1、12.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标： 1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义； （2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的
2、能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识， 。3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量
3、的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系； 运算律的理解和平面向量数量积的应用。教学过程：一、情景导入、引出新课1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么 ？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题 2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型概念性质运算律应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 二、合作探究，精讲点拨探究一：数量积
4、的概念1、给出有关材料并提出问题 3：（1）如图所示，一物体在力 F 的作用下产生位移 S，那么力 F 所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： SF2W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量， 是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1） 数量积的定义：已知两个非零向量 a与 b，它们的夹角为 ，我们把数量 a bbcos 叫做 a与b的数量积（或内积） ，记作： ，即： ab= cos（2）定义说明：记法“ ab”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代
5、替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题 4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量 a与 b的模有关，还和它们的夹角有关。（4）学生讨论，并完成下表： 的范围 0 90 =90 0180ab的符号（5）探究题组一 ：已知 a， b，当 a b， ， a与 b的夹角是 60时，分别求 .解：当 a b时，若 与 同向，则它们的夹角 ， cos036118；若 a与 反向，则它们的夹角 180， b cos18036（-1）18；当 a 时，它们的夹角 90，3
6、 ab；当 与 的夹角是 60时，有ab cos6036 219评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当 ab时，有 0或 180两种可能. 探究二：研究数量积的几何意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把 bcos （ acos ）叫做向量 在 a方向上（ 在 方向上）的投影，记做：OB 1= cos注：投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 | b|；当 = 180 时投影为 | b|.2.提出问题 5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积 a 等于 的长度 a与 在 的方向上的
7、投影 bcos 的乘积。探究三：探究数量积的运算性质1、数量积的性质性质：若 和 均为非零向量 （1） 0 （垂直）（2） 与 同向时， = ， 与 反向 时， =- 特别地： = 2 = a （长度）（3）cos= ba（夹角）（4） （注意等号成立的条件）2、探究题组二（师生共同完成）已知 a=6， b=4, a与 b的夹角为 60，求（ a+2b）（ -3 ） ，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：（ a+2b ）（ a-3b）= . -3 . +2 . -6 .=36-3460.5-644= -72评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律AbcosB1BO4变式：（1）( a+b)
8、2= 2+2 b+ 2 （2）( + )( - )= a2 2 探究四、数量积的运算律： （1）交换律： ； （2）对数乘的结合律： ； （3）分配律： 注意：数量积不满足结合律和消去律，即：（1） （ 2） _探究题组 3： 互 相 垂 直 ？与为 何 值 时 ， 向 量不 共 线与已 知 bakkba ,4, 解： 0)()()()( kba43169022 k三、思悟小结：知识线：（1）平面向量的数量积；（2）平面向量的数量积的几何意义；（3）平面向量数量积的重要性质及运算律；（4）平面向量的数量积与向量投影的关系。思想方法线：（1）公式或定义法；（2）数形结合、分类讨论等思想方法。四、针对训练 巩固提高： 1、 下列各式：（1） baba （2） （3） cc（4）正确的个数为 2、 已知： 7,4,32ba，则 a在 b上的投影为 3、 下列命题中（1） 0,0有则 对 任 意 向 量若 （2） ， 有则 对 任 一 个 非 零 向 量若（3） ,ba则若（4） 中 至 少 有 一 个 为则若 b（5） ， 则，若 （6） 时 成 立当 且 仅 当则若 0, ac其中真命题的个数有 54、 bababa ,150,4,3 2求的 夹 角与已 知 5、 ACBbaABC求中 ，已 知 ： 三 角 形 ,60,85
