1、16.3 等比数列及其前n项和考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型预测热度1.等比数列的定义及通项公式1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式3.了解等比数列与指数函数的关系2017课标全国,17;2016课标全国,17;2015浙江,62.等比数列的性质及其应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2014北京,15;2015课标,9;2015广东,133.等比数列的前n项和公式 掌握等比数列的前n项和公式 2017课标全国,17;2017江苏,9;2016北京,15选择题、填空题、解答题分析解读本节在高考中主要考查等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式及等比中项等相关
2、内容.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.本节内容在高考中分值为5分左右,难度不大.五年高考考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2014安徽,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2 .过点A作BC的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC的2垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C的垂线,垂足为A 3;,依此类推.设BA=a 1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7,则a 7= .2答案 142
3、.(2017课标全国,17,12分)已知等差数列a n的前n项和为S n,等比数列b n的前n项和为T n,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a 3+b3=5,求b n的通项公式;(2)若T 3=21,求S 3.解析 设a n的公差为d,b n的公比为q,则a n=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a 2+b2=2得d+q=3.(1)由a 3+b3=5得2d+q 2=6.联立和解得 (舍去),或=3,=0 =1,=2.因此b n的通项公式为b n=2n-1.(2)由b 1=1,T3=21得q 2+q-20=0.解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S 3=21.当q
4、=4时,由得d=-1,则S 3=-6.3.(2016课标全国,17,12分)已知a n是公差为3的等差数列,数列b n满足b 1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.13(1)求a n的通项公式;(2)求b n的前n项和.解析 (1)由已知,a 1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得a 1=2,(3分)13所以数列a n是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(5分)(2)由(1)和a nbn+1+bn+1=nbn得b n+1= ,(7分)3因此b n是首项为1,公比为 的等比数列.(9分)13记b n的前n项和为S n,则S n= = - .(12分)1-(
5、13)1-13 32 123-1教师用书专用(47)4.(2014福建,17,12分)在等比数列a n中,a 2=3,a5=81.(1)求a n;3(2)设b n=log3an,求数列b n的前n项和S n.解析 (1)设a n的公比为q,依题意得 1=3,14=81,解得 因此,a n=3n-1.1=1,=3.(2)因为b n=log3an=n-1,所以数列b n的前n项和S n= = .(1+)2 2-25.(2014北京,15,13分)已知a n是等差数列,满足a 1=3,a4=12,数列b n满足b 1=4,b4=20,且b n-an为等比数列.(1)求数列a n和b n的通项公式;(
6、2)求数列b n的前n项和.解析 (1)设等差数列a n的公差为d,由题意得d= = =3.所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,).4-13 12-33设等比数列b n-an的公比为q,由题意得q3= = =8,解得q=2.4-41-120-124-3所以b n-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,).数列3n的前n项和为 n(n+1),数列2 n-1的前n项和为1 =2n-1.32 1-21-2所以数列b n的前n项和为 n(n+1)+2n-1.326.(2013四川,16,12
