1、1第三讲 平面向量年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析卷 向量的线性运算T 6卷 数量积的运算T 42018卷 向量共线的坐标运算及应用T 13卷 向量的模的求法T 13卷 数量积的最值问题T 122017卷 平面向量基本定理及最值问题T 12卷 向量数量积的坐标运算T 13卷向量坐标运算、数量积与向量垂直T32016卷 数量积求夹角T 31.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第37题或第1315题的位置上，难度较低主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识交汇综合
2、命题，难度中等.平面向量的概念及线性运算授课提示：对应学生用书第25页悟通方法结论如图， A， B， C是平面内三个点，且 A与 B不重合， P是平面内任意一点，若点 C在直线 AB上，则存在实数 ，使得 (1 ) .PC PA PB 该结论比较典型，由此可知：若 A， B， C三点在直线 l上，点 P不在直线 l上，则存在 R，使得 (1 ) .注意：这里 ， 的系数之和等于1PC PA PB PA PB .特殊情形：若点 C为线段 AB的中点，则 ( )PC 12PA PB 全练快速解答1(2018高考全国卷)在 ABC中， AD为 BC边上的中线， E为 AD的中点，则 ( EB 2)A
3、. B. 34AB 14AC 14AB 34AC C. D. 34AB 14AC 14AB 34AC 解析：作出示意图如图所示 EB ED DB 12AD 12CB ( ) ( )12 12AB AC 12AB AC .34AB 14AC 故选A.答案：A2如图，在直角梯形 ABCD中， ， 2 ，且 r s ，则2 r3 s( DC 14AB BE EC AE AB AD )A1 B2C3 D4解析：根据图形，由题意可得 ( ) (AE AB BE AB 23BC AB 23BA AD DC 13AB 23AD ) ( ) .DC 13AB 23AD 14AB 12AB 23AD 因为 r
4、s ，所以 r ， s ，则2 r3 s123，故选C.AE AB AD 12 23答案：C3(2018西安三模)已知 O是平面上的一定点， A， B， C是平面上不共线的三个点，动点 P满足 ( )， 0，)，则动点 P的轨迹一定经过 ABC的( )OP OA AB AC A外心 B内心3C重心 D垂心解析：设 BC的中点为 D，则由 ( )，可得 ( )2 ，所OP OA AB AC AP AB AC AD 以点 P在 ABC的中线 AD所在的射线上，所以动点 P的轨迹一定经过 ABC的重心故选C.答案：C4(2018高考全国卷)已知向量 a(1,2)， b(2，2)， c(1， )若 c
5、(2 a b)，则 _.解析：2 a b(4,2)，因为 c( 2a b)，所以4 2，得 .12答案：121记牢2个常用结论(1) ABC中， AD是 BC边上的中线，则 ( )AD 12AB AC (2) ABC中， O是 ABC内一点，若 0，则 O是 ABC的重心OA OB OC 2掌握用向量解决平面几何问题的方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系平面向量的数量积授课提示：对应学生用书第25页悟通方法结论1平面向量的数量积
6、运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程4思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化2夹角公式cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y23模|a| .a2 x2 y24向量 a与 b垂直 ab0.全练快速解答1(2017高考全国卷)设非零向量 a， b满足| a b| a b|，则( )A a b B| a| b|C a b D| a|b|解析：依题意得( a b)2( a b)20，即4 ab0， a b
7、，选A.答案：A2(2018西安八校联考)在 ABC中，已知 ，| |3，| |3， M， N分别AB AC 92 AC AB 是 BC边上的三等分点，则 的值是( )AM AN A. B. C6 D7112 132解析：不妨设 ， ，所以 ( )( )AM 23AB 13AC AN 13AB 23AC AM AN 23AB 13AC 13AB 23AC ( ) (323 2) ，故选B.29AB2 59AB AC 29AC2 29AB2 AC2 59AB AC 29 59 92 132答案：B3(2018山西四校联考)已知| a|1，| b| ，且 a (a b)，则向量 a与向量 b的夹2
8、角为( )A. B.6 4C. D.3 23解析： a (a b)， a (a b) a2 ab1 cos a， b0，cos a， b2 ， a， b .22 4答案：B4(2018合肥一模)已知平面向量 a， b满足| a|1，| b|2，| a b| ，则 a在 b方3向上的投影等于_解析： |a| 1， |b| 2， |a b| ， (a b)2 |a|2 |b|2 2ab 5 2ab353， ab 1， a 在 b方向上的投影为 .ab|b| 12答案：12快审题1.看到向量垂直，想到其数量积为零2看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式.避误区两个向量夹角的范围是0，在使
