1、1第三讲 平面向量一、选择题1(2018郑州一模)已知向量 a， b 均为单位向量，若它们的夹角为 60，则| a3 b|等于( )A. B.7 10C. D413解析：依题意得 ab ，| a 3b| ，故选 C.12 a2 9b2 6ab 13答案：C2(2018石家庄模拟)在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 ，设 a， b，BD 12DA CB CA 则 ( )CD A. a b B. a b13 23 23 13C. a b D. a b35 45 45 35解析： ( ) b a，故选 B.CD CA AD CA 23AB CA 23AC CB 13CA 23CB 13 23
2、答案：B3设向量 a(1， m)， b( m1,2)，且 ab ，若( a b)a ，则实数 m( )A. B.12 13C1 D2解析：因为 a(1， m)， b( m1,2)，且 ab ，所以 a b(1， m)( m1,2)(2 m， m 2)，又( a b)a ，所以( a b)a0，可得(2 m)1 m(m2)0，解得m1 或 m2.当 m2 时， a b，不符合题意，舍去，故选 C.答案：C4(2018南宁模拟)已知 O 是 ABC 内一点， 0， 2 且OA OB OC AB AC BAC60 ，则 OBC 的面积为 ( )A. B.33 3C. D.32 232解析： 0， O
3、 是 ABC 的重心，于是 S OBC S ABC.OA OB OC 13 2，| | |cos BAC2， BAC60，| | |4.又 SAB AC AB AC AB AC ABC | | |sin BAC ， OBC 的面积为 ，故选 A.12AB AC 3 33答案：A5(2018沈阳模拟)已知平面向量 a(2， x)， b(1， )，且( a b) b，则实3数 x 的值为( )A2 B23 3C4 D63 3解析：由( a b)b ，得( a b)b 0，即(3， x )(1， )3 33 x30，即 x6，解得 x2 ，故选 B.3 3 3答案：B6(2018洛阳模拟)已知向量
4、a( m,2)， b(3，6)，若 |a b| |a b|，则实数m 的值是( )A4 B1C1 D4解析：由| a b| a b|，两边平方整理得 ab0，即 3m120，故 m4，故选 D.答案：D7已知 a， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足( a c)(b c)0，则| c|的最大值是( )A1 B2C. D.222解析：因为| a| |b| 1， ab 0，(a c)(b c) c(a b) |c|2 |c|a b|cos | c|20，其中 为c 与 a b 的夹角，所以| c| a b|cos cos ，2 2所以| c|的最大值是 .2答案：C8(2018抚
5、州二模)已知 a， b 是两个互相垂直的单位向量，且ca 1， cb 1， |c| ，则对任意的正实数 t， 的最小值是( )2 |c ta1tb|A2 B2 23C4 D4 2解析：2 c2 t2a2 b22 tac cb 2ab2 t2 2 t 22|c ta1tb| 1t2 2t 1t2 2t t21t22 8( t0)，当且仅当 t2 ，2 t ，即 t1 时等号成立，| c ta b|的2t2t 1t2 2t 1t最小值为 2 .2答案：B9(2018广西五校联考)设 D 是 ABC 所在平面内一点， 2 ，则( )AB DC A. B. BD AC 32AB BD 32AC AB
6、C. D. BD 12AC AB BD AC 12AB 解析： .BD BC CD BC DC AC AB 12AB AC 32AB 答案：A10在 ABCD 中，| |8，| |6， N 为 DC 的中点， 2 ，则 ( )AB AD BM MC AM NM A48 B36C24 D12解析： ( )( )( )( ) 2 2 82AM NM AB BM NC CM AB 23AD 12AB 13AD 12AB 29AD 126224.29答案：C11(2018渭南瑞泉中学五模)如图，点 P 在矩形 ABCD 内，且满足 DAP30，若|1，| | ， m n (m， nR)，则 等于( )
7、AD AB 3 AP AD AB mnA B313C D33 34解析：如图，考虑特殊情况，假设点 P 在矩形的对角线 BD 上，由题意易知| |2， ADB60，又 DAP30 ，所以 DPA90.由| |1，可得DB AD | | | |，从而可得 .又 m n ，所以 m ， n ，则 3.故DP 12 14DB AP 34AD 14AB AP AD AB 34 14 mn选 B.答案：B12(2018东北四市模拟)已知向量 (3,1)， (1,3)，OA OB m n (m0， n0)，若 m n1，则| |的最小值为( )OC OA OB OC A. B.52 102C. D.5 1
8、0解析：由 (3,1)， (1,3)，得 m n (3 m n， m3 n)，因为OA OB OC OA OB m n1( m0， n0)，所以 n1 m 且 0 m1，所以 (12 m,4m3)，OC 则| | (0 m1)，OC 1 2m 2 4m 3 2 20m2 20m 10 20 m 12 2 5所以当 m 时，| |min .12 OC 5答案：C二、填空题13(2017高考全国卷)已知向量 a(1,2)， b( m,1)若向量 a b 与 a 垂直，则 m_.解析：因为 a b( m1,3)， a b 与 a 垂直，所以( m1)(1)320，解得m7.答案：714(2018惠州
9、模拟)在四边形 ABCD 中， ， P 为 CD 上一点，已知| |8，|AB DC AB |5， 与 的夹角为 ，且 cos ， 3 ，则 _.AD AB AD 1120 CP PD AP BP 5解析： ，四边形 ABCD 为平行四边形，又AB DC 3 ， ， ，又| |8，| |5，cos CP PD AP AD DP AD 14AB BP BC CP AD 34AB AB AD ， 85 22， ( )( )1120 AD AB 1120 AP BP AD 14AB AD 34AB | |2 | |25 211 822.AD 12AD AB 316AB 316答案：215(2018唐
10、山模拟)在 ABC 中，( 3 ) ，则角 A 的最大值为_AB AC CB 解析：因为( 3 ) ，所以( 3 ) 0，( 3 )( )AB AC CB AB AC CB AB AC AB AC 0， 24 3 20，即 cos A 2 ，当AB AC AB AC |AB |2 3|AC |24|AC |AB |AB |4|AC |3|AC |4|AB | 316 32且仅当| | | |时等号成立因为 0 A，所以 0 A ，即角 A 的最大值为 .AB 3AC 6 6答案： 616(2017高考天津卷)在 ABC 中， A60， AB3， AC2.若 2 ， BD DC AE ( R)，且 4，则 的值为_AC AB AD AE 解析： AD AB BD AB 23BC ( ) .AB 23AC AB 13AB 23AC 又 32 3，AB AC 12所以 ( )AD AE (13AB 23AC ) AB AC 2( ) 213AB 13 23AB AC 23 AC 33( ) 4 54，13 23 23 113解得 .311答案：311
