1、专题四 数列,4.1 等差数列与等比数列,-3-,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,等差数列与等比数列的基本量的求解 【思考】 如何求解等差数列与等比数列的基本量? 例1已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,则 =( ) A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1,答案,解析,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问
2、题一般先设出这两个基本量,再根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练1(1)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=( ),(2)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于 .,答案,解析,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,等差数列与等比数列的判定与证明 【思考】 证明数列an是等差数列或等比数列的基本方法有哪些?,例2设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,
3、S3=-6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.证明数列an是等差数列的两种基本方法: (1)利用定义,证明an+1-an(nN*)为常数; (2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n2). 2.证明数列an是等比数列的两种基本方法:,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,
4、等差数列与等比数列性质的应用 【思考】 常用的等差、等比数列的性质有哪些?,例3设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11,A,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用. (1)等差数列的性质:an=am+(n-m)d(n,mN*); 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*); 设等差数列an的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等差数列. (2)等比数列的性质:an=amqn-m(m
5、,nN*); 若m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,qN*); 若等比数列an的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列.,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练3在正项等比数列an中,a2,a48是关于x的方程2x2-7x+6 =0的两个根,则a1a2a25a48a49的值为( ),B,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,等差数列、等比数列的综合问题 【思考】 解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?,例4(2018天津,文18)设an是等差数列,其前n项和为Sn(nN*);
6、bn是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(nN*).已知b1=1, b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识,就能解决这类问题.,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练4等差数列an
7、的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 .,答案,解析,-19-,规律总结,拓展演练,1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n项和公式构造关于a1与d、a1与q的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识. 2.解决等差数列an前n项和问题常用的三个公式是: ;Sn=An2+Bn(A,B为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷. 3.等差数列和等比数列的中项、前n项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程. 4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和
8、中项法.,-20-,规律总结,拓展演练,5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后即为等差数列.,-21-,规律总结,拓展演练,1.已知在等差数列an中,前n项和为Sn,若a3+a9=6,则S11=( ) A.12 B.33 C.66 D.99,B,解析 an为等差数列,且a3+a9=6, a1+a11=a3+a9=6.,-22-,规律总结,拓展演练,2.等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知 ,则a8= .,32,-23-,规律
9、总结,拓展演练,3.已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是 .,20,解析 由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3,即d=3,故a9=2+36=20.,4.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 .,9,-24-,规律总结,拓展演练,5.(2018全国,文17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7, S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7,得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,
