1、第二章 平面解析几何初步,本章概览 一、地位作用 解析几何是几何学的一个分支,是通过坐标法,运用代数工具研究几何问题的一门学科,它把数学的两个基本对象形与数有机地联系起来,一方面,几何概念可用代数表示,几何目标可通过代数方法达到;另一方面,又可给代数语言以几何的解释,使代数语言更直观、更形象地表达出来,这对人们发现新结论具有重要的意义,近代数学的发展,在很大程度上应该归功于解析几何. 本章在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互关系,体会数形结合思想,初步培养用代数方程解决几何问题的能力,为以后选修圆锥曲线打下基础.,二、内容要求 1.直线与方程 (1)
2、在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直. (4)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系. (5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. (6)探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.,2.圆与方程 (1)回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆
3、、圆与圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想. 4.空间直角坐标系 (1)通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置. (2)通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式.,三、核心素养 在平面解析几何初步的学习中,应经历如下过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题,处理代数问题.分析代数结果的几何意义,最终解决几何问题,这种思想应贯穿始终,不断体会“数形结合
4、”的思想方法,并能够灵活应用.,2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,1.在数轴上,点P与实数x的对应法则是:如果点P在原点朝正向的一侧,则x为正数,且等于点P到原点的距离;若点P在原点朝负向的一侧,则x为负数;其绝对值等于点P到原点的距离,原点表示数0,于是在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系.如果点P与实数x对应,则称点P的坐标为x,记作P(x). 2.如果数轴上的任一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B.则说点在轴上作了一次 ,点不动则说点作了 .位移是一个 .,通常叫做 ,简称 .,位移,零位移
5、,既有大小,又有方向的量,位移向量,向量,4. 叫做相等的向量. 5.在数轴上,一个向量的长度连同表示向量不同方向的正负号叫做向量的 或 .,终点,起点,数轴上同向且等长的向量,坐标,数量,线段AB的长度,正,负,向量的长度,AC=AB+BC,x2-x1,|x2-x1|,自我检测,1.下列说法正确的是( ) (A)点M(x)位于点N(2x)的左侧 (B)数轴上等长的向量是相等的向量 (C)向量 在数轴上的坐标AB=-BA (D)有方向的直线是数轴,C,解析:对于A,x不知道为正、为负还是为零,故错误;对B,等长且同向的向量为相等向量,故B错;对D,给出原点,度量单位及正方向的直线是数轴,D错,
6、C正确,故选C.,2.若A,B,C,D是直线坐标系上四点,BA=6,BC=-2,CD=6,则AD等于( ) (A)0 (B)-2 (C)10 (D)-10,B,解析:AD=AB+BC+CD=-BA+BC+CD=-6-2+6=-2.故选B.,3.对于数轴上任意三点A,B,O,下列各式不恒成立的是( ) (A)AB=OB-OA (B)AO+OB+BA=0 (C)AB=AO+OB (D)AB+AO+BO=0,解析:A正确,因为AB=AO+OB=OB-OA; B正确,因为AO+OB+BA=AB+BA=0; C正确,因为AO+OB=AB; D不正确,因为AB+AO+BO不一定为0,故选D.,D,4.数轴
7、上A、B两点间的距离是5,点A的坐标是1,则点B的坐标是 .,解析:设B点的坐标为x, 则|x-1|=5,所以x=6或-4.,答案:6或-4,类型一,数轴上的点的坐标,课堂探究素养提升,【例1】 (1)如果点P(x)位于点M(-2),N(3)之间,求x的取值范围;,解:(1)由题意可得,点M(-2)位于点N(3)的左侧,而P点位于两点之间,应满足-2x3.,方法技巧 根据数轴上点与实数的对应关系,数轴上的点自左到右对应的实数依次增大.,变式训练1-1:不用画图,判断下列各组点的位置关系(说明哪一个点位于另一个点的右侧) (1)A(-1.5),B(-3);(2)A(a),B(a2+1);(3)A
8、(|x|),B(x).,解:(1)因为-1.5-3,所以A(-1.5)位于B(-3)的右侧.,(3)当x0时,|x|=x, 则A(|x|)和B(x)为同一个点. 当xx,则A(|x|)位于B(x)的右侧.,类型二,数轴上的基本公式的应用,【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A).,解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b; d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.,方法技巧 (1)记住公式,理解符号的含
9、义是解题的关键;(2)明确向量的长度及数量的区别与联系;(3)注意区别:|AB|=d(A,B)=|xB-xA|,AB=xB-xA.,变式训练2-1:已知A,B,C是数轴上任意三点: (1)若AB=5,CB=3,求AC; (2)若A(-2),BC=1,AB=2,求C点的坐标;,解:(1)AC=AB+BC=AB-CB=5-3=2; (2)AC=AB+BC=2+1=3,设C点坐标为xC,则有 AC=xC-(-2)=xC+2, 所以xC+2=3,xC=1,所以C点坐标为1.,类型三,含|x-a|代数式的求解,【例3】 根据下列条件,在数轴上分别画出点P(x),并解释其几何意义. (1)d(x,2)1;
10、(3)|x-2|=1.,思路点拨:依据数轴上两点间的距离公式首先判定不等式或方程表示的点集,然后在数轴上表示出来. 解:如图 (1)d(x,2)1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合,所以|x-2|1表示射线BO和射线CD(不包括端点); (3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点C(3).,变式训练3-1:在数轴上,运用两点距离的概念和计算公式,解下列方程: (1)|x+3|+|x-1|=6;,解:(1)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和, 而A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4, 又因为
11、|x+3|+|x-1|=6,所以x=-4或x=2. 所以方程的解为x=-4或x=2.,(2)|x+3|+|x-1|=4; (3)|x+3|+|x-1|=3.,解:(2)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和,而 A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4, 又因为|x+3|+|x-1|=4,所以-3x1, 所以方程的解集为x|-3x1. (3)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和,而A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4, 所以|x+3|+|x-1|4, 又因为|x+3|+|x-1|=3,所以方程无解.,类型四,易错辨析,【例4】 已知M、N、P是数轴上三点,若|MN|=5,|NP|=3,求|MP|.,错解:|MP|=|MN+NP|=|MN|+|NP|=5+3=8. 纠错:错因在于,误认为点P一定在M,N两点之外,忽视了点P也可以在M,N两点之间. 正解:当点P在M,N之间时, 有|MP|=|MN|-|NP|=5-3=2; 当点P在M,N两点之外时, 有|MP|=|MN|+|NP|=5+3=8. 综上所述,|MP|=2或|MP|=8.,谢谢观赏！,