7、分)在等比数列a n中,a 2-a1=2,且2a 2为3a 1和a 3的等差中项,求数列a n的首项、公比及前n项和.解析 设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a 1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a 1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a 1=1.所以数列的前n项和S n= .3-127.(2013天津,19,14分)已知首项为 的等比数列a n的前n项和为S n(nN *),且-2S 2,S3,4S4成等差数列.324(1)求数列a n的通项公式;(2)证明S n+ (nN *).1 13
8、6解析 (1)设等比数列a n的公比为q,因为-2S 2,S3,4S4成等差数列,所以S 3+2S2=4S4-S3,即S 4-S3=S2-S4,可得2a 4=-a3,于是q= =- .又a 1= ,所以等比数列a n的通项公式为 an= =(-1)n-1 .43 12 32 32 (-12)-1 32(2)证明:S n=1- ,Sn+ =1- + =(-12) 1 (-12)11-(-12)2+ 12(2+1),为 奇数 ,2+ 12(2-1),为 偶数 .当n为奇数时,S n+ 随n的增大而减小 ,所以S n+ S 1+ = .1 1 11136当n为偶数时,S n+ 随n的增大而减小 ,所
9、以S n+ S 2+ = .1 1 122512故对于nN *,有S n+ .1 136考点二 等比数列的性质及其应用1.(2015课标,9,5分)已知等比数列a n满足a 1= ,a3a5=4(a4-1),则a 2=( )14A.2 B.1 C. D.12 18答案 C 2.(2015广东,13,5分)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2 ,c=5-2 ,则b= .6 6答案 13.(2014广东,13,5分)等比数列a n的各项均为正数,且a 1a5=4,则log 2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .答案 5教师用书专用(45)4.(2014大纲全
10、国,8,5分)设等比数列a n的前n项和为S n.若S 2=3,S4=15,则S 6=( )A.31 B.32C.63 D.64答案 C 5.(2013辽宁,14,5分)已知等比数列a n是递增数列,S n是a n的前n项和.若a 1,a3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= .答案 63考点三 等比数列的前n项和公式51.(2013课标全国,6,5分)设首项为1,公比为 的等比数列a n的前n项和为S n,则( )23A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an答案 D 2.(2017江苏,9,5分)等比数列a n的各项均为实数,其前n项和
11、为S n.已知S 3= ,S6= ,则a 8= .74 634答案 323.(2015课标,13,5分)在数列a n中,a 1=2,an+1=2an,Sn为a n的前n项和.若S n=126,则n= .答案 64.(2017课标全国,17,12分)记S n为等比数列a n的前n项和.已知S 2=2,S3=-6.(1)求a n的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析 (1)设a n的公比为q,由题设可得 ,1(1+)=2,1(1+2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故a n的通项公式为a n=(-2)n.(2)由(1)可得S n= =- +(-1)n
12、.1(1-)1- 23 2+13由于S n+2+Sn+1=- +(-1)n43 2+3-2+23=2 =2Sn,-23+(-1)2+13 故S n+1,Sn,Sn+2成等差数列.5.(2016北京,15,13分)已知a n是等差数列,b n是等比数列,且b 2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求a n的通项公式;(2)设c n=an+bn,求数列c n的前n项和.解析 (1)等比数列b n的公比q= = =3,(1分)3293所以b 1= =1,b4=b3q=27.(3分 )2设等差数列a n的公差为d.因为a 1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.(
13、5分)所以a n=2n-1(n=1,2,3,).(6分)6(2)由(1)知,a n=2n-1,bn=3n-1.因此c n=an+bn=2n-1+3n-1.(8分)从而数列c n的前n项和S n=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1= +(1+2-1)2 1-31-3=n2+ .(13分 )3-12教师用书专用(611)6.(2013江西,12,5分)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN *)等于 .答案 67.(2013北京,11,5分)若等比数列a n满足a 2+a4=20,a3+a5=40,则公比q= ;前n项和S
14、n= .答案 2;2 n+1-28.(2015四川,16,12分)设数列a n(n=1,2,3,)的前n项和S n满足S n=2an-a1,且a 1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)设数列 的前n项和为T n,求T n.1解析 (1)由已知S n=2an-a1,有a n=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即a n=2an-1(n2).从而a 2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a 1,a2+1,a3成等差数列,即a 1+a3=2(a2+1).所以a 1+4a1=2(2a1+1),解得a 1=2.所以,数列a n是首项为2,公比为2的等比数列.故a n
