1、1专题 09 三角恒等变换与求值 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热 度1.两角和与差的三角函数公式 掌握2017 江苏,5;2016 江苏,15;2015 课标,2;2014 课标,14选择题填空题解答题 2.二倍角公式(1)两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆
2、)掌握2016 浙江,10;2016 课标全国,9;2016 四川,11选择题填空题解答题分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为 5 分或 12 分,为中低档题.考点 内容解读 要求 高考示例 常考题 型 预测热 度三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式了解任意角的概念和弧度制的概念;能进行弧度与角度的互化;理解任
3、意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x;能利用单位圆中的三角函数线推导出, 的正弦、余弦、正切的诱导公式理解2017 北京,12;2016 课标全国,5;2015 广东,16;2014 四川,13;2014 大纲全国,3选择题填空题分析解读 1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出, 的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x
4、=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.22018 年高考全景展示1 【2018 年理数全国卷 II】已知 ， ，则 _【答案】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定
5、角.2 【2018 年浙江卷】已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（） （）求 sin（ +）的值；（）若角 满足 sin（ + ）= ，求 cos 的值【答案】 （） , （） 或 【解析】分析：（）先根据三角函数定义得 ，再根据诱导公式得结果， （）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得 ，最后根据 ，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（）由角 的终边过点 得 ，所以 .（）由角 的终边过点 得 ，由 得 .由 得 ，所以 或 .点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数
6、.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.3一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3 【2018 年江苏卷】已知 为锐角， ， （1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1） （2）（2）因为 为锐角，所以 又因为 ，所以，因此 因为 ，所以 ，因此， 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行
7、变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 II，理 14】函数 23sincos4fxx（ 0,2）的最大值是 。【答案】14【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次” ，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析。2
8、.【2017 北京，理 12】在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若1sin3， cos()=_. 【答案】79【解析】试题分析：因为 和 关于 y轴对称，所以 2k，那么1sini3，2cos3，这样2227cossincosinsi19.【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含， 与 关于 y轴对称，则 2k ，若 与 关于 x 轴对称，则 02k ，若 与 关于原点对称，则52k Z.3.【2017 江苏，5】 若 1tan(),46 则 t
9、an .【答案】 75 【解析】1tan()ta764tant()451n故答案为 【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.4.【2017 浙江，18】（本题满分 14 分）已知函数 f（ x）=sin 2xcos2x 3 sin x
10、 cos x（ xR）（）求 )32(f的值（）求 xf的最小正周期及单调递增区间【答案】 （）2；（）最小正周期为 ，单调递增区间为 Zkk32,6【解析】试题分析：（）由函数概念 32cosin23cos2sin)3(f ，分别计算可得；（）化简函数关系式得 )i(xAy，结合 T可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间试题解析：（）由 23sin， 21cos， )21(32)1(23)( f6得 2)3(f（）由 xx2sincos与 xcosin2i得)6i(i32)( f所以 xf的最小正周期是 由正弦函数的性质得 Zkxk,2362解得 Zxk,36所以 )(f的单调递增
11、区间是 Zkk32,6【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 xAysin的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即 xysi，然后利用三角函数 uAysin的性质求解2016 年高考全景展示1.【2016 高考新课标 2 理数】若 3cos()45，则 sin2（ ）（A） 75 （B） 15 （C） 1 （D） 725【答案】D考点：三角恒等变换. 7【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表
12、示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系2.【2015 高考新课标 1，理 2】 oosin20c1s60in1 =( )（A） 32 （B） 3 （C） （D） 2【答案】D【解析】原式= oosin0c1s20in1 = osi30= 1，故选 D.【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到 20与 160之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015 高考重庆
13、，理 9】若 tan2t5，则3cos()10in5（ ）A、1 B、2 C、3 D、4【答案】 C【解析】由已知，3cos()10in533cossin1010inco53costansi10t53cos2tansi510tcs2sico(s)(cs)212in3cso10，选 C.【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用