9、用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.平面向量在几何中的应用授课提示：对应学生用书第26页悟通方法结论破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解(1)(2017高考全国卷)已知 ABC是边长为2的等边三角形， P为平面 ABC内一点，则 PA ( )的最小值是( )PB PC A2 B32C
10、D143解析：如图，以等边三角形 ABC的底边 BC所在直线为 x轴，以 BC的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，则 A(0， )， B(1,0)， C(1,360)，设 P(x， y)，则 ( x， y)， (1 x， y)， (1 x， y)，所以 PA 3 PB PC PA ( )( x， y)(2 x，2 y)2 x22 2 ，当 x0， y 时， (PB PC 3 (y 32) 32 32 PA )取得最小值，为 ，选择B.PB PC 32答案：B(2)(2017高考全国卷)在矩形 ABCD中， AB1， AD2，动点 P在以点 C为圆心且与 BD相切的圆上若 ，则 的最大值为(
11、 )AP AB AD A3 B2 2C. D25解析：以 A为坐标原点， AB， AD所在直线分别为 x， y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(1,0)， C(1，2)， D(0,2)，可得直线 BD的方程为2 x y20，点 C到直线BD的距离为 ，圆 C：( x1) 2( y2) 2 ，因为 P在圆 C上，所以 P212 22 25 45， (1,0)， (0,2)， (1255cos ， 2 255sin ) AB AD AP AB ( ，2 )，所以Error!AD 2 cos sin 2sin( )3，tan 2，选A.255 55答案：A数量积的最值或范围问题
12、的2种求解方法(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围练通即学即用1(2018南昌调研)如图，在直角梯形 ABCD中， DA AB1， BC2，点 P在阴影区域(7含边界)中运动，则 的取值范围是( )PA BD A B12， 1 1， 12C1,1 D1,0解析：在直角梯形 ABCD中， DA AB1， BC2， BD .如图所示，过点 A作 AO B2D，垂足为 O，则 ， 0，PA PO OA OA BD ( ) .PA BD PO OA B
13、D PO BD 当点 P与点 B重合时， 取得最大值，PA BD 即 1；PA BD PO BD 12 2 2当点 P与点 D重合时， 取得最小值，PA BD 即 1.PA BD 12 2 2 的取值范围是1,1PA BD 答案：C2(2018辽宁五校联考)一条动直线 l与抛物线 C： x24 y相交于 A， B两点， O为坐标原点，若 2 ，则( )24 的最大值为( )AB AG OA OB OG2 A24 B16C8 D16解析：由 2 知 G是线段 AB的中点， ( )，( )24 ( AB AG OG 12OA OB OA OB OG2 OA )2( )24 .由 A， B是动直线
14、l与抛物线 C： x24 y的交点，不妨设 A(x1，OB OA OB OA OB )， B(x2， )，4 4( x1x2 )4( 2) 24164( 2)x214 x24 OA OB x21x216 x1x24 x1x24216，即( )24 2的最大值为16，故选B.OA OB OG 答案：B8授课提示：对应学生用书第126页一、选择题1(2018郑州一模)已知向量 a， b均为单位向量，若它们的夹角为60，则| a3 b|等于( )A. B.7 10C. D413解析：依题意得 ab ，| a 3b| ，故选C.12 a2 9b2 6ab 13答案：C2(2018石家庄模拟)在 ABC
15、中，点 D在边 AB上，且 ，设 a， b，则BD 12DA CB CA ( )CD A. a b B. a b13 23 23 13C. a b D. a b35 45 45 35解析： ( ) b a，故选B.CD CA AD CA 23AB CA 23AC CB 13CA 23CB 13 23答案：B3设向量 a(1， m)， b( m1,2)，且 ab ，若( a b)a ，则实数 m( )A. B.12 13C1 D2解析：因为 a(1， m)， b( m1,2)，且 ab ，所以 a b(1， m)( m1,2)(2 m， m 2)，又( a b)a ，所以( a b)a0，可得(
16、2 m)1 m(m2)0，解得 m1或 m2.当 m2时， a b，不符合题意，舍去，故选C.答案：C4(2018南宁模拟)已知 O是 ABC内一点， 0， 2且 BAC60OA OB OC AB AC ，则 OBC的面积为( )A. B.33 3C. D.32 239解析： 0， O是 ABC的重心，于是 S OBC S ABC.OA OB OC 13 2，| | |cos BAC2， BAC60，| | |4.又 S AAB AC AB AC AB AC BC | | |sin BAC ， OBC的面积为 ，故选 A.12AB AC 3 33答案：A5(2018沈阳模拟)已知平面向量 a(
