1、1专题 22 几何体的表面积与体积 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.几何体的表面积 理解2016 课标全国,6;2016 课标全国,9;2016 浙江,11;2015 课标,11;2015 北京,5;2014 大纲全国,8选择题填空题 2.几何体的体积理解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)理解2017 课标全国,4;2017 课标全国,8;2017 浙江,3;2017 江苏,6;2017 天津,10;2017 山东,13;2016 山东,5;2016 北京,6;2015 课标,6;2014 陕西,5选择题填空题解答题分析解读 1.
2、理解柱、锥、台、球的侧面积、表面积和体积的概念.2.结合模型,在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式.3.备考时关注以三视图、柱、锥与球的接切问题为命题背景,突出空间几何体的线面位置关系的命题.4.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,分值约为 5 分,属中档题.2018 年高考全景展示1 【2018 年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm 3）是A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.22 【2018 年全国卷理】设 是同一个半径为
3、4 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：作图，D 为 MO 与球的交点，点 M 为三角形 ABC 的重心，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大，然后进行计算可得。详解：如图所示，点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 中点，当 平面 时，三棱锥 体积最大，此时， ， ， , 点 M 为三角形 ABC 的重心， 中，有 ， ，故选 B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大很关键，由 M 为三角形 ABC 的重心，计算得到，
4、再由勾股定理得到 OM，进而得到结果，属于较难题型。3 【2018 年理数天津卷】已知正方体 的棱长为 1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M(如图)，则四棱锥 的体积为_.3【答案】点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4 【2018 年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于，所以该多面体
5、的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决5 【2018 年理数全国卷 II】已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 45，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_【答案】【解析】分析：先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.详解：因为母线 ， 所成角的余弦值为 ，所以母线 ， 所成角的正弦值为 ，因为 的面积4为 ，设母线长为 所以 ，因为 与圆锥底面
6、所成角为 45，所以底面半径为 因此圆锥的侧面积为 点睛：本题考查线面角，圆锥的侧面积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力2017 年高考全景展示1.【2016 高考新课标 2 理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A） 20 （B） 24 （C） 28 （D） 32【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为 12416S，圆锥的侧面积为 2148S，圆柱的底面面积为 234S，故该几何体的表面积为 1238S，故选 C.考点： 三视图，空间几何体的体积.【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:2.【2016 年高考北京理数】某三棱
7、锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）5A.16 B.13 C.12D.【答案】A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥 PABC，其体积 1326V，故选 A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.
8、3.【2017 课标 3，理 8】已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该6圆柱的体积为A B 34C 2D 4【答案】 B【考点】 圆柱的体积公式【名师点睛】(1)求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.4.【2017 课标 II，理 4】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A 90 B 63 C 42 D 367【
9、答案】B【考点】 三视图；组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。5.【2017 天津，理 10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 .【答案】 92 【解析】设正方体边长为 a ，则 226183a ，外接
10、球直径为 34793,RVR.【考点】 球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；8（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.6.【2017 江苏，6】 如图,在圆柱 12,O内有一个球 ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O的体积为 1V,球 O的体积为 2V,则 的值是 .【
11、答案】 32 【解析】设球半径为 r，则2134Vr故答案为 32【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解2016 年高考全景展示1.【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283,则它的表面积是（ ）（A） 17 （B） （C） 0 （D） 289【答案】A【解析】试题分析： 该几何体直观图如图所示：是一个球被
12、切掉左上角的 18,设球的半径为 R,则 37428V8,解得 R2,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和 221=4+3=7S故选 A考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.2.【2016 高考新课标 3 理数】在封闭的直三棱柱 1ABC内有一个体积为 V的球，若 ABC，6AB， 8C， 1A，则 V的最大值是（ ）（A）4 （B） 92 （C）6 （D） 32 【答案】B考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积10【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3 ）建立函数，通过求函数的最值来求解
