所以AA 1直线l.又因为AD,AA 1在平面ADD 1A1内,且AD与AA 1相交,所以直线l平面ADD 1A1.(7分)(2)过D作DEAC于E.因为AA 1平面ABC,所以DEAA 1.又因为AC,AA 1在平面AA 1C1C内,且AC与AA 1相交,所以DE平面AA 1C1C.由AB=AC=2,BAC=120,有AD=1,DAC=60,所以在ACD中,DE= AD= ,32 32又
27、= A1C1AA1=1,1112所以 = = DE = 1= .1-1-1113 1113 32 36因此三棱锥A 1-QC1D的体积是 .(12分)3618.(2013山东,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE平面PAD;(2)求证:平面EFG平面EMN.证明 (1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EHAB,EH= AB.12又ABCD,CD= AB,1215所以EHCD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH
28、平面PAD,CE平面PAD,因此,CE平面PAD.证法二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF= AB.12又CD= AB,所以AF=CD.12又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CFAD.又CF平面PAD,所以CF平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又EF平面PAD,所以EF平面PAD.因为CFEF=F,故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF,所以CE平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可证ABFG.16又EFFG=F,EF平面EFG,FG 平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分别为PD,
29、PC的中点,所以MNCD.又ABCD,所以MNAB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.19.(2013江西,19,12分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB=2,AD= ,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.2(1)证明:BE平面BB 1C1C;(2)求点B 1到平面EA 1C1的距离.解析 (1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD= ,EF=AB-DE=1,FC=2.2在RtBEF中,BE= .3在RtCFB中,BC= .6在BEC中,因为BE 2+BC2=9=EC2,故BEBC.由BB 1平面ABCD得
30、BEBB 1,所以BE平面BB 1C1C.(2)三棱锥E-A 1B1C1的体积V= AA1 = .13 111 2在RtA 1D1C1中,A 1C1= =3 .121+121 2同理,EC 1= =3 ,2+21 217A1E= =2 .12+2+2 3故 =3 .11 5设点B 1到平面EA 1C1的距离为d,则三棱锥B 1-A1C1E的体积V= d = d,13 11 5从而 d= ,d= .5 2105三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点 直线、平面垂直的判定与性质1.(2018广东七校联考,4)设、为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m的一个充分条件为( )A.,=l,
31、mlB.=m,C.,mD.n,n,m答案 D 2.(2017广东广州一模,4)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A.若,m,n,则mnB.若m,mn,n,则C.若mn,m,n,则D.若,m,n,则mn答案 B 3.(2017河北唐山一模,8)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有( )A.AG平面EFH B.AH平面EFHC.HF平面AEF D.HG平面AEF答案 B4.(2018福建福安一中期中联考,20)如
32、图,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面ABCD平面ABEF,AFBE,ABB18E,BE=2,AF=1.(1)求证:AC平面BDE;(2)求三棱锥C-DEF的体积.解析 (1)证明:平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,BE平面ABEF,且ABBE,BE平面ABCD.又AC平面ABCD,BEAC.四边形ABCD为正方形,ACBD.BD,BE平面BDE,BDBE=B,AC平面BDE.(2)取DE的中点G,记ACBD=O,连接OG,FG,四边形ABCD为正方形,O是BD的中点,所以OGBE,OG= BE,又AF12BE,AF= BE,12AFOG,AF=OG,四边形AOGF
