1、1专题跟踪训练(二十九) 概率、随机变量及其分布列一、选择题1(2018广东茂名一模)在 1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，则数字 2是这三个不同数字的平均数的概率是( )A. B. C. D.14 13 12 34解析 在 1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，基本事件总共有 4个，分别为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)数字 2是三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)，共 1个数字 2是三个不同数字的平均数的概率 P .故选 A.14答案 A2(2018广东深圳一模)两名同学分 3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得 3本书的概
2、率为( )A. B. C. D.12 14 13 16解析 两名同学分 3本不同的书，基本事件有(0,3)，(1 a,2)，(1 b,2)，(1 c,2)，(2,1a)，(2,1 b)，(2,1 c)，(3,0)，共 8个，其中一人没有分到书，另一人分到 3本书的基本事件有 2个，一人没有分到书，另一人分得 3本书的概率 P .故选 B.28 14答案 B3(2018河南濮阳二模)如图，已知电路中 4个开关闭合的概率都是 ，且是相互独12立的，则灯亮的概率为( )A. B. C. D.316 34 1316 14解析 灯泡不亮包括两种情况：四个开关都开，下边的 2个都开，上边的 2个2中有一个
3、开，灯泡不亮的概率是 ，灯亮和12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 316灯不亮是两个对立事件，灯亮的概率是 1 ，故选 C.316 1316答案 C4(2018河南安阳一模)在边长为 a的正三角形内任取一点 Q，则点 Q到三个顶点的距离均大于 的概率是( )a2A. B1 1112 36 36C. D.13 14解析 设边长为 a的正三角形为三角形 ABC，如图所示： AB a， S 三角形 ABC a2sin a2，满足到正三角形 ABC的顶点 A、 B、 C的12 3 34距离至少有一个小于或等于 的所有点组成的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起a
4、2来构成一个半径为 的半圆，a2 S 阴影 2 ，12 (a2) a28使点 Q到三个顶点 A、 B、 C的距离都大于 的概率 P1 1 .故选 B.a2 a283a24 36答案 B5在 1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字 4是取出的五个不同数的中位数的概率为( )A. B. C. D.956 928 914 593解析 设事件 A为“数字 4是取出的五个不同数的中位数” “从八个数字中取出五个数字”的种数为 nC C 56.对事件 A，先考虑数字 4在五个数的中间位置，再考虑58 38分别从数字 1,2,3和 5,6,7,8中各取两个数字，则事件 A包含
5、的基本事件种数为mC C 3618.2324由古典概型的概率计算公式，得 P(A) .mn 1856 928答案 B6(2018重庆一中一模)将 4个不同的小球装入 4个不同的盒子，则在至少有一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是( )A. B. C. D.2158 1229 2164 727解析 根据题意，将 4个不同的小球装入 4个不同的盒子的放法为 44256.若没有空盒，有 A 24(种)放法，有 1个空盒的放法有 C C A 144(种)，有 3个空盒的放法有4 14243C 4 种，则至少有一个盒子为空的放法有 25624232(种)，故“至少有一个盒子为空”14的概率
6、p1 ，恰好有两个盒子为空的放法有 25624144484(种)，故“恰好有两232256个盒子为空”的概率 p2 ，则在至少有一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空84256的概率 p .故选 A.p2p1 2158答案 A二、填空题7在 100件产品中有 95件合格品，5 件不合格品现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为_解析 解法一：设事件 A为“第一次取到不合格品” ，事件 B为“第二次取到不合格品” ，则所求的概率为 P(B|A)，因为 P(AB) ， P(A) ，C25C2100 C15C1100所以 P(B|A) .P ABP
7、A54100995100 499解法二：第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有 99件产品，其中有 4件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率为 .499答案 49948. (2018青岛模拟)如图所示的阴影部分是由 x轴，直线 x1 及曲线 ye x1 围成的，现向矩形区域 OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是_解析 由几何概型的概率计算公式可知，所求概率为 .10 ex 1 dx1 e 1 e 2e 1答案 e 2e 19(2018皖南八校联考)某班从 4名男生、2 名女生中选出 3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为 ，则 的方差 D( )_.解析 从 4名男生、
8、2 名女生中选出 3人参加志愿者服务，选出的男生人数 可能为 1,2,3，其中， P( 1) ， P( 2) ， P( 3) .所以 C14C2C36 15 C24C12C36 35 C34C02C36 15的数学期望 E( )1 2 3 2， D( )(12) 2 (22) 2 (32)15 35 15 15 352 .15 25答案 25三、解答题10(2018广州综合测试)某大学志愿者协会有 6名男同学，4 名女同学在这 10名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10名同学中随机选取 3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到
9、的可能性相同)(1)求选出的 3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设 X为选出的 3名同学中女同学的人数，求随机变量 X的分布列和数学期望解 (1)设“选出的 3名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A)5 .C13C27 C03C37C310 4960所以选出的 3名同学是来自互不相同学院的概率为 .4960(2)随机变量 X的所有可能值为 0,1,2,3.P(X k) (k0,1,2,3)Ck4C3 k6C310所以 P(X0) ， P(X1) ，C04C36C310 16 C14C26C310 12P(X2) ， P(X3) .C24C16C310 310 C34C06C3
10、10 130所以随机变量 X的分布列是X 0 1 2 3P 16 12 310 130随机变量 X的数学期望 E(X)0 1 2 3 .16 12 310 130 6511某学校组织知识测试，设置 A， B， C三组测试项目供参赛同学选择甲、乙、丙三名同学参加比赛，其中甲参加 A组测试，甲通过测试的概率为 ；乙参加 B组测试，乙通13过测试的概率为 ；丙参加 C组测试， C组共有 6道试题，丙只能答对其中 4道题根据规12则，丙只能且必须选择 4道题作答，至少答对 3道才能通过测试(1)求丙通过测试的概率(2)记 A， B， C三组通过测试的总人数为 ，求 的分布列和期望解 (1)设丙通过测试
11、为事件 A，则 P(A) .C4 C34C12C46 35(2)依题意得，1 ，1 ，1 ， 的可能取值为 0,1,2,3，则有13 23 12 12 35 25P( 0) ，23 12 25 215P( 1) ，13 12 25 23 12 25 23 12 35 25P( 2) ，13 12 25 13 12 35 23 12 35 1130P( 3) .13 12 35 110则 的分布列为6 0 1 2 3P 215 25 1130 110所以 的期望 E( )0 1 2 3 .215 25 1130 110 433012(2018南昌第一次质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种若普
12、通 6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为 a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通 6座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6数量 10 5 5 20 15 5以这 60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：(1)按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定， a950.7记 X为某同
13、学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求 X的分布列与数学期望；(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损 5000元，一辆非事故车盈利 10000元：若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；若该销售商一次购进 100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值解 (1)由题意可知， X的可能取值为 0.9a,0.8a,0.7a， a,1.1a,1.3a.由统计数据可知：P(X0.9 a) ， P(X0.8 a) ， P(X0.7 a)
14、， P(X a) ， P(X1.1 a)16 112 112 13 ， P(X1.3 a) .14 112所以 X的分布列为X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3aP 16 112 112 13 14 112所以 E(X)0.9 a 0.8 a 0.7 a a 1.1 a 1.3 a 16 112 112 13 14 112 11.9a12942.1130512(2)由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 ，三13辆车中至多有一辆事故车的概率为 P 3C 2 .(113) 1313(23) 2027设 Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润， Y的可能取值为5000,10000.所以 Y的分布列为Y 5000 10000P 13 23所以 E(Y)5000 10000 5000，13 23所以该销售商一次购进 100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100E(Y)500000 元
