1、3.2.3空间的角的计算,空间的角：,线线角、线面角、面面角。,空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,一、线线角：,所以 与 所成角的余弦值为,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 ,如图所示，设 则：,所以：,例一：,练习：,在长方体 中，,简解：,直线与平面所成角的范围：,思考：,结论：,二、线面角：,简解：,所以,练习：,x,y,z,设正方体棱长为1，,将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为 ，其中,D,C,B,A,三、面
2、面角：,方向向量法：,二面角的范围：,例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则有,于是，得,设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。,因此,所以,所以库底与水坝所成二面角的余弦值为,三、面面角：,二面角的范围：,法向量法,注意法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,设平面,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（1）建立立体图形与空间
3、向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形问题）,点拨：,1、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 n1=（1，0，1）， n2 =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_ .,2、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为_ .,3. 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_ .,课堂练习,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,D,C,B,A,3.二面角：,一进一出，二面角等于法向量的夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。,