33、是平行四边形,OAFG.OA平面DEF,FG平面DEF,OA平面DEF.点C到平面DEF的距离等于点A到平面DEF的距离,V C-DEF=VA-DEF=VD-AEF= SAEF AD= ,13 23三棱锥C-DEF的体积为 .235.(2018河南洛阳期中,21)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是直角梯形,ADC=90,ADP是边长为2的等边三角形,Q是AD的中点,M是棱PC的中点,BC=1,CD= ,PB= .3 6(1)求证:平面PAD平面ABCD;(2)求三棱锥B-PQM的体积.19解析 (1)证明:底面四边形ABCD是直角梯形,Q是AD的中点,BC=1,AD=2,BC=
34、QD=1,ADBC,四边形BCDQ为平行四边形,CDBQ,CD=BQ.ADC=90,QBAD.又PA=PD=2,AD=2,Q是AD的中点,故PQ= ,3又QB=CD= ,PB= ,3 6PB 2=PQ2+QB2,由勾股定理的逆定理可知PQQB,又PQAD=Q,BQ平面PAD,又BQ平面ABCD,平面PAD平面ABCD.(2)连接CQ,PA=PD,Q是AD的中点,PQAD.平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,PQ平面PAD,PQ平面ABCD.又M是棱PC的中点,故V B-PQM=VP-BQC-VM-BQC=VP-BQC- VP-BQC= VP-BQC,12 12而PQ= ,S
35、BQC = 1 = ,312 3 32V P-BQC= SBQC PQ= = ,13 13 32 312V B-PQM= = .12 12146.(2017广东广州12月联考,19)在三棱锥P-ABC中,PAB是等边三角形,APC=BPC=60.(1)求证:ABPC;20(2)若PB=4,BEPC,求三棱锥B-PAE的体积.解析 (1)证明:因为PAB是等边三角形,APC=BPC=60,PC=PC,所以PACPBC,所以AC=BC,如图,取AB的中点D,连接PD,CD,则PDAB,CDAB,因为PDCD=D,所以AB平面PDC,因为PC平面PDC,所以ABPC.(2)由(1)知PBCPAC,又
36、BEPC,所以AEPC,AE=BE.在RtPEB中,BE=4sin 60=2 ,PE=4cos 60=2.3因为BEPC,AEPC,BEAE=E,所以PC平面ABE.因为AB=4,AE=BE=2 ,3所以AEB的面积S= AB =4 .12 2-(12)2 2因为三棱锥B-PAE的体积等于三棱锥P-ABE的体积,所以三棱锥B-PAE的体积V= SPE= 4 2= .13 13 2 823B组 20162018年模拟提升题组(满分:70分 时间:60分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018黑龙江哈六中模拟,8)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,E
37、F把正方形折成一个四21面体,使B,C,D三点重合为P点,点P在AEF内的射影为O,则下列说法正确的是( )A.O是AEF的垂心 B.O是AEF的内心C.O是AEF的外心 D.O是AEF的重心答案 A 2.(2018江西南昌调研,10)如图,四棱锥P-ABCD中,PAB与PBC是正三角形,平面PAB平面PBC,ACBD,则下列结论不一定成立的是( )A.PBAC B.PD平面ABCDC.ACPD D.平面PBD平面ABCD答案 B 3.(2017江西南昌摸底考试,3)如图,在四面体ABCD中,已知ABAC,BDAC,那么点D在平面ABC内的射影H必在( )A.直线AB上 B.直线BC上C.直线
38、AC上 D.ABC内部答案 A 4.(2017湖北武汉月考,9)如图,在矩形ABCD中,AB= ,BC=1,将ACD沿AC折起,使得D折起后的位置为D 1,且D 1在3平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面体D 1ABC的四个面中,有n对平面相互垂直,则n等于( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 B 二、填空题(共5分)5.(2017豫西五校联考,14)如图所示,在直三棱柱ABC-22A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ABC=90,AC=2a,BB 1=3a,D是棱A 1C1的中点,点F在AA 1(不包括端点)上,当AF= 时,CF平面B 1DF. 答案 a或2a三、解答题(每小题1