15、=2n.(2)由(1)得 = .112所以T n= + + = =1- .12 122 12121-(12)1-12 129.(2015重庆,16,13分)已知等差数列a n满足a 3=2,前3项和S 3= .92(1)求a n的通项公式;(2)设等比数列b n满足b 1=a1,b4=a15,求b n的前n项和T n.7解析 (1)设a n的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+ d= ,322 92化简得a 1+2d=2,a1+d= ,32解得a 1=1,d= ,12故通项公式a n=1+ ,即a n= .-12 +12(2)由(1)得b 1=1,b4=a15= =8.15+12设
16、b n的公比为q,则q 3= =8,从而q=2,41故b n的前n项和Tn= = =2n-1.1(1-)1- 1(1-2)1-210.(2014四川,19,12分)设等差数列a n的公差为d,点(a n,bn)在函数f(x)=2 x的图象上(nN *).(1)证明:数列b n为等比数列;(2)若a 1=1,函数f(x)的图象在点(a 2,b2)处的切线在x轴上的截距为2- ,求数列a n 的前n项和S n.1ln2 2解析 (1)证明:由已知可知,b n= 0,2当n1时, = =2d,+1 2+1-所以数列b n是首项为 ,公比为2 d的等比数列.21(2)函数f(x)=2 x的图象在(a
17、2,b2)处的切线方程为y- =(x-a2) ln 2,该切线在x轴上的截距为a 2- .22 22 1ln2由题意知,a 2- =2- ,解得a 2=2.1ln2 1ln2所以d=a 2-a1=1,an=n,bn=2n,an =n4n.2于是,S n=14+242+343+(n-1)4n-1+n4n,4Sn=142+243+(n-1)4n+n4n+1,因此S n-4Sn=4+42+4n-n4n+1= -n4n+1= .4+1-43 (1-3)4+1-43所以S n= .(3-1)4+1+4911.(2013湖北,19,13分)已知S n是等比数列a n的前n项和,S 4,S2,S3成等差数列
18、,且a 2+a3+a4=-18.8(1)求数列a n的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得S n2 013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列a n的公比为q,则a 10,q0.由题意得 2-4=3-2,2+3+4=-18,即 -12-13=12,1(1+2)=-18,解得 1=3,=-2.故数列a n的通项公式为a n=3(-2)n-1.(2)由(1)有S n= =1-(-2)n.31-(-2)1-(-2)若存在n,使得S n2 013,则1-(-2) n2 013,即(-2) n-2 012.当n为偶数时,(-2) n0,上式不成立;当n为奇数时,
19、(-2) n=-2n-2 012,即2 n2 012,则n11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为n|n=2k+1,kN,k5.三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018四川资阳一诊,4)已知各项均为正数的等比数列a n满足a 1a5=16,a2=2,则公比q=( )A.4 B. C.2 D.52 12答案 C 2.(2017江西抚州七校联考,5)在正项等差数列a n中, =2a5-a9,且a 5+a6+a7=18,则( )21A.a1,a2,a3成等比数列 B.a4,a6,a9成等比数列C.a3,a4,a8成等比数列 D.a2
20、,a3,a5成等比数列答案 B 3.(2016河南洛阳期中模拟,6)在等比数列a n中,a 1=4,公比为q,前n项和为S n,若数列S n+2也是等比数列,则q等于( )A.2 B.-2 C.3 D.-3答案 C 4.(2018福建福安一中考试,17)已知等比数列a n的各项均为正数,且a 2=4,a3+a4=24.(1)求数列a n的通项公式;9(2)若数列b n的前n项和S n=n2+n+2n+1-2(nN *),求证:数列a n-bn是等差数列.解析 (1)设等比数列a n的公比为q,依题意知q0.因为 两式相除得q 2+q-6=0,1=4,12+13=24,解得q=2或q=-3(舍去
21、).所以a 1= =2.2所以数列a n的通项公式为a n=a1qn-1=2n.(2)证明:当n=1时,b 1=4;当n2时,b n=Sn-Sn-1=n2+n+2n+1-2-(n-1)2-(n-1)-2n+2=2n+2n,又b 1=4符合此式,b n=2n+2n(nN *),设c n=an-bn,则c n=-2n,当n2时,c n-cn-1=-2,c n即a n-bn是等差数列.考点二 等比数列的性质及其应用5.(2018福建上杭调研,6)等比数列a n的各项均为正数,且a 5a6+a4a7=18,则log 3a1+log3a2+log3a10=( )A.12 B.8 C.10 D.2+log