17、2， x)， b(1， )，且( a b) b，则实数3x的值为( )A2 B23 3C4 D63 3解析：由( a b)b ，得( a b)b 0，即(3， x )(1， )3 x303 3 3，即 x6，解得 x2 ，故选B.3 3答案：B6(2018洛阳模拟)已知向量 a( m,2)， b(3，6)，若 |a b| |a b|，则实数 m的值是( )A4 B1C1 D4解析：由| a b| a b|，两边平方整理得 ab0，即3 m120，故 m4，故选D.答案：D7已知 a， b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足( a c)(b c)0，则|c|的最大值是( )A1 B2C
18、. D.222解析：因为| a| |b| 1， ab 0，(a c)(b c) c(a b) |c|2 |c|a b|cos | c|20，其中 为 c与 a b的夹角，所以| c| a b|cos cos ，2 2所以| c|的最大值是 .2答案：C8(2018抚州二模)已知 a， b是两个互相垂直的单位向量，且 ca 1， cb 1， |c| ，则对任意的正实数t， 的最小值是( )2 |c ta1tb|A2 B2 210C4 D4 2解析： 2 c2t 2a2 b22t ac cb 2ab2t 2 2t 2|c ta1tb| 1t2 2t 1t2 2t2 2 8(t0)，当且仅当t 2
19、，2t ，即t1时等号成立，| ct at21t2 2t2t 1t2 2t b|的最小值为2 .1t 2答案：B9(2018广西五校联考)设 D是 ABC所在平面内一点， 2 ，则( )AB DC A. B. BD AC 32AB BD 32AC AB C. D. BD 12AC AB BD AC 12AB 解析： .BD BC CD BC DC AC AB 12AB AC 32AB 答案：A10在 ABCD中，| |8，| |6， N为 DC的中点， 2 ，则 ( )AB AD BM MC AM NM A48 B36C24 D12解析： ( )( )( )( ) 2 2 82AM NM AB
20、 BM NC CM AB 23AD 12AB 13AD 12AB 29AD 126224.29答案：C11(2018渭南瑞泉中学五模)如图，点 P在矩形 ABCD内，且满足 DAP30，若| |AD 1，| | ， m n (m， nR)，则 等于( )AB 3 AP AD AB mnA B313C D33 311解析：如图，考虑特殊情况，假设点 P在矩形的对角线 BD上，由题意易知| |2， ADB DB60 ，又 DAP30，所以 DPA90.由| |1，可得| | | |，从而可得AD DP 12 14DB AP .又 m n ，所以 m ， n ，则 3.故选B.34AD 14AB A
21、P AD AB 34 14 mn答案：B12(2018东北四市模拟)已知向量 (3,1)， (1,3)， m n (m0，OA OB OC OA OB n0)，若 m n1，则| |的最小值为( )OC A. B.52 102C. D.5 10解析：由 (3,1)， (1,3)，得 m n (3 m n， m3 n)，因为 m n1OA OB OC OA OB (m0， n0)，所以 n1 m且0 m1，所以 (12 m,4m3)，OC 则| | (0 m1)，OC 1 2m2 4m 32 20m2 20m 10 20m 122 5所以当 m 时，| |min .12 OC 5答案：C二、填空
22、题13(2017高考全国卷)已知向量 a(1,2)， b( m,1)若向量 a b与 a垂直，则m_.解析：因为 a b( m1,3)， a b与 a垂直，所以( m1)(1)320，解得 m7.答案：714(2018惠州模拟)在四边形 ABCD中， ， P为 CD上一点，已知| |8，| |AB DC AB AD 5， 与 的夹角为 ，且cos ， 3 ，则 _.AB AD 1120 CP PD AP BP 解析： ，四边形 ABCD为平行四边形，又 3 ， AB DC CP PD AP AD DP AD 14AB 12， ，又| |8，| |5，cos BP BC CP AD 34AB A
23、B AD ， 85 22， ( )( )| |2 1120 AD AB 1120 AP BP AD 14AB AD 34AB AD 12AD AB | |25 211 822.316AB 316答案：215(2018唐山模拟)在 ABC中，( 3 ) ，则角 A的最大值为_AB AC CB 解析：因为( 3 ) ，所以( 3 ) 0，( 3 )( )0， 2AB AC CB AB AC CB AB AC AB AC AB 4 3 20，即cos AC AB AC A 2 ，当且仅当 | | | |时等号成立因为|AB |2 3|AC |24|AC |AB |AB |4|AC |3|AC |4|AB | 316 32 AB 3AC 0 A，所以0 A ，即角 A的最大值为 .6 6答案：616(2017高考天津卷)在 ABC中， A60， AB3， AC2.若 2 ， BD DC AE AC ( R)，且 4，则 的值为_AB AD AE 解析： AD AB BD AB 23BC ( ) .AB 23AC AB 13AB 23AC 又 32 3，AB AC 12所以 ( )AD AE (13AB 23AC ) AB AC 2( ) 213AB 13 23AB AC 23 AC 33( ) 4 54，13 23 23 113解得 .311答案：311
