1、1第 9 讲 三角恒等变换与解三角形1.2018全国卷 在平面四边形 ABCD 中, ADC=90, A=45,AB=2,BD=5.(1)求 cos ADB;(2)若 DC=2 ,求 BC.2试做 2.2017全国卷 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ABC 的面积为 .23sin(1)求 sin Bsin C;(2)若 6cos Bcos C=1,a=3,求 ABC 的周长 .试做 23.2013全国卷 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B.(1)求 B;(2)若 b=2,求 ABC 面积的最大值 .试做 命题角
2、度 利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解三角形的步骤:第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性 . 利用公式 S ABC= acsin B= bcsin A= absin C 解决三角形面积问题的方法:若已知一个12 12 12角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式求得面积 . 求三角形面积的最值时,一般将面积表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等
3、式求解 .解答 1 三角形基本量的求解1 在 ABC 中,已知 AB=2 ,C= ,点 D 在 AC 边上,且 ADB= .76 3(1)若 BD=4,求 tan ABC;(2)若 AD= BC,求 ABC 的周长 .3听课笔记 3【考场点拨】求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的 .其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图中标出来,然后确定转化的方向;第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化;第三步:求结果 .【自我检测】已知在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别
4、为 a,b,c,且 asin A+csin C= asin C+bsin B.2(1)求 B;(2)若 A= ,b=2,求 a 和 c.512解答 2 与三角形面积有关的问题2 已知 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b=2,且 2bcos B=acos C+ccos A.(1)求 B;(2)求 ABC 面积的最大值 .听课笔记 【考场点拨】三角形面积的最值问题主要有两种解决方法:一是将面积表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示,结合角的范围确定三角形面积的最值 .【自我检测】已知在 ABC 中,内角 A,B,C 的对
5、边分别是 a,b,c,且满足(2 a-c)cos B=bcos C.(1)求 B;4(2)若 ABC 的面积为 ,且 b= ,求 a+c 的值 .334 3解答 3 以平面几何为载体的解三角形问题3 如图 M2-9-1 所示,已知在 ABC 中, B= ,BC=2.3图 M2-9-1(1)若 AC=3,求 AB 的长;(2)若点 D 在边 AB 上, AD=DC,DE AC 于点 E,ED= ,求 A.62听课笔记 【考场点拨】解决以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分利用平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时,从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化到三角形中去求解;
6、四是通过三角形中的不等关系 如大边对大角, 最大角一定大于等于 确定角或3边的范围 .【自我检测】已知 ABC 内接于半径为 R 的圆, a,b,c 分别是 ABC 的内角 A,B,C 的对边,且 2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,c=3.(1)求 A;(2)若 AD 是 BC 边上的中线, AD= ,求 ABC 的面积 .1925第 9 讲 三角恒等变换与解三角形典型真题研析1.解:(1)在 ABD 中,由正弦定理得 = . 由题设知, = ,所以 sin ADB= .545 2 25由题设知, ADBAB,得 ABD ADB= ,故 ABC= ABD+ DBC +73
7、3= ,62所以 cos ABC=- =- ,1-22114所以 tan ABC= =- .533(2)设 CD=x,x0,则 BC= x,从而 AD= BC=3x,3 3故 AC=AD+DC=4x.8在 ABC 中,由余弦定理得 AB2=BC2+AC2-2BCACcos ,6因为 AB=2 ,所以 28=( x)2+(4x)2-2 x4x ,解得 x=2,7 3 332所以 AC=8,BC=2 ,故 ABC 的周长为 AC+BC+AB=8+2 +2 .3 3 7【自我检测】解:(1)由已知,根据正弦定理得 a2+c2= ac+b2.2由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,所以 c
