1、1第二讲 空间点、线、面位置关系的判断一、选择题1(2018天津检测)设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A若 l ， l ，则 B若 l ， l ，则 C若 ， l ，则 l D若 ， l ，则 l 解析：对于 A 选项，设 a，若 l a，且 l ， l ，则 l ， l ，此时 与 相交，故 A 选项错误；对于 B 选项， l ， l ，则存在直线 a ，使得l a，此时 ，由平面与平面垂直的判定定理得 ，故 B 选项正确；对于 C 选项，若 ， l ，则 l 或 l ，故 C 选项错误；对于 D 选项，若 ， l ，则 l 与 的位置关系不确定，故 D 选项
2、错误选 B.答案：B2已知 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出四个命题：若 m， n ， n m，则 ；若 m ， m ，则 ；若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， m n，则 .其中正确的命题是( )A BC D解析：两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确答案：B3(2018合肥教学质量检测)已知 l， m， n 为不同的直线， ， ， r 为不同
3、的平面，则下列判断正确的是( )A若 m ， n ，则 m nB若 m ， n ， ，则 m nC若 l， m ， m ，则 m lD若 m， r n， l m， l n，则 l 2解析：A： m， n 可能的位置关系为平行，相交，异面，故 A 错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知 B 错误；C：根据线面平行的性质可知 C 正确；D：若 m n，根据线面垂直的判定可知 D 错误，故选 C.答案：C4(2018石家庄教学质量检测)设 m， n 是两条不同的直线， ， ， r 是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m ， n ，则 m n；若 ， r， m ，则 m r；若 n， m n，
4、则 m ，且 m ；若 r， r，则 .其中真命题的个数为( )A0 B1C2 D3解析： m n 或 m， n 异面，故错误；，根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知正确； m 或 m ， m 或 m ，故 错误；，根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知错误，所以真命题的个数为 1，故选 B.答案：B5如图所示，在四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， P 分别为其所在棱的中点，能得到 AB平面 MNP 的图形的序号是( )A BC D解析：中，平面 AB平面 MNP， AB平面 MNP.中，若下底面中心为 O，易知 NO AB， NO平面 MNP， AB 与平面 M
5、NP 不平行中，易知 AB MP， AB平面 MNP.中，易知存在一直线 MC AB，且 MC平面 MNP， AB 与平面 MNP 不平行故能得到 AB平面 MNP 的图形的序号是.3答案：C6(2018大庆模拟) ， 表示平面， a， b 表示直线，则 a 的一个充分条件是( )A ，且 a B b，且 a bC a b，且 b D ，且 a解析：对于 A，B，C 还可能有 a 这种情况，所以不正确；对于 D，因为 ，且 a ，所以由面面平行的性质定理可得 a ，所以 D 是正确的答案：D7如图，在三棱锥 SABC 中， ABC 是边长为 6 的正三角形， SA SB SC15，平面DEFH
6、 分别与 AB， BC， SC， SA 交于 D， E， F， H，且 D， E 分别是 AB， BC 的中点，如果直线SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为( )A. B.452 4532C45 D45 3解析：取 AC 的中点 G，连接 SG， BG(图略)易知 SG AC， BG AC，故 AC平面SGB，所以 AC SB.因为 SB平面 DEFH， SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFH HD，则SB HD.同理 SB FE.又 D， E 分别为 AB， BC 的中点，则 H， F 也为 AS， SC 的中点，从而得HF 綊 AC 綊 DE，所以四边形 DEFH 为平
7、行四边形因为 AC SB， SB HD， DE AC，所以12DE HD，所以四边形 DEFH 为矩形，其面积 S HFHD( AC)( SB) .12 12 452答案：A8(2018哈尔滨联考)直线 m， n 均不在平面 ， 内，给出下列命题：若 m n， n ，则 m ；若 m ， ，则 m ；若 m n， n ，则 m ；若 m ， ，则 m .其中正确命题的个数是( )A1 B2C3 D4解析：由空间直线与平面平行关系可知正确；由线面垂直、线面平行的判定和性4质可知正确；由线面垂直、面面垂直的性质定理可知正确故选 D.答案：D9(2018绵阳诊断)已知 l， m， n 是三条不同的直
8、线， ， 是不同的平面，则 的一个充分条件是( )A l ， m ，且 l mB l ， m ， n ，且 l m， l nC m ， n ， m n，且 l mD l ， l m，且 m 解析：依题意知，A，B，C 均不能得出 ，对于 D，由 l m， m 得 l ，又l ，因此有 .综上所述，选 D.答案：D10(2018贵阳模拟)如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点，沿AE， AF， EF 把正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 P， P 点在 AEF 内的射影为 O，则下列说法正确的是( )A O 是 AEF 的垂心B O
9、 是 AEF 的内心C O 是 AEF 的外心D O 是 AEF 的重心解析：由题意可知 PA、 PE、 PF 两两垂直，所以 PA平面 PEF，从而 PA EF，而 PO平面 AEF，则 PO EF，因为 PO PA P，所以 EF平面 PAO， EF AO，同理可知 AE FO， AF EO， O 为 AEF 的垂心故选 A.答案：A11如图，矩形 ABCD 中， AB2 AD， E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成5A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在 ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A BM 是定值B点 M 在某个球面上运动C存在某个位置