22、35答案 C 6.(2018安徽淮北二模,7)5个数依次组成等比数列,且公比为-2,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )A.- B.-2 C.- D.-2120 2110 215答案 C 7.(2017广东深圳一模,4)已知等比数列a n的前n项和S n=a3n-1+b,则 =( )A.-3 B.-1 C.1 D.3答案 A 8.(2017辽宁六校协作体期中联考,9)在等比数列a n中,a 5+a6=a(a0),a 15+a16=b,则a 25+a26的值是( )A. B. C. D. 22 2 2答案 C 9.(2017广东惠州二调,4)已知a n为等比数列,a 4+a7=2,a5a6=-
23、8,则a 1+a10=( )A.7 B.-7 C.-5 D.5答案 B 10.(2018广东惠州一调,15)已知等比数列a n的公比为正数,且a 3a9=2 ,a2=1,则a 1= .25答案 2210考点三 等比数列的前n项和公式11.(2018河北“名校联盟”高三教学质量监测,5)已知数列a n是递增的等比数列,a 1+a4=9,a2a3=8,则数列a n的前2 018项之和S 2 018=( )A.22 018 B.22 017-1 C.22 018-1 D.22 019-1答案 C 12.(2017湖北六校联合体4月模拟,10)在数列a n中,a 1=1,an+1=2an,则S n=
24、- + - + - 等于( 21222324 22-122)A. (2n-1) B. (1-24n) C. (4n-1) D. (1-2n)13 15 13 13答案 B 13.(2017福建龙岩五校期中,5)已知数列a n是等比数列,其前n项和是S n,若a 2=2,a3=-4,则S 5等于( )A.8 B.-8 C.11 D.-11答案 D 14.(2017江西吉安一中模拟,15)已知正项等比数列a n满足log 2an+2-log2an=2,且a 3=8,则数列a n的前n项和S n= .答案 2 n+1-215.(2017河南平顶山一模,17)已知S n为数列a n的前n项和,且2S
25、n=3an-2(nN *).(1)求a n和S n;(2)若b n=log3(Sn+1),求数列b 2n的前n项和T n.解析 (1)2S n=3an-2,当n=1时,2S 1=3a1-2,解得a 1=2;当n2时,2S n-1=3an-1-2,2S n-2Sn-1=3an-3an-1,2a n=3an-3an-1,a n=3an-1,数列a n是首项为2,公比为3的等比数列,a n=2 ,Sn= =3n-1.3-12(1-3)1-3(2)由(1)知S n=3n-1,b n=log3(Sn+1)=log33n=n,b 2n=2n,T n=2+4+6+2n= =n2+n.(2+2)2B组 201
26、62018年模拟提升题组(满分:45分 时间:30分钟)11一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018广东珠海调研,4)已知等比数列a n的公比为正数,前n项和为S n,a1+a2=2,a3+a4=6,则S 8等于( )A.81-27 B.54 C.38-1 D.803答案 D 2.(2016河南洛阳期中模拟,5)下列结论正确的是( )A.若数列a n的前n项和S n=n2+n+1,则a n为等差数列B.若数列a n的前n项和S n=2n-2,则a n为等比数列C.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则 , , 也可能构成等差数列111D.非零实数a,b,c不全相等,若a
27、,b,c成等比数列,则 , , 一定构成等比数列111答案 D 二、填空题(共5分)3.(2017江西仿真模拟,16)已知数列a n的前n项和为S n,且满足:a 1=1,a2=2,Sn+1=an+2-an+1(nN *),若不等式S nan恒成立,则实数的取值范围是 .答案 1三、解答题(每小题15分,共30分)4.(2017江西南昌三校12月联考,18)已知等比数列a n满足a n+1+an=92n-1,nN *.(1)求数列a n的通项公式;(2)设数列a n的前n项和为S n,若不等式S nkan-2对一切nN *恒成立,求实数k的取值范围.解析 (1)设等比数列a n的公比为q,a
28、n+1+an=92n-1,nN *,a 2+a1=9,a3+a2=18,q= = =2,2a 1+a1=9,a 1=3.3+22+1189a n=32n-1,nN *.(2)由(1)知S n= = =3(2n-1),1(1-)1- 3(1-2)1-2不等式化为3(2 n-1)k32n-1-2,即k0,25 +12+1数列S n单调递增,S nS 1= , 15nN *,都有 S n 对任意nN *都成立的正整数m的最小值.1解析 (1)a n+1=2an+1,a n+1+1=2(an+1),a 1=1,a1+1=20,数列a n+1是首项为2,公比为2的等比数列.a n+1=22n-1,a n=2n-1.(2)c n= = ,1(2+1)(2+3)12( 12+1- 12+3)T n= = = = .12(13-15+15-17+ 12+1- 12+3)12(13- 12+3) 3(2+3) 6+9 = = =1+ 1,+1 +16+156+9 62+15+962+15962+15又T n0,T n 对任意nN *都成立 ,1结合(1)的结果,只需 ,由此得m4.115 12-1正整数m的最小值是5.