8、os B= = = .2+2-22 22 22因为 B(0,),所以 B= .4(2)由 A= ,得 sin A=sin =sin cos +cos sin = .512 (6+4) 6 4 6 4 2+64由 B= ,得 C= -(A+B)= ,4 3所以 a= =2 =1+ , 2 2+64 3c= =2 = . 2 32 6解答 2例 2 解:(1)由 2bcos B=acos C+ccos A 得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,因为 B(0,),所以 sin B0,故 cos B= ,12所以 B= .3(2)方法一:由
9、 b=2,B= ,根据余弦定理可得 ac=a2+c2-4,3所以 ac=a2+c2-42 ac-4,所以 ac4,9当且仅当 a=c 时,等号成立,从而 S ABC= acsin B 4 = ,12 12 32 3故 ABC 面积的最大值为 .3方法二:因为 = = = = , 232 43所以 a= sin A,c= sin C,43 43所以 S ABC= acsin B= sin A sin Csin B= sin 12 12 43 43 433Asin = sin + ,(23-)233 (2-6) 33因为 A ,所以当 2A- = ,即 A= 时, S ABC取得最大值,最大值为
10、,(0,23) 62 3 3故 ABC 面积的最大值为 .3【自我检测】解:(1) A+B+C= ,即 C+B= -A, sin(C+B)=sin( -A)=sin A. (2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(C+B)=sin A. 在 ABC 中,0 0, cos B= .又 00),则在 ABC 中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即 32=22+x2-2x2cos ,3所以 x= +1,6即 AB= +1.6(
11、2)因为 ED= ,DE AC,所以62AD=DC= = . 62在 BCD 中,由正弦定理可得 = ,因为 BDC=2A,所以 = = .22 1 623因为 A(0,),所以 sin A0,所以 cos A= ,所以 A= .22 4【自我检测】解:(1)由正弦定理及 2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,得 bsin B-asin A=bsin C-csin C,即 b2-a2=bc-c2, cos A= = ,A (0,), A= .2+2-22 12 3(2)以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABEC,则在 ABE 中, ABE= ,AE= .23 19在 ABE
12、中,由余弦定理得 AE2=AB2+BE2-2ABBEcos ,23即 19-9=AC2-23AC ,AC= 2,即 b=2,(-12)11故 S ABC= bcsin A= 23 = .12 12 32 332备选理由 三道备用例题都是利用正、余弦定理解三角形问题,涉及三角形中的边、角、面积以及使用基本不等式求最值 .例 1 配例 1 使用 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 + = . 233(1)求 B;(2)若 ABC 的面积为 ,B 是钝角,求 b 的最小值 .32解:(1)由题意得 bcos A+acos B= bsin C,233 由正弦定理得 sin
13、Bcos A+cos Bsin A= sin Bsin C,233 sin(A+B)= sin Bsin C,233又 在 ABC 中,sin( A+B)=sin C0, sin B= ,32B (0,), B= 或 .3 23(2)由 S ABC= acsin B= ,sin B= ,得 ac=2,12 32 32又易知 B= ,b 2=a2+c2-2accos B=a2+c2+22 ac+2=6,当且仅当 a=c 时取等号,23b 的最小值为 .6例 2 配例 2 使用 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin 3B=2cos2 ,sin(A-C)=2cos
14、Asin C.2(1)求 B;(2)若 c=2,求 ABC 的面积 .解:(1)方法一:由 sin B=2cos2 ,得 2 sin cos =2cos2 ,32 3 2 2 212因为 cos 0,所以 sin =cos ,即 tan = .2 3 2 2 2 33又因为 B(0,),所以 = ,所以 B= .26 3方法二:由 sin B=2cos2 ,得 sin B=1+cos B,32 3即 sin B-cos B=1,即 2sin =1,即 sin = .3 (-6) (-6)12又因为 B(0,),所以 B- ,所以 B- = ,即 B= .6 (-6,56) 66 3(2)由 s
15、in(A-C)=2cos Asin C,得 sin Acos C=3cos Asin C,根据正弦定理和余弦定理得, a =3 c,即 b2=2a2-2c2.2+2-22 2+2-22由(1)知 B= ,所以 b2=a2+c2-2accos =a2+c2-ac.3 3又因为 c=2,所以 a= -1,所以 S ABC= acsin B= = .1312 3( 13-1)2 39- 32例 3 配例 3 使用 如图所示,已知在平面四边形 ABCD 中,AB=2 ,AC=2, ADC= CAB=90,设 DAC= .3(1)若 = 60,求 BD 的长度;(2)若 ADB=30,求 tan .解:(1)由题意可知, AD=1.在 ABD 中, DAB=+ 90=150,AB=2 ,AD=1,由余弦定理可知,3BD2=AB2+AD2-2ABADcos DAB=(2 )2+12-22 1 =19,3 3 (- 32)BD= .19(2)由题意可知, AD=2cos , ABD=60- ,13在 ABD 中,由正弦定理可知, = , = =4 ,又 cos 2(60-)2312 3 0, =4 , tan = .232-12 3 233
