1、第八章 立体几何,高考文数,8.5 直线、平面垂直的判定和性质,知识清单,考点 直线、平面垂直的判定与性质 1.线面垂直的判定和性质,2.面面垂直的判定和性质,3.直线与平面所成的角 (1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的 锐角 ,叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和 平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0. (3)直线l与平面所成角的取值范围,4.二面角 (1)二面角的定义:由两个半平面和一条公共交线所组成的空间图形叫 做二面角.公共交线叫做该二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面. (2
2、)二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.若记此角为,当= 90时,二面角叫做直二面角.,判定或证明线面垂直的方法 1.线面垂直的定义(一般不好验证任意性). 2.线面垂直的判定定理:ab,ac,bc=M,b,ca. 3.平行线垂直平面的传递性:ab,ab. 4.面面垂直的性质定理:,=l,al,aa. 5.面面平行的性质:,aa. 例1 (2017广东广州一模,19)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC, AB BC,BDDC,点E是BC边的中点,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD, 连接AE,A
3、C,DE,得到如图所示的几何体. (1)求证:AB平面ADC; (2)若AD=1,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为 ,求点B,方法技巧,到平面ADE的距离.图,图,解题导引 (1) (2)由(1)得DAC为AC与面ABD所成的角 由tanDAC= = 及AD=1得CD= 利用ABDDCB得相关棱长 利用VB-ADE= VA-BDE 得点B到面ADE的距离,解析 (1)证明:因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD, BDDC,DC平面BCD,所以DC平面ABD. 因为AB平面ABD,所以DCAB, 又因为折叠前后均有ADAB,且DCAD=D, 所以AB平面ADC. (
4、2)由(1)知DC平面ABD,所以AC在平面ABD内的正投影为AD, 故CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角. 依题意得tanCAD= = , 因为AD=1,所以CD= . 设AB=x(x0),则BD= ,易证ABDDCB,所以 = ,即 = , 解得x= ,故AB= ,所以BD= ,BC=3. 由于AB平面ADC,所以ABAC,又E为BC的中点, 所以由平面几何知识得AE= = , 因为BDDC,E为BC的中点,所以DE= = , 所以SADE= 1 = . 因为DC平面ABD, 所以VA-BCD=VC-ABD= CDSABD= . 设点B到平面ADE的距离为d.,则由 dSADE=
5、VB-ADE=VA-BDE= VA-BCD= ,得d= , 即点B到平面ADE的距离为 .,判定或证明面面垂直的方法 1.面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算其平面角为90). 2.面面垂直的判定定理:a,a. 例2 (2017北京,18,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点. (1)求证:PABD; (2)求证:平面BDE平面PAC; (3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.,解题导引 (1)由PAAB,PABC得PA面ABC PABD (2)(3)由PA面BDE得PADE
6、DE面ABC 利用V= Sh得三棱锥 E-BCD的体积,解析 (1)证明:因为PAAB,PABC,ABBC=B, 所以PA平面ABC. 又因为BD平面ABC, 所以PABD. (2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点, 所以BDAC.由(1)知,PABD,又PAAC=A, 所以BD平面PAC. 所以平面BDE平面PAC. (3)因为PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE, 所以PADE. 因为D为AC的中点,ABBC,所以DE= PA=1,BD=DC= . 由(1)知,PA平面ABC, 所以DE平面ABC. 所以三棱锥E-BCD的体积V= BDDCDE= .,翻折问题的处理方法 平面图形
7、翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线线位置关系 的变化,根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和 发生变化的量,这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结 构特征. 例3 (2015陕西,18,12分)如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD= ,AB=BC= AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折 起到图2中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.,(1)证明:CD平面A1OC; (2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36 ,求a的值.,解析 (1)证明:在题图1中, 因为AB=BC= AD=a,E是AD的中点,BAD= , 所以BEAC. 即在题图2中,BEA1O,BEOC, 从而BE平面A1OC, 又BCDE,所以四边形BCDE为平行四边形, 所以CDBE, 所以CD平面A1OC. (2)因为平面A1BE平面BCDE, 且平面A1BE平面BCDE=BE, A1OBE,A1O平面A1BE,所以A1O平面BCDE, 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高. 由题图1知,A1O= AB= a,平行四边形BCDE的面积 S四边形BCDE=BCAB=a2. 从而四棱锥A1-BCDE的体积为 V= S四边形BCDEA1O= a2 a= a3, 由 a3=36 ,得a=6.,