10、，使 DE A1CD MB平面 A1DE解析：取 CD 的中点 F，连接 MF， BF， AF(图略)，则 MF DA1， BF DE，平面 MBF平面 A1DE， MB平面 A1DE，故 D 正确 A1DE MFB， MF A1D， FB DE，由余弦定理可得12MB2 MF2 FB22 MFFBcos MFB， MB 是定值，故 A 正确 B 是定点， BM 是定值， M 在以 B 为球心， MB 为半径的球上，故 B 正确 A1C 在平面 ABCD 中的射影是点 C 与 AF上某点的连线，不可能与 DE 垂直，不存在某个位置，使 DE A1C.故选 C.答案：C二、填空题12如图是一个正
11、方体的平面展开图在这个正方体中， BM 与 ED 是异面直线； CN 与 BE 平行； CN 与 BM 成 60角； DM 与 BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：由题意画出该正方体的图形如图所示，连接 BE， BN，显然正确；对于，连接 AN，易得 AN BM， ANC60，所以 CN 与 BM 成 60角，所以正确；对于，易知 DM平面 BCN，所以 DM BN 正确答案：13.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中6点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB
12、1是异面直线；直线 MN 与 AC 所成的角为 60.其中正确的结论为_(把你认为正确结论的序号都填上)解析： AM 与 CC1是异面直线， AM 与 BN 是异面直线， BN 与 MB1为异面直线因为D1C MN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，为 60.答案：14(2018厦门质检)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，有下列四个命题：若 m ， ，则 m ；若 m ， ， n ，则m n； m ， n ， m n，则 ；若 n ， n ， m ，则 m .其中正确命题的序号是_(请将所有正确命题的序号都填上)解析：对于命题可以有 m
13、，故不成立；对于命题可以有 与 相交，故不成立答案：15(2018武昌调研)在矩形 ABCD 中， AB BC，现将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直；存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直；存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直其中正确结论的序号是_解析：假设 AC 与 BD 垂直，过点 A 作 AE BD 于点 E，连接 CE，如图所示，则 AE BD， BD AC.又 AE AC A，所以 BD平面 AEC，从而有 BD CE，而在平面 BCD 中， CE 与 BD 不垂直
14、，故假设不成立，错误假设 AB CD， AB AD， AD CD D， AB平面 ACD， AB AC，由 AB BC 可知，存在这样的直角三角形 BAC，使 AB CD，故假设成立，正确假设AD BC， DC BC， AD DC D， BC平面 ADC， BC AC，即 ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而 AB BC，故矛盾，假设不成立，错误答案：三、解答题16(2018汕头质量监测)如图，已知 AF平面 ABCD，四边形 ABEF 为矩形，四边形7ABCD 为直角梯形， DAB90， AB CD， AD AF CD2， AB4.(1)求证： AF平面 BCE；(2)求证： AC平面
15、BCE；(3)求三棱锥 EBCF 的体积解析：(1)证明：因为四边形 ABEF 为矩形，所以 AF BE，又 BE平面 BCE， AF平面 BCE，所以 AF平面 BCE.(2)证明：过 C 作 CM AB，垂足为 M，因为 AD DC，所以四边形 ADCM 为矩形所以 AM MB2，又 AD2， AB4，所以 AC2 ， CM2， BC2 ，2 2所以 AC2 BC2 AB2，所以 AC BC.因为 AF平面 ABCD， AF BE，所以 BE平面 ABCD，所以 BE AC.又 BE平面 BCE， BC平面 BCE， BE BC B，所以 AC平面 BCE.(3)因为 AF平面 ABCD，
16、所以 AF CM.又 CM AB， AF平面 ABEF， AB平面 ABEF， AF AB A，所以 CM平面 ABEF.故 VEBCF VCBEF BEEFCM 242 .13 12 16 8317(2018广州五校联考)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA PD， BAD60， E 是 AD 的中点，点 Q 在侧棱 PC 上(1)求证： AD平面 PBE；(2)若 Q 是 PC 的中点，求证： PA平面 BDQ；(3)若 VPBCDE2 VQABCD，试求 的值CPCQ8解析：(1)证明：由 E 是 AD 的中点， PA PD 可得 AD PE.又底面 ABCD 是菱
17、形， BAD60，所以 AB BD，又 E 是 AD 的中点，所以 AD BE，又 PE BE E，所以 AD平面 PBE.(2)证明：连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OQ(图略)因为 O 是 AC 的中点，Q 是 PC 的中点，所以 OQ PA，又 PA平面 BDQ， OQ平面 BDQ，所以 PA平面 BDQ.(3)设四棱锥 PBCDE， QABCD 的高分别为 h1， h2.所以 VPBCDE S 四边形 BCDEh1， VQABCD S 四边形 ABCDh2.13 13又 VPBCDE2 VQABCD，且 S 四边形 BCDE S 四边形 ABCD，所以 .34 CPCQ h1h2
18、 8318(2018郑州第二次质量预测)如图，高为 1 的等腰梯形 ABCD 中， AM CD AB1.现13将 AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD平面 MBCD，连接 AB， AC.(1)在 AB 边上是否存在点 P，使 AD平面 MPC?(2)当点 P 为 AB 边的中点时，求点 B 到平面 MPC 的距离解析：(1)当 AP AB 时，有 AD平面 MPC.13理由如下：连接 BD 交 MC 于点 N，连接 NP.在梯形 MBCD 中， DC MB， ，DNNB DCMB 12在 ADB 中， ， AD PN.APPB 12 AD平面 MPC， PN平面 MPC， AD平面 MPC.(2)平面 AMD平面 MBCD，平面 AMD平面 MBCD DM， AM DM， AM平面 MBCD. VPMBC S MBC 21 .13 AM2 13 12 12 169在 MPC 中， MP AB ， MC ，12 52 2又 PC ，(12)2 12 52 S MPC .12 2 (52)2 (22)2 64点 B 到平面 MPC 的距离为d .3VPMBCS MPC31664 63