39、5分,共45分)6.(2018湖北八校模拟,18)如图,直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=5,AA=AB=6,D,E分别为AB和BB上的点,且 =.(1)当D为AB的中点时,求证:ABCE;(2)当D在AB上运动时,求三棱锥A-CDE体积的最小值.解析 (1)证明:D为AB的中点, = ,故E为BB的中点,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,平行四边形ABBA为正方形,DEAB,AC=BC,D为AB的中点,CDAB,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,CD平面ABBA,又AB平面ABBA,CDAB,又CDDE=D,AB平面CDE,CE平面CDE,ABCE.(2)设BE=x(00.(1)求证:平面S
40、AB平面MAC;(2)试确定m的值,使三棱锥S-ABC的体积为三棱锥S-MAC的体积的3倍.24解析 (1)证明:在ABC中,AB=2,AC=4,BC=2 ,5AB 2+AC2=BC2,故ABAC.又平面SAB平面ABCD,平面SAB平面ABCD=AB,AC平面ABCD,AC平面SAB,又AC平面MAC,故平面SAB平面MAC.(2)VS-MAC=VM-SAC= VD-SAC= VS-ADC,+1 +1 = = = 2=3m=2.-+1-+1 +1C组 20162018年模拟方法题组方法1 判定或证明线面垂直的方法1.(2018河南、河北两省联考,20)如图,在梯形ABCD中,ABAD,ABC
41、D,CD=2AD=2,DE平面ABCD,DEBF,BDCF,AFCE.(1)求证:CEDF;(2)求证:BD平面BCF;(3)求AB的长.解析 (1)证明:因为ABAD,ABCD,所以CDAD.因为DE平面ABCD,所以DEAD.又因为CDDE=D,所以AD平面CDE.所以ADCE.又因为AFCE,ADAF=A,所以CE平面ADF.所以CEDF.(2)证明:因为DE平面ABCD,DEBF,25所以BF平面ABCD.所以BFBD.因为BDCF,且BFCF=F,所以BD平面BCF.(3)作BBCD,垂足为B,由(2)得,BD平面BCF,所以BDBC.由作图知四边形ABBD为矩形.设AB=DB=x,
42、则CB=2-x.易证CBBBBD,所以 = . 易知BB=AD=1,所以 = ,解得x=1,即AB=1.2-1 12.(2017广东七校第二次联考,19)如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,ABC=60,PA=AC=1,PB=PD= ,点E在PD上,且 =2.2(1)求证:PA平面ABCD;(2)在棱PC上是否存在点F,使得BF平面EAC?若存在,指出F的位置;若不存在,请说明理由.解析 (1)证明:在菱形ABCD中,ABC=60,AC=AB=BC=1,PA=AC=1,PA=AB=AD=1,PB=PD= ,2PA 2+AB2=PB2,PA2+AD2=PD2,PAAB,PAAD.26ABA
43、D=A,PA平面ABCD.(2)存在.取PE的中点M,PC的中点F,连接BD交AC于O,连接OE,BM,BF,MF,四边形ABCD是菱形,O是BD的中点, =2,E是PD的靠近点D的三等分点,又M是PE的中点,E是MD的中点,OE是BDM的中位线,BMOE,BM平面AEC,OE平面AEC,BM平面AEC,同理,MF平面AEC,又BMMF=M,BM,MF平面BMF,平面AEC平面BMF,BF平面BMF,BF平面AEC,在棱PC上存在点F,使得BF平面AEC,此时点F是PC的中点.方法2 判定或证明面面垂直的方法3.(2018江西南昌二中月考,20)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为
44、菱形,且DAB=60,PA=PD,M为CD的中点,BDPM.(1)求证:平面PAD平面ABCD;(2)若APD=90,四棱锥P-ABCD的体积为 ,求三棱锥A-PBM的高.233解析 (1)证明:取AD的中点E,连接PE,EM,AC.PA=PD,PEAD.四边形ABCD为菱形,BDAC,又M为CD的中点,EMAC,EMBD.27又BDPM,EMPM=M,BD平面PEM,则BDPE,BDAD=D,PE平面ABCD.又PE平面PAD,平面PAD平面ABCD.(2)连接BE,设PA=PD=a,由APD=90,可得AD= a,PE= a,222S菱形ABCD = ( a)22= a2.34 2 3由(
45、1)可知PE平面ABCD,则VP-ABCD= PES菱形ABCD = a a2= a3= ,13 13 22 3 66 233a 3=2 ,则PA=PD= ,AD=2.2 2易知PE=1,BE=EM=BM= ,PB=PM=2.3S PBM = ,SABM = .394 3设三棱锥A-PBM的高为h,则由V A-PBM=VP-ABM可得 hSPBM = PESABM ,13 13即h= = .3394 41313三棱锥A-PBM的高为 .413134.(2017河北唐山一模,19)如图,三棱柱ABC-A 1B1C1中,A 1A平面ABC,ACB=90,AC=CB=CC 1=2,M是AB的中点.(1)求证:平面A 1CM平面ABB 1A1;(2)求点M到平面A 1CB1的距离.解析 (1)证明:由A 1A平面ABC,CM平面ABC,得A 1ACM.由AC=CB,M是AB的中点,得ABCM.又A 1AAB=A,28所以CM平面ABB 1A1,又CM平面A 1CM,所以平面A 1CM平面AB
