1、2.3.2 事件的独立性,第2章 2.3 独立性,学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念. 2.能利用独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 事件的独立性,甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A“从甲箱里摸出白球”，事件B“从乙箱里摸出白球”.,思考1,事件A发生会影响事件B发生的概率吗？,答案,答案 不影响.,思考2,P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？,答案,思考3,P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？,答案,答案 P(AB)P(A
2、)P(B).,事件独立的定义 一般地，若事件A，B满足 ，则称事件A，B独立.,梳理,P(A|B)P(A),思考1,知识点二 事件独立的性质,若A，B独立，P(AB)与P(A)P(B)相等吗？,答案,答案 相等.因为P(AB)P(A|B)P(B)P(A)P(B).,思考2,答案,答案 独立.,事件独立的性质及P(AB)的计算公式,梳理,相互独立,P(AB)P(A)P(B),P(A1)P(A2)P(An),A,B,题型探究,解析 利用古典概型概率公式计算可得P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(AC)0.25，P(BC)0.25. 可以验证P(AB)P(A)P(
3、B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C). 所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立， 事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.,例1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有_.(填序号) A，B；A，C；B，C.,类型一 事件独立性的判断,答案,解析,三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P(AB)P(A)P(B)是否成立. (3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断.,反思与感悟,跟踪
4、训练1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩.对下列两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩；,解答,解 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为 这时A(男，女)，(女，男)， B(男，男)，(男，女)，(女，男)， AB(男，女)，(女，男)，,由此可知P(AB)P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互独立.,(2)家庭中有三个小孩.,解 有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男
5、，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女). 由等可能性知这8个基本事件的概率均为 这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件.,解答,从而事件A与B是相互独立的.,例2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车是否正点到达互不影响.求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；,类型二 求相互独立事件的概率,解答,解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件， 则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，,由题意得
6、A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为,0.20.70.90.80.30.90.80.70.1 0.398.,(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.,解 三列火车至少有一列正点到达的概率为,解答,10.20.30.10.994.,引申探究 1.在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率.,解 恰有一列火车正点到达的概率为,解答,0.80.30.10.20.70.10.20.30.9 0.092.,2.若一列火车正点到达计10分，用表示三列火车的总得分，求P(20).,解 事件“20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”， 所以P(20)1P(
7、ABC)1P(A)P(B)P(C) 10.80.70.90.496.,解答,明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. 一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一个发生为事件AB. (2)A，B都发生为事件AB.,反思与感悟,跟踪训练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率；,解 记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”. 两个人都破译出密码的概率为,解答,(2)恰有一人能破译的
8、概率；,解答,(3)至多有一人能破译的概率.,解 至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，,解答,例3 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；,类型三 相互独立事件的综合应用,解答,解 设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，,因为事件A与B相互独立，,(2)X表
9、示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的概率分布.,解答,解 设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，,所以X的概率分布如下表：,概率问题中的数学思想 (1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)P( )1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法. (2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件). (3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解.,反思与感悟,跟踪训练3 甲、乙、丙三台机床各自独
10、立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；,解答,解 设A，B，C分别为甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.,代入得27P(C)251P(C)220，, ,(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率.,解答,解 记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，,当堂训练,1.甲、乙两水文站同时做水文预报，
11、若甲站、乙站各自预报准确的概率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲、乙预报都准确的概率为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 P(AB)P(A)P(B)0.80.70.56.,0.56,2.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是_.,答案,2,3,4,5,1,解析,3.甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球.从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,解析 设事件A为“从甲袋中任取一个球，取得白球”，事件B为“从乙袋中任取一个球，取得白球”.,事件A与B相互
12、独立，,从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为,4.在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,5.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算： (1)两人都投中的概率；,解答,解 设A表示事件“甲投篮一次并且投中”， B表示事件“乙投篮一次并且投中”， 则AB表示事件“两人各投篮一次并且都投中”. 由题意可知，事件A与事件B相互独立， P(AB)P(A)P(B)0.60.60.36.,2,3,4,5,1,(2)其中恰有一人投中的概率；,解答,解 事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，,2,3,4,5,1,0.6(10.6)(10.6)0.60.48.,(3)至少有1人投中的概率.,解答,2,3,4,5,1,规律与方法,1.相互独立事件与互斥事件的区别,2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.,本课结束,
